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专题19 抛物线中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知点 ，过点 作直线l与抛物线 相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别
为 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．无法确定
【解析】设直线方程为 ，联立抛物线方程可得 ，
设 ， ，可得 ，
则
故选：A
2．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上（异于顶点）， （点 为坐标原点），过
点 作直线 的垂线与 轴交于点 ，则 （ ）
A．6 B． C．4 D．
【解析】法一：依题意，设 ，由 ，得 为 的中点且 ，
则 ，易得直线 的垂线 的方程为 .
令 ，得 ，故 ，由抛物线的定义易知 ，故 ，故选:A.
法二：特殊值法.不妨设 ，则 ，则 ，易得直线 的垂线 的方程为
.令 ，得 ，故 ，又 ，故 .故选:A.
3．过抛物线 的焦点 的直线l交抛物线 于 两点，若点P关于x轴对称的点为M，则直线
QM的方程可能为
A． B．
C． D．
【解析】由题意，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设直线 方程为 ，联立方程 ，整理得 ，
设 ，则 ， ，
过 三点向准线作垂线，垂足分别为 ，准线与 轴交于点 ，
则
而 ，所以 ，
因为 有公共点 ，所以 三点共线，即直线 一定过点 ,
由四个选项可知，只有选项 经过点 .故选：D.
4．已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，故 ，
所以直线l为： ，当 时， ，即直线l恒过定点 ，故选：A.
5．已知抛物线 的焦点为 ，过 且不与 轴垂直的直线与抛物线相交于 、 两点， 为 轴
上一点，满足 ，则 （ ）
A．为定值 B．为定值
C．不是定值，最大值为 D．不是定值，最小值为
【解析】若直线 与 轴重合，此时，直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意；
由题意， ，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，则 ，
所以， ，
线段 的中点为 ，所以，直线 的方程为 ，在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
所以， ，因此， .故选：A.
6．已知点 ，设不垂直于 轴的直线 与抛物线 交于不同的两点 、 ，若 轴是 的
角平分线，则直线 一定过点（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，直线的斜率不等于零，且直线过的定点应该在 轴上，
设直线为 ，与抛物线方程联立，消元得 ，
设 ，由 轴是 的角平分线，
∴ 且 ， ，
∴ 、 的斜率互为相反数，即 ，整理得 ，即
，∴ ，解得 ，故直线过定点 .故选：A．
7．已知 、 、 是抛物线 上三个不同的点，且抛物线的焦点 是 的重心，若直线
、 、 的斜率存在且分别为 、 、 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．0
【解析】设 ， ，则 ， ，
两式相减，得 ，则 ，
设 ，同理可得 ， ，
因为焦点 是 的重心，所以 ，则 ，故选：D.
8．已知抛物线的方程为 ，过其焦点F的直线交此抛物线于M．N两点，交y轴于点E，若
， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【解析】根据条件可得F（1，0），
则设直线MN的方程为y＝k（x﹣1），M（x，y），N（x，y），
1 1 2 2
所以E（0，﹣k），联立 ，整理可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
则x+x＝ ，xx＝1，因为 ， ，
1 2 1 2
所以λ（1﹣x）＝x，λ（1﹣x）＝x，即有λ＝ ，λ＝ ，
1 1 1 2 2 2 1 2
所以 .故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．如图，过点 作两条直线 和 ： （ ）分别交抛物线 于 ， 和 ，
（其中 ， 位于 轴上方），直线 ， 交于点 ．则下列说法正确的（ ）
A． ， 两点的纵坐标之积为B．点 在定直线 上
C．点 与抛物线上各点的连线中， 最短
D．无论 旋转到什么位置，始终有
【解析】设点 ，
将直线l的方程 代入抛物线方程 得： .则 ，故A正确；
由题得 ，则 ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
消去y得 ，将 代入上式得 ，故点Q在直线 上，故B正确；
设抛物线上任一点 ，则 ，当 时， 最小，此
时 ，即 最短，故C正确；
因为 ，但 ，所以D错误.
故选：ABC.
