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专题14 双曲线中的向量问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．若斜率为 （ ）的直线 过双曲线 ： 的上焦点 ，与双曲线 的上支交于 ， 两点，
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为双曲线 ： ，所以 ，设直线方程为 ，
代入双曲线方程消去y得 ，
判别式 ，且 ，
由韦达定理得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，两式联立解得 ，故选：D．
2．已知双曲线 的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交
于点Q，直线 与C的一个交点为B，若 ，且 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【解析】∵ ，整理得： ，即 ，∴ ，
不妨设 ，根据 结合比例易得 ，则 ，解得∴ ，故选：B．
3．已知点P为双曲线C： （ ， ）上位于第一象限内的一点，过点P向双曲线C的一
条渐近线l作垂线，垂足为A， 为双曲线C的左焦点，若 ，则渐近线l的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，渐近线l的方程为 ，①
直线 的方程为 ，②
联立①②可得 ， ，即有 ，
由 ，可得 ， ，
解得 ， ，即 ，由P在双曲线上，可得 ，
化为 ，即 ，可得 ，所以直线l的斜率为 ．故选：D．
4．已知双曲线 右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B
两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB的中点时， （ ）
A． B．9 C． D．【解析】设 ， ， ， ， ，
由点P为AB的中点，得 ， ，
将P点代入双曲线方程可得 ，化简得 ，
所以 ，故选：B．
5．过双曲线 的右焦点 且斜率为 的直线分别交双曲线的渐近线于 ， 两点， 在
第一象限， 在第二象限，若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】由题意得：由双曲线的方程 ，可知 ，
过双曲线 的右焦点 且斜率为 的直线方程为
联立 ，得： ，联立 ，得： ，
则 ， ， ，
，整理得： ，解得： ，故选：A
6．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线 交双曲线的右支于 、
两点．点 满足 ，且 ，者 ，则双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．
【解析】如下图所示，取线段 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 ，
因为 为 的中点，则 ，且 ，
由双曲线的定义可得 ，
所以， ，则 ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为 .故选：C.
7．已知双曲线 的左､右焦点分别为 、 ，过 的左顶点 作一条与渐近线平行的
直线与 轴相交于点 ，点 为线段 上一个动点，当 分别取得最小值和最大值时，点 的
纵坐标分别记为 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得 ， ， 、 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
不妨设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，易得 ，
设点 的坐标为 ，其中 ，， ，
所以， ，
故当 时， 取得最小值，此时 ，
当 时， 取得最大值，此时 ，因此， .故选：D.
8．已知椭圆 与双曲线 有相同的左焦点 、右焦点 ，点 是两曲线的一个交点，且
.过 作倾斜角为45°的直线交 于 ， 两点（点 在 轴的上方），且 ，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】不妨设 为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为 ，
，由双曲线定义可知： ，又因为 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以椭圆方程为 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，故选：A.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.9．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，且C的一条渐近线经过点
，直线 与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若 ，则C的方程为
C．若 ，则 （O为坐标原点）的面积为
D．若 ，则C的焦距为
【解析】对A，双曲线C的渐近线方程为 ，因为C的一条渐近线经过点 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，故选项A正确；
对B，因为 ，所以点P在圆 上，所以 . 又离心率 ，所以
，则 ，所以C的方程为 ，故选项B正确；
对C，由Ｂ得， 的面积为 ，故选项C错误；
对D，设 ， ，由 ，得 ，所以 ， ，
代入渐近线方程 ，得 ，解得 ，所以C的焦距为 ，故选项D正
确.
故选：ABD.
10．已知双曲线 ， ，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则 的值可以是
（ ）
A． B． C． D．【解析】设点 ，则 或 ，且有 ，可得 ，
， ， ，
令 ，其中 或 ，
二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 .
①当 时，函数 单调递减，此时 ；
②当 时，函数 单调递增，此时 .
综上所述，函数 在 上的值域为 .
因此， 的值可以是 、 、 .故选：BCD.
11．已知双曲线 的右顶点、右焦点分别为 、 ，过点 的直线 与 的一条渐
近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ， ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线 与 轴垂直 B． 的离心率为
C． 的渐近线方程为 D． （其中 为坐标原点）
【解析】由已知得 ，设 ，由 ，得 ，所以
轴，即 ，A正确；不妨设点 在第一象限，易知， ， ，即点 ，
设 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ，即 ．因为点 在双曲线上，所以 ，整理得
，所以 ，解得 或 （负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为 ，C错误；
不妨设点 在第一象限，则 ，所以 ，D错误．
故选：AB．
12．已知双曲线 且 成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双
曲线C的右支相交于A，B两点， ，则直线l的斜率的可能取值为（ ）
A． B．－ C． D．－
【解析】因为 成等差数列，所以 ，所以 ．
设左焦点为 ，则 ．
令 ，则 ，即 ，将
代入解得 ，从而解得 ，故 ，而 是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－ 或 ．故选：AB.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设双曲线C的左、右焦点分别为 ， ，且焦距为 ，P是C上一点，满足 ，
，则 的周长为 ．
【解析】
因为 ，所以 .设 ， ，
因为 ，所以 .
在 中，根据余弦定理有 ，
所以 ，整理可得， ，解得 （负值舍去），所以 ，
所以 ， ，故周长为 .
