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专题07 椭圆中的向量问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．点 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），若 （
是坐标原点），则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，又 ，且 ，
则 ，与椭圆方程联立 ，
即 ，解得 或 ，则 ，即 ，
即 ，则 ，故选：B
2．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为A，直线 与椭圆E的另一
个交点为B，若 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得 ，则直线 的方程为 ，
联立 ，消去y得 ，则 ，
所以 ，因为 ，所以 ，因为 ，化简得 ，
即 ，所以 ，所以 .故选：B.
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于A，B两点，
，且 ，椭圆 的离心率为 ，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】因为 ，设 ，由椭圆的定义可得： ，则
，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，又因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，则有 ，所以 ，则 ，则 ，
由 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得： ，故选： .
4．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， 点轨迹是以 为焦点， 为长轴的椭圆，
点轨迹方程为 ；设 ，则 ， ，
，
， 当 时， .故选：C.5．已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ､ ，点 与椭圆 的焦点不重合，分别延长 ､
到 ､ .使 ， . 是椭圆 上一点，延长 到 ，使得 ，则
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【解析】由 ，得 ，
有 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，故 ，
所以 ，则 ，
根据椭圆的定义，得 ，所以 .故选：D
6．已知椭圆 为椭圆的左．右焦点， 是椭圆上任一点，若 的取值范
围为 ，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ， ，则 ， ，
所以
又 ，所以又因为 的取值范围为 ，故 ， ，
所以 ，得方程为 ，故选：A
7．已知 为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且 ， ，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：方法一：
如图1，设椭圆方程为 ，双曲线方程为 ，
由题知： ， ，不妨设点 在第一象限，设 ，
所以在椭圆中，有 ，在双曲线中有 ，所以 ， ，
所以在 中，由余弦定理得：
，
整理得 ，所以
所以 ，
由于 ，
所以 ， ，故
所以 ，即 ，故选：D.方法二：
如图2，不妨设点 在第一象限，由正弦定理得三角形 外接圆的半径为 ，
所以 在半径为 ，圆心为 的圆在第一象限的圆弧 （不包含端点）上，
所以 ，所以 ，所以 ，
由向量数量积定义得 ，
由三角形面积公式得： ，
，所以 ，
所以 ，所以 .故选：D.
8．已知椭圆 内有一点 ，过 的两条直线 、 分别与椭圆 交于 、 和
、 两点，且满足 ， （其中 且 ），若 变化时直线 的斜率总为 ，
则椭圆 的离心率为A． B． C． D．
【解析】设 ,由 可得：
，据此可得： ，同理可得： ，
则： ，将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得：
，即： ，
同理可得： ，
两式相加可得 ，
故： ，据此可得： .
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知椭圆 的左、右两个焦点分别是 ， ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆
交于 ， 两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当 时， 的周长为
B．若 的中点为 ，则 （ 为坐标原点， 与 不重合）
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率
【解析】因为弦 过椭圆的左焦点 ，所以 的周长为，所以A正确；
设 ， ，则 ，有 ， ，所以
，
由 作差得： ，所以 ，
则有 ，所以B正确；
设 ， ， ，
所以 ，
则有 ，可得 ，所以C错误；
由过焦点的弦中垂直于 轴的弦最短，则 的最小值为 ，则有 ，即
，解得 ，所以 ，故D正确．
故选：ABD
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于左右顶点的任意一点，则下
列说法正确的是（ ）
A． 的周长为8 B． 面积的最大值为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为【解析】
由 可得， ， ， .
对于A项， 的周长为 ，故A项错误；
对于B项，设 ， ，则 ，所以当点 为短轴顶点时， 的面积最大，
最大面积为 ，故B项正确；
对于C项，设 ， ， ， ，则 ， ，则
.因为 ，所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 的取值范围为 ，故C项正确；
对于D项，由 可得， ，由C知， ，则
，因为 ，所以 ，所以 ，同理有
.所以 ，当 时有最大值4，当 或
时，值为3，但是 且 ，所以 的取值范围为 ，故D项正确.
故选：BCD.
11．一般地，若 ， （ ，且 ），则称 ， ， ， 四点构成调和点列.已知
椭圆 ： ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.动点 满足 ， ， ， 四点构成调和点列，则下列结论正确的是（ ）
A． ， ， ， 四点共线 B．
C．动点 的轨迹方程为 D． 既有最小值又有最大值
【解析】对于A，因为 ， ， ， 四点构成调和点列，
则有 ，因为有公共点 ，所以 三点共线，
且有 ，因为有公共点 ，所以 三点共线，
即可得到 ， ， ， 四点共线，A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
，即 ，
所以 ，B正确；
对于C，设 ， ，由 ， 得 ，
两式相乘得： ①，同理可得： ②，
则 ①+ ②得： ，
又 点 在椭圆上， ， ，
，即 ，即 ，C正确.
对于D， 到直线 的距离 ，
即为 的最小值，无最大值，D错误.
故选：ABC12．已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点 ，则
B．若 ，则直线AB方程为
C．若 ，则直线AB方程为
D．若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为
【解析】对于A，因为椭圆的右焦点为 ，又直线过点 ，所以直线 的方程为 ，所以
或 ，
当 时， ， ，此时 ；
当 时， ， ，此时 ，
综上所述，当直线AB过右焦点 ，则 ，故选项A正确；
对于B，由选项 可知：直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ，
联立方程组 ，整理可得： ，
设 ，由韦达定理可得： ，
因为 ，所以 ，则有 ，也即 ，解得： ，此时直线 的方
程为： ，故选项B正确；
对于C，同选项 可得： ，因为 ，所以 ，则有 ，则 ，
解得 ， ，
所以 ，化简整理可得：
，显然 不是方程的根，故选项C错误；
对于D，设 ， ，
因为 ， ，则 ，两式相乘可得： ，
同理可得： ，则 ，
也即 ，
又因为 在椭圆 上，所以 ，
根据题意可知： ，所以 ，
所以动点 的轨迹方程为： ，即 ，故选项D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上且 ，则点 到 轴的距离为
.