10．已知抛物线 ，过其准线上的点 作 的两条切线，切点分别为A、B，下列说
法正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．当 时，直线AB的斜率为2 D．直线AB过定点
【解析】因为 为准线上的点，所以 ，解得 ，故A错；根据抛物线方程得到 ，则 ，设切点坐标为 ， ，
则 ，整理得 ，同理得 ，
所以 ， 为方程 的解， ，
所以 ，则 ，故B正确；
由B选项得 ，所以 ，故C错；
由B选项得 ，又 ，联立得 ，
同理得 ，所以直线AB的方程为 ，恒过点 ，故D正确．
故选：BD．
11．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点 的两点（ 为坐标原点）则下列
说法正确的是（ ）
A．若 、 、 三点共线，则 的最小值为
B．若 ，则 的面积为
C．若 ，则直线 过定点
D．若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为【解析】对于A选项，易知抛物线 的焦点为 ，
当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，则 ，
易知 ， ，所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，A对；
对于B选项，设点 ， ，可得 ，所以， ，
则 ，所以， ，B对；
对于C选项，易知 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，由于直线 不过原点，所以， ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，故直线 过定点 ，C错；
对于D选项，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
因为，
所以 ，则 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立，D对．
故选：ABD．
12．已知抛物线 ， 为 轴正半轴上一点，则（ ）
A．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
B．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
C．存在点 ，使得过点 任意作弦 ，总有 为定值
D．不存在点 ，使得过点 任意作弦 ，有 为定值
【解析】设 ， ， ，
由 ，可得 ，则有 ，
所以 ，
，所以 +
，
所以当且仅当 时， ，
即存在点 ，使得 为定值 ，故A正确，B错误；
由题意可得 ，
，
所以
，
如果 为定值，则必有 ，而此方程组无解，
所以 不为定值，故C错误，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设A、B为抛物线 上的点，且 （O为原点），则直线 必过的定点坐标为
．
【解析】设直线 的方程为 ，联立方程组 ，解得 ，即 ，
因为 ，则 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，即 ，
可得直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即直线 必经过定点 .
14．已知抛物线 和直线 ，点 为直线 上的动点（不在 轴上），以点
为圆心且过原点 的圆与直线 交于 ， 两点，若直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，记
直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
【解析】如图，设直线 ， 的方程分别为 ， ，则 ， ，
，
因为 为圆的直径， ，所以 ．
联立 ，消去 得 ， ， ，同理可得 ， ，
， ， ．15．已知AB，CD是过抛物线 焦点F且互相垂直的两弦，则 的值为
.
【解析】由题设，直线 、 的斜率一定存在，
设 为 ， ， ，联立抛物线方程，可得 且
，
∴ ， ，而 ， ，
∴ ，
由 ，设 为 ， ， ，联立抛物线，
可得 ，同理有 ， ，∴ ，
综上， .
16．经过抛物线 的焦点 的直线交此抛物线于 ， 两点，抛物线在 ， 两点处的切线相交
于点 ，则点 必定在直线 上．（写出此直线的方程）
【解析】抛物线 中 ，焦点为 ，设直线 方程为 ，代入抛物线整理得
，设 ， ，则 ， ．
由 得 ，∴过 点切线斜率为 ，切线方程为 ，即 ，
同理过 点切线方程为 ，两式相除得 ，整理得 ，
解得 ，所以点 在准线 上．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知抛物线 ， ， 是C上两个不同的点．
(1)求证：直线 与C相切；
(2)若O为坐标原点， ，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【解析】（1）联立 得 ，因为 在C上，则 ，
所以 ，因此直线 与C相切．
（2）由（1）知，设 ，切线 的方程为 ，切线 的方程为 ，
联立 得 ，因为 ， ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．故点P在定直线 上．
18．设抛物线 的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN
的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
【解析】（1）由题意， ，直线l的方程为 ，代入 ，得 ．于是
，∴焦点弦 ，解得p＝2．故抛物线E的方程为 ．
（2）因 在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为 ，代入 ，得．由 ，解得t＝1，
∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得 ．
易知直线MN的斜率存在，设其方程为 ，设 ， ．
将 代入 ，得 ．
于是 ， ，且 ， ．
∴
．
故 为定值2．
19．已知过点 的直线交抛物线 于A，B两点，且 （点O为坐标原点），M，
N，P是抛物线上横坐标不同的三点，直线MP过定点 ，直线NP过定点 .