14．已知 ，点P满足 ，动点M，N满足 ， ，则 的最小
值是 ．
【解析】以 的中点O为坐标原点， 的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则 ，
由双曲线定义可知，点P的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为
． ，由 ，
可得 ．
因为 的最小值为 ，所以 的最小值是3．15．已知双曲线 的左右焦点分别为 ､ ，实轴长为1， 是双曲线右支上的一点，满
足 ， 是 轴上的一点，则 .
【解析】设 ，由题意知 ， ,
因为 是双曲线右支上的一点，满足 ，所以 ,解得 .
所以 ，两式相减可得 ，即 .设 ，则 ，
又 ，所以 .
16．设双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 的直线 与双曲线的左､右两支分别交
于 两点，且 ，则双曲线 的离心率为 .
【解析】如图，设 为 的中点，连接 ，
易知 ， ， ，
又 为 的中点， ， ， ，
为等腰直角三角形，设 ，由双曲线的定义知 ，解得，
，又 ， .
在 中， ， ， ，化简得 ，即 ，
又 ， .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的渐近线为 ，右焦点为 ，右顶点为A.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当 时，求直线l的方程.
【解析】（1）双曲线 的渐近线 化为 ，设双曲线 的方程为 ，
即 ，又双曲线 的右焦点 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的标准方程为 .
（2）由（1）知， ，设直线 的方程为 ，显然 ，
由 消去 整理得 ，显然 ， ，
而 ，则
，
化简得 ，即 ，而 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 .18．已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 ，
(1)求轨迹 的方程；
(2)若直线 过点 ，且与轨迹 交于 、 两点．在 轴上是否存在定点 ，无论直线 绕点 怎样转动，
使 恒成立？如果存在，求出定点 ；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）由 知，点 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支．
且 ，即 ， ，故 ， 轨迹方程为 ．
（2）若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立得 得 ，
设 ， ，由条件得 ，解得 ．
设存在点 满足条件，
由
，得对任意 恒成立，所以 解得 ， 因此存在定点 满足条件．
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，联立 得 ， ，
将 验证，结果也成立.
综上所述， 轴上存在定点 ，使 恒成立.
19．已知双曲线C： ，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直
线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为 .
(1)求C的方程；
(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，
， 均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C： ，点A的坐标为 ，得 ，
焦点 ， ， .
所以 ， ，故C： .
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .
与双曲线方程联立得： ，由已知得 ， ，设 ， ，则 ， ①
由 ， 得： ， ，
消去 得： ，即 ②
由①②得： ，由已知 ，故存在定直线l： 满足条件.
20．已知双曲线 的虚轴长为 ，左焦点为F．
(1)设O为坐标原点，若过F的直线l与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当 时，求 的面
积；
(2)设过F的直线l与C交于M，N两点，若x轴上存在一点P，使得 为定值，求出点
P的坐标及该定值．
【解析】（1）由题意可知， ，得 ，所以双曲线C的标准方程为 ，
则 ，双曲线C的渐近线方程为 ，
由对称性可知，直线l与 垂直和直线l与 垂直这两种情况下 的面积是相等，
不妨设直线l与 垂直，则直线l的方程为 ，
则点A在渐近线 上，点B在渐近线 上，
由 ，解得 ，则 ，所以 ，易知 ，所以 ，故 的面积 ．
（2）设 ，当 轴时，直线l的方程为 ，代入 ，解得 ，
不妨取 ， ，则 ，
当 轴时，直线l的方程为 ，代入 ，解得 ，
不妨取 ， ，则 ，
令 ，解得 ，此时 ，
当直线l与坐标轴不垂直时，设直线l的方程为 ，
代入 ，得 ， ，
设 ， ，则 ， ，
当点P的坐标为 时，
．
综上可知，当点P的坐标为 时， 为定值0．21．点 在以 、 为焦点的双曲线 上，已知 ， ， 为坐
标原点．
(1)求双曲线的离心率 ；
(2)过点 作直线分别与双曲线渐近线相交于 、 两点，且 ， ，求双曲线
的方程；
(3)若过点 （ 为非零常数）的直线 与（2）中双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，
且 （ 为非零常数），问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有
这种定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，则 ，可得 ，
因为 ，由勾股定理可得 ，即 ，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为 .
（2）因为 ，则 ，
所以，双曲线 的方程为 ，即 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，设点 、 、 ，
，可得 ，
因为 ，即 ，可得 ，即点 ，将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，
可得 ，所以， ，所以， ，因此，双曲线 的方程为 .
（3）假设在 轴上存在定点 使得 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，易知 、 ，
所以， ， ，
因为 ，所以， ，
即 ，即 ，
即 ，（*）
由 可得 ，则 ，
将 代入（*）可得 ，（**）将 代入韦达定理可得 ，所以， ，
将 代入（**）式可得 ，
故在 轴上存在定点 使得 ．
22．已知 分别为双曲线 左、右焦点， 在双曲线上，且 ．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为 （ 在 轴正半轴上），点 在双曲线上，且 ，
，试求直线 的方程．
【解析】（1）设 ， ，则 ， ，
，解得： ， ；
又 在双曲线上，则 ， ， ， 双曲线的方程为： .
（2）由（1）得： ， ， ， 三点共线，
直线 斜率显然存在，可设 ， ， ，
由 得： ， ，即 且 ，
， ，
， ，又 ， ，，
解得： ，满足 且 ，
直线 方程为： 或 .
