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专题24 圆锥曲线与外心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1． 中， 为 边上的高且 ，动点 满足 ，则点 的轨迹一定过
的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【解析】设 ， ，
以 为原点， 、 方向为 、 轴正方向如图建立空间直角坐标系，
， ， ，则 ， ， ， ，则 ，
设 ，则 ， ， ，即 ，
即点 的轨迹方程为 ，
而直线 平分线段 ，即点 的轨迹为线段 的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点 的轨迹一定过 的外心，故选：A.
2．已知椭圆 ： ，过其左焦点 作直线l交椭圆 于P，A两点，取P点关于x轴的对称点B.
若G点为 的外心，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．以上都不对
【解析】根据题意可得 ，显然直线 的斜率存在，故可设其方程为 ，联立椭圆方程可得： ，设 ，
故 ， ， ，
故 ，
设 的中点为 ，则其坐标为 ，
显然 轴垂直平分 ，故可设 ，又 直线方程为： ，
令 ，解得 ，故 ，故 .故选：C.
3．已知双曲线M： 的离心率为 ，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与
原点O重合）， 的外心为P，面积为12，若双曲线M经过点P，则该双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】离心率为 ，则有：
又有： 可得： ，此时两条渐近线垂直，即 ，且直线 和直线 均与 轴的夹角
均为 ，则 的外心为 在线段 的中点
若双曲线M经过点 ，根据双曲线的对称性可知：当且仅当 轴时，且点 为双曲线的顶点
此时有： ， ， 的面积为12，则有： ，
解得： ，故双曲线的实轴长为： ，故选：C
4．在直角坐标系xOy中，F(-c，0)，F(c，0)分别是双曲线C： 的左、右焦点，位于
1 2第一象限上的点P(x,y)是双曲线C上的一点，△PFF 的外心M的坐标为 ，△PFF 的面积为2
0 0 1 2 1 2
a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝ x C．y＝ x D．y＝± x
【解析】由△PFF 的外心M ，知： ，
1 2
∴在△ 中， ，即 ，故∠FPF＝ ，
1 2
在△ 中， ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ ，而
，
∴由题意知： ，故双曲线的渐近线方程为： ．故选：D．
5．已知坐标平面 中，点 ， 分别为双曲线 （ ）的左、右焦点，点 在双曲线
的左支上， 与双曲线 的一条渐近线交于点 ，且 为 的中点，点 为 的外心，若 、
、 三点共线，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B．3 C． D．5
【解析】不妨设点 在第二象限，设 ， ，
由 为 的中点， 、 、 三点共线知直线 垂直平分 ，则 ，故有 ，且 ，解得 ， ，
将 ，即 ，代入双曲线的方程可得 ，化简可得 ，即
，当点 在第三象限时，同理可得 .故选：C.
6．设 为双曲线 的右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线在第一象
限的交点为 ，线段 的中点为 ， 的外心为 ，且满足 ，则双曲线 的离心率
为（ ）
A． B． C．2 D．
【解析】由题,因为 ,所以 、 、 三点共线,
因为点 为线段 的中点, 的外心为 ,所以 ,即 ,
设双曲线的左焦点为 ,则点 为线段 的中点,
则在 中, ,即 ,所以 是直角三角形,所以 ,
因为 ,由双曲线定义可得 ,所以 ,
则 ,因为 ,整理可得 ,
所以 ,则 ,故选:D
7．已知点 、 、 ，直线 上有两个动点 、 ，始终使 ，三角
形 的外心轨迹为曲线 ， 为曲线 在一象限内的动点，设 ， ， ，则
（ ）
A． B．C． D．
【解析】设点 、 ，
设 的外心为 ，则 ，可得出 ，
因为 ，则 ，
将 代入 并化简得 ，
即 ，在 中，由余弦定理 ，
即 ，
整理可得 ，所以， ，
即 ，①
将 、 代入①可得 ，
整理可得 ，即 的外心轨迹方程为 ，
设点 ，则 ，即 ，
而 ， ，则 ，
又 ，所以 ，
因此， .故选：C.