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)证明：直线MN过定点.
【解析】（1）设直线AB方程为 ， ， ，
联立得 ，消x得 ，得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ， ，
所以抛物线的解析式为： .（2）设 ， ， ，
因为M、P、C三点共线，所以 ，即 ，①
因为N、P、D三点共线，所以 ，即 ，②
直线MN方程为： ，即 ③
由①②得 ，即 ，
代入③得 ，所以直线MN过定点 .
20．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 且倾斜角为 的直线交抛物线于点
（M在第一象限）， ，垂足为 ，直线 交 轴于点 ，
(1)求 的值.
(2)若斜率不为0的直线 与抛物线 相切，切点为 ，平行于 的直线交抛物线 于 两点，且
，点 到直线 与到直线 的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理
由.
【解析】（1）如图所示，过点 作 ，垂足为 交 轴于点 ，
由题得 ，所以 ，因为 ，所以△ 是等边三角形，因为 是 的中点，所以 ，故 ，
所以 ， ，所以 ，所以 ，即 .
（2）由（1）可知抛物线的方程是 ，
设直线 的方程为 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 .
又 ，所以 ，故 .
联立 ，消去 ，得 ，其中 ，
则 ，所以 ，所以 .
设点 到直线 和直线 的距离分别为 ，则由 得 ，
所以点 到直线 与到直线 的距离之比是定值，定值为3.
21．已知动圆 与圆 外切，与 轴相切，记圆心 的轨迹为曲线 ， ．
(1)求 的方程；
(2)若斜率为4的直线 交 于 、 两点，直线 、 分别交曲线 于另一点 、 ，证明：直线 过定点．
【解析】（1）设 ，动圆的半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为1，
因为动圆 与圆 外切，可得 或 ，
化为 或 ，
所以点 的轨迹 的方程为： 或 ．
（2）
证明：设直线 的方程为 ，设 ， ， ， ，
联立 ，化为 ， ，解得 ．所以 ， ，
△
直线 的方程为 ，与 联立，
解得 ， ，所以 ， ．同理可得 ， ，
，
所以直线 的方程为： ，
化为 ，
， ，根据对应系数相等可得 ，得 ，则 ，
所以直线 恒过定点 ， ．
22．已知抛物线E： （p>0），过点 的两条直线l，l 分别交E于AB两点和C，D两点．当
1 2
l 的斜率为 时，
1
(1)求E的标准方程：
(2)设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上．
【解析】（1）当 的斜率为 时，得 方程为 ，
由 ,消元得 ， ， ， ；
由弦长公式得 ，
即 ，解得 或 （舍去）， 满足 ，
从而 的标准方程为 .
（2）法一：因为l，l 分别交E于AB两点和C，D两点，所以直线斜率存在
1 2
设直线 的方程为 ，设 ，
由 ，消去 得 ，则 .
设直线 的方程为 ，同理 ，消去 得 可得 ．
直线 方程为 ，即 ，
化简得 ，同理，直线 方程为 ，
因为 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．由 消去 ，
因为直线 与 相交，所以 ，
解得
所以点 的横坐标为2，即直线 与 的交点 在定直线 上．
法二：设直线 方程为 ，由 消去 得 ，
设 ，则 ．
设直线 的方程为 ，同理可得 ．
直线 方程为 ，即 ，
化简得 ，同理，直线 方程为 ，．因为 在抛物线的对称轴上，由抛物线的对称性可知，交点 必在垂直于 轴的直线上，所以只需证
的横坐标为定值即可．由 消去 ，
因为直线 与 相交，所以 ，
解得
所以点 的横坐标为2，即直线 与 的交点 在定直线 上．