【解析】设 的坐标为 ，所以 到 轴距离为 .
椭圆 的焦点在 轴上， ，
，所以 是Rt ，所以 .
根据椭圆定义得 ，联立解得 ，所以 的面积为 ，又 的面积等于 ，所以由 ，可得 ，代入椭圆方程得 ，
故点 到 轴的距离为 .
14．已知过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足
，则 的最小值为 ．
【解析】设 ， ， ，由 ，记 ，又 四点共线，
设 ，则由已知 ，且 ， .由 ，得 ，
解得 ，同理 ，得 ，
解得 ，因为点 在椭圆上，所以 ，
即 ，①
同理点 在椭圆上，所以 ，即 ，②
①-②得 ，因为 ，所以 ，故点 在定直线 上，
的最小值为点 到直线 的距离 .
15．已知椭圆 的两个焦点为 和 ，直线l过点 ，点 关于l的对称点A在C上，且 ，则C的方程为 ．
【解析】因为A与 关于直线l对称，所以直线l为 的垂直平分线，又 ，
所以 ，由椭圆的定义可得 ，
设直线l与 交于点M，则M为 的中点，且 ，
所以
，
解得 或1（舍去），所以 ， ，则C的方程为： ．
16．已知椭圆 ，在椭圆 上存在两点 ， ，点 在直线 上，点 ，满
足 ， ，则 ．
【解析】由 ， 知 ， ， ， 四点共线，
当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，此时点 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，
，此时， ， ，则 ．
当直线 的斜率存在时，由题意可设其方程为 ，
设 ， ， ， ， ，由 ， ，得 ， ．
由 得 ，由 得 ，
易知 ，∴
∴
．
综上， ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， ， 分别是椭圆 的左、右、上顶点，
是 的左焦点，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.
【解析】（1）设椭圆 的半焦距为 ，根据题意 解得
故 的方程为 .
（2）由（1）知： .当直线 的斜率为0时，点 为椭圆的左、右顶点，
不妨取 ，此时 ，则 .当直线 的斜率不为0或 与 轴垂直时，设其方程为 ，
代入椭圆 并消去 得 ，
设 ，则 .而 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 .
综上， 的取值范围为 .
18．己知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心
率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于
点 ， 为线段 的中点，求 的值．
【解析】（1）
且点 在直线 ： 上， ，又 ， ， ， 椭圆的标准方程为 .
（2）
设 ， ，则 ，且 ， 为线段 的中点， ，
， 直线 的方程为： ，令 ，得 ，
， 为线段 的中点， ，
， ，
19．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的右顶点为A，上顶点为B， 的面
积为 ，离心率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线 与圆 相切，且l与椭圆C相交于 两点，若弦长 的取值范围为
，求 的取值范围．【解析】（1）由题意可知： ，可得 ， ，
所以椭圆C的方程为： ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，由 ，得 ，
联立 ，得 ，
恒成立，
则 ，所以 ，
，
因为 的取值范围为 ，则 ，解得 ，
所以 ，
，
因为 ，则 ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．20．已知椭圆C： 的离心率 ，点 ， 为椭圆C的左、右焦点且经过点
的最短弦长为3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．
【解析】（1）由题意， ，解得 ， ，所以椭圆的方程为 ．
（2）由（1）得 ，若直线 的斜率为0，则 为 与直线 无交点，不满足条件．设直线 ： ，若 ，则 则不满足 ，所以 ．
设 ， ， ，
由 得： ， ， ．
因为 ，即 ，则 ， ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
直线 ： ，联立 ，解得 ，
∴ ，当且仅当 或 时等号成立
∴ 的最小值为5．
21．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点P满足： .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足
，求原点O到直线l距离的最大值.
【解析】（1）由题意可知， 为线段 的点，所以 ，
由 ，得 ，即 ,
所以 ，
由椭圆的定义知，动点P的轨迹是以 ， 为焦点，实轴长为 的椭圆.
可设方程为 ，所以 ， ，解得 ，所以 ，所以动点P的轨迹C的方程为 .
（2）由（1）知， ,如图所示
设 , .
由 ，得 ，即 于是有
当直线 的斜率不存在时，此时直线 垂直于 轴，直线 的方程为 ，
且 所以 解得 或 （舍），
此时原点O到直线l距离为 ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，消去 ，得 因为直线 与椭圆相交，
所以 解得
由 得
把 代入上式得 即
所以 所以 ，或 （舍），
显然 ，则原点O到直线l距离为 ，综上所述，原点O到直线l距离的最大值为 .
22．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且点 在椭圆上．斜率为 的直线
交椭圆 于 ， 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问是否存在实数 ，使得 为定值？若
存在，求出此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由题意知： ，
由椭圆的定义得： ，即 ，
所以椭圆 的标准方程为 ． ·
（2）如图所示：
由题意设直线 的方程为 ，联立 ，消元得 ，
当 ，即 时满足题意，
设 ， ，则 ， ，，
若 为定值，则上式与 无关，故 ，得 ，
此时 ．
又点 到直线 的距离 ，
以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
经检验，此时 成立，所以 面积的最大值为1