8．已知双曲线 的左、右焦点 恰为椭圆 的两个顶点，设椭圆E的上焦点为P，过点 的直线l交双曲线C右支于点A、B，若点A在第一象限， 的外心Q恰好落在y轴
上，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由椭圆 可得： ，
故椭圆E的左、右顶点分别为 ，椭圆E的上焦点 ，
则 ，故双曲线 ，
设双曲线的焦距为 ，则 ，即 ，故 ，
当直线l斜率不存在时，直线方程为 ，则 ，AB边上中垂线为x轴，
若 外心Q落在y轴上，则 ，
但此时 ，由 ，则不符合题意；
当直线l斜率存在时，设 ，
联立 消去y可得 ，
则 ， ，
因为A，B位于双曲线C的右支，则 或 ，
则 ，设AB的中点 ，则Q在AB的中垂线上，
所以 ，解得 ，所以 ，
由 ，可得
，整理得 ，
由 ，得 或 （舍去），
综上所述：直线方程为 ．故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与抛物线C： 交于A，B两点，点
为线段AB的中点，且 ，则下列结论正确的为（ ）
A．N为 的外心 B．M可以为C的焦点
C．l的斜率为 D． 可以小于2
【解析】
由 可得 ，则N为 的外心，A正确；易得直线 斜率不为0，设 ， ，联立 可得 ，
，则 ，则 ，由 可得 ，
即 ，则 ，则焦点为 ，B错误；
由 作差得 ，即 ，C正确；
，则 ，D错误.
故选：AC.
10．已知 的三个顶点 均在抛物线 上，则下列命题正确的有（ ）
A．若直线BC过点 ，则存在点A使 为直角三角形；
B．若直线BC过点 ，则存在 使抛物线 的焦点恰为 的重心；
C．存在 ，使抛物线 的焦点恰为 的外心；
D．若边AC的中线 轴， ，则 的面积为
【解析】设 三点坐标分别为 ，
A选项，直线BC过点 ，设BC方程为 ，
联立 ，消去x得， ， ，
， ，
所以 ，而点O在抛物线上，故A正确；
B选项，直线BC过点 ，设BC方程为 ，联立 ，消去x，得 ，
，
抛物线 的焦点恰为 的重心，
， ，
将A点坐标代入抛物线方程，则 ，所以 ，
当 时， ，故B正确；
C选项，设以抛物线焦点 为圆心的圆半径为r，
其方程为 ，与抛物线方程联立得： ， ，
方程至多只有一个非负解，即圆与抛物线至多只有两个交点，
不存在 ，使抛物线 的焦点恰为 的外心，故C不正确；
D选项，AC的方程为 ，代入抛物线方程得，
， ，
设AC中点 轴， ，
，代入抛物线方程得 ，
， ，故D不正确.
故选：AB.
11．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在准线上的射影为 ，则下列结
论正确的有（ ）A．点 的中点在 轴上
B． 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上
C．当 的垂心在抛物线上时，
D．当 的垂心在抛物线上时， 为等边三角形
【解析】对于A选项，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设点 ，则点 ，所以，线段 的中点为 ，A对；
对于B选项，由抛物线的定义可知 ，则 为等腰三角形，
因为 为 的中点，则 ，所以， 的重心、垂心、外心、内心都在直线 上，
，则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
所以，直线 与抛物线 相切，B错；
对于C选项，设点 为第一象限内的点，
若 的垂心 在抛物线上时，设点 ，其中 ，
将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，可得 ，即点 ，由题意可知， 、 、 三点共线， ， ，
由 可得 ，整理可得 ，解得 ，
所以， ，即点 ，所以， ， ，C对；
对于D选项，当 的垂心在抛物线上时，点 ，则 轴，则 ，
此时， 为直角三角形，D错.
故选：AC.
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 与 轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合 ，且 恰为某三角形的外心，重心，垂
心所成集合.若 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，由 ，得 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，由 ，得 ，得 ，
，
， ，
若 为重心、 为外心、 为垂心，则 ，所以 ，化简得 ，此时双曲线的离心率 ，
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 不成立；
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 ，此时双曲线的离心率 ，
若 为重心， 为垂心、 为外心，则 ，
，化简得 ，此时双曲线的离心率 ；
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 或 ，
此时双曲线的离心率 或 ，
若 为重心， 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 或 都不成立.
综上所述： 或 或 或 .
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 相交于 两点．设过点 作 轴的垂线交于另一点 ，若 是 的外心，则 的值为 ．
【解析】由题意知，直线 的斜率存在，且不为0，设直线 的方程为 ，
代入 得 ，
设 ，则 ， ，则 的中点坐标为
∴
∵ 是 的外心，∴ 是线段 的垂直平分线与 的垂直平分线的交点，
的垂直平分线为 ，令 ，得 ，
即 ， ，∴ ．
14．在直角坐标系xOy中直线 与抛物线C： 交于A，B两点．若D为直线 外一点，
且 的外心M在C上，则M的坐标为 ．
【解析】联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，设线段AB的中点为 ，
则 ， ，
则线段AB的中垂线方程为 ，即 ，
联立 得 ，解得 或4，
从而 的外心M的坐标为 或 ．
15．已知双曲线 的右焦点为 ，过点 斜率为 的直线 与双曲线 的右支交于 两点，点 ，若 的外心 的横坐标为0，则直线 的方程为 .
【解析】由 知 ，设直线 的方程为 ，
联立方程组 得 ，
由直线与双曲线右支交于两点可得
解得 ，即 或 .
设 ，则 ，因为 ，
所以线段 的中点为 ，
且 .
设 ，因为 在线段 的垂直平分线上，所以 ，
得 ，即 ，故 .
因为 ，且 ，
所以 ，化简得 ，
得 或 （舍去），所以直线 的方程为 ，即直线 的方程为 或 .
16．已知点 分别为双曲线 的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点
恰好为 的外心，若 ，则C的离心率为 .
【解析】取 的中点为C，连接BC、 、 ，如图所示：
因为 ，所以 ，
又C为 的中点，所以 为等腰三角形且 ，
因为点 恰好为 的外心，所以点 在直线BC上，且 ，
由双曲线的定义知 ，则 ，
所以 为等边三角形，则 ，
在 中， 即 ，化简得 ，
同时除以 可得 ，解得 或 (舍去).
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛
物线E： 的焦点为F，准线为l，过焦点 的直线交抛物线 于 ，
(1)若 垂直l于点 ，且 ，求AF的长
(2) 为坐标原点，求 的外心C的轨迹方程.【解析】（1）由 得 ， ；
（2）设 ，直线 ，
由 ，得 ，
，即有 ，
易得OA､OB的中垂线方程分别为 ，
联立可得 ，
外心C的轨迹方程为 .
18．已知椭圆 的左右焦点分别是 ， 是椭圆上一动点(与左右顶点不重合)，
已知 的内切圆半径的最大值是 椭圆的离心率是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率不为0的直线 交椭圆于 两点，过 作垂直于 轴的直线交椭圆于另一点 ，连
接 ，设 的外心为 ，求证： 为定值.
【解析】（1）由题意知∶ ，∴a=2c， ，
设△ 的内切圆半径为r，
则 .故当 面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时 ，
所以 ，把a=2c， 代入，解得∶a=2， ，
所以椭圆方程为
（2）由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB为 ，
代入椭圆方程得 . ，
设 ，则 ， ，因此可得
所以AB的中点坐标为( ， )
因为G是△ABQ的外心，所以G是线段AB的垂直平分线与线段BQ的垂直平分线的交点，
由题意可知B，Q关于y轴对称，故 ，
AB的垂直平分线方程为
令y=0，得 ，即G( ，0)，所以
又 =
故 ，所以 为定值，定值为4.
19．已知抛物线C： ，点P为y轴左侧一点，A，B为抛物线C上两点，当直线 过抛物
线C焦点F且垂直于x轴时， 面积为2．
（1）求抛物线C标准方程；
（2）若直线 为抛物线C的两条切线，设 的外心为M（点M不与焦点F重合），求
的所有可能取值．
【解析】（1）当直线 过抛物线焦点F且垂直于x轴时，A，B两点横坐标为 ，代入抛物线方程，可得 ，故 ， ，得 ，
故抛物线C标准方程为 ．
（2）设 ．直线 的方程为：
联立 得
，得 ，所以直线 ，同理直线 ，
联立得 则 的中垂线方程分别为：
： ， ： ．
联立 解得： ，
由于 ，故 ，
，
故 ，所以 ，则 的所有可能取值为1．
20．已知从曲线 的左、右焦点分别为 ，实轴长为 、一条渐近线方程为
，过 的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知 ，若 的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程．
【解析】（1）由题意，则 ，由渐近线方程 ，即 ，则 ，解得 ，故双曲线 .
（2）已知 ，由（1）可知 ， ，则 ，即 ，
①当直线 斜率不存在时，直线方程为 ，将其代入双曲线方程，
可得 ，解得 ，则 ，
此时， 为等腰三角形， 边上中垂线为 轴，若外心 的横坐标 ，则 ，但此时，，
， ，由 ，则不符合题意；
②当直线 斜率存在时，设 ，
联立可得 ，消去 可得： ，
设 ，则 ， ，
由于 位于双曲线 的右支，则直线 与渐近线方程 应满足 或 ，
，记 的中点 ，
设 ，则 在 的中垂线上，设直线 的斜率为 ，则 ，
，显然 ，则 ，可得 ，
由 ，则 ，又因 ，
可得 ，
整理可得： ，，
， ，由 ，则 ，
直线方程为 ，即 或 .
21．在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为 ， ，平面内两点G，M同时
满足以下3个条件：①G是△ABC三条边中线的交点：②M是△ABC的外心；③
(1)求△ABC的顶点C的轨迹方程；
(2)若点P（2，0）与（1）中轨迹上的点E，F三点共线，求 的取值范围
【解析】（1）设C（x，y），G（ ， ），M（ ， ），
因为M是△ABC的外心，所以
所以M在线段AB的中垂线上，所以 ，
因为 ，所以 ，
又G是△ABC三条边中线的交点，所以G是△ABC的重心，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，化简得 ，
所以顶点C的轨迹方程为 ；
（2）因为 ， ， 三点共线，所以 ， ， 三点所在直线斜率存在且不为0，
设所在直线的方程为 ，联立 得 ．由 ，得 ．设 ， ，
则
所以
．
又 ，所以 ，所以 ．
故 的取值范围为 ．
22．已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 的距离与它到直线 的距离之比为2.记M的
轨迹为曲线E.
(1)求E的方程；
(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的
外心.
【解析】（1）解:设动点 坐标为 ,则根据题意得 ,
两边同时平方,化简可得 ,所以曲线 的方程为 ;
（2）由题设点 ,因为点 不在 轴上,即 ,
所以曲线 在点 的切线斜率存在,设为 ,则在点 的切线方程为: ,
联立方程组: ,整理得: ,
因为双曲线的渐近线为 ,所以 ,,令 ,得 ．
因为点 在双曲线上,所以 ,即 ,
所以 ,因为 ，所以两边同时除以 ,解得 ．
所以在点 的切线方程为 ,即 ．
因为 , ,所以 ,
所以直线 中垂线 方程为 ,即 ,
因为 , ,所以直线 的斜率为 ,线段 的中点为 ,
所以直线 中垂线 的斜率为 ,
所以直线 中垂线 的方程为 ．
联立直线 与直线 ,
得外心坐标 ．
将外心横坐标 代入过点 的切线方程 ,
化简得到 ,与外心的纵坐标相等．
所以曲线 在 点的切线经过 的外心．
