“8+4+4”小题强化训练43(直线、平面平行与垂直的判定与性质)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(43)
(直线、平面平行与垂直的判定与性质)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023秋·辽宁·高三名校12月联考）点 分别在空间四边形 的边
上，若 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 直线 与 一定平行 B. 直线 与 一定相交
C. 直线 与 可能异面 D. 直线 与 一定共面
【答案】D
【解析】由于 ，所以 四点确定一个平面 ，
因此直线 与 一定共面，故D正确，C错误，
只有当 且 时，此时四边形 为平行四边形，此时 ，故A不正确，
只有当 但 时，此时四边形 为梯形，此时 相交于点 ，故B不正
确，故选：D
2.（2023秋·湖南衡阳市·高三衡阳第八中学等学校11月联考）设a，b是空间两条不同直线，则“a与b无
公共点”是“a与b是异面直线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当a与b无公共点时，a与b可能平行或异面，反之，当a与b是异面直线时，a与b无公共点.
故选：B.
3.（2019•新课标Ⅲ，理8文8）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平
面 ， 是线段 的中点，则
A． ，且直线 ， 是相交直线
B． ，且直线 ， 是相交直线
C． ，且直线 ， 是异面直线
D． ，且直线 ， 是异面直线
【答案】B
【解析】 点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的
中点， 平面 ， 平面 ， 是 中 边上的中线， 是 中 边上
的中线， 直线 ， 是相交直线，设 ，则 ， ，
， ， ，
故选:B．
4.（2019•新课标Ⅱ，理7文7）设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行
C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一平面
【答案】B
【解析】对于 ， 内有无数条直线与 平行， 或 ；
对于 ， 内有两条相交直线与 平行， ；对于 ， ， 平行于同一条直线， 或 ；
故选:B．
5.（2023秋·辽宁·高三名校12月联考）已知l，m是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列
命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则
B. 若 ， ，则
C. 若 ， ， ，则
D. 若 ，且 与 所成的角和 与 所成的角相等，则
【答案】C
【解析】若 ， ， ，则 与 有可能平行，故A错误；
若 ， ，则 可能在 内，故B错误；
若 ， ，则 ，又 ，则 ，故C正确；
若 ，且 与 所成的角和 与 所成的角相等，则 与 有可能相交，故D错误.
故选：C.
6.如图，在边长为a的正方体ABCD-ABC D 中，E、F、G、H、N分别是CC 、C D、DD 、CD、BC的
1 1 1 1 1 1 1 1
中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面ABD，则点M轨迹的长度是（ ）
1
A． a B． a C． D．
【答案】D
【解析】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、
C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，
则GH∥BA1，HN∥BD，又 面A1BD，BA1 面A1BD，所以 面A1BD，同理可证得 面A1BD，
又 ，∴面A1BD∥面GHN，
又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH= a，则点M轨迹的长度是 a.
故选：D
7.（2022·上海·高三专题练习）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的
是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】C
【解析】对于A，因 ， ，当 时，而 ，则 ，
当 时，在直线 上取点 ，过 作直线 ，则 ，过直线 的平面 ，如图，
由 得 ，于是得 ，而 ，则 ，而 ，所以 ，A正确；
对于B，若 ， ，则 ，又 ，则存在过直线 的平面 ，使得 ，
则有直线 ，即有 ，所以 ，B正确；
对于C，如图，在长方体 中，平面 为平面 ，直线 为直线 ，平面 为平面 ，直线 为直线 ，满足 ， ， ，而 ，C不正确；
对于D，若 ， ，则 ，又 ，于是得 ，D正确.
故选：C
8.如图，在正方体 中，P是正方形 的中心，E是PC的中点，则以下结论不正确
的是（ ）
A． 平面BDE B．平面 平面BDE
C． D．异面直线PC与AB所成的角为
【答案】D
【解析】选项A：设AC与BD交于点 ，连接OE，则 ，
又 平面BDE， 平面BDE，所以 平面BDE，故A正确；
选项B：连接PO，因为 平面ABCD，
所以 ，又 ， ，
所以 平面PAC，又 平面BDE，
所以平面 平面BDE，故B正确；
选项C：因为 平面PAC， 平面PAC，所以 ，故C正确；
选项D：因为 ，所以异面直线PC与AB所成的角为 或其补角，
设正方体的棱长为1，连接PD，则 ， ，
在 中， ，
所以异面直线PC与AB所成的角不等于 ，故D错误．故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2022·湖北武汉·高三开学考试）（多选）如图，已知正方体 ， 分别是 ，
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A B C D
1 1 1 1
A． B． C． 平面 D． 平面
【答案】AC
【解析】连接 ，如图：
由正方体可知 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，故A 正确，B错误；
由题意知 为 的中位线，所以 ，
又 ,所以A B C D A B C D A B C D
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故C正确；
若 平面 ，BD 在平面BDD B 中，则 ，进而 ，
1 1 1
在 中易知 与 不垂直，故D错误；
故选：AC
10.（2023秋·广东佛山·高三统测）如图，在四棱锥 S—ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 底面
ABCD， ，点O是AC中点，点M是棱SD的上动点（M与端点不重合）．下列说法正确的是
（ ）
A. 从A、O、C、S、M、D六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B. 从A、O、C、S、M、D六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C. 存在点M，使直线OM与AB所成的角为60°
D. 不存在点M，使 平面SBC
【答案】ABC
【解析】从 、 、 、 、 、 六个点任取3点，有 种情况，除去 、 、 和 、 、 分别共线，其余18种均不共线，
故从A、O、C、S、M、D六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为 ，A正确；
从A、O、C、S、M、D六个点中任取4点，共有 种情况；
其中S、M、D三点共线，A、O、C三点共线，有6种情况不能构成三棱锥，
故从A、O、C、S、M、D六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为 ，B正确；
以 为原点， 的正方向分别为 轴， 轴， 轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
设 ， ，设 ，则有 ，
得 ，则 ，又 ，
由 ，得 ，
解得 ，
所以存在点M，使直线OM与AB所成的角为60°，故C正确．
设平面 的一个法向量 ， ， ，
则有 ，令 ，则 ，
可得 ，由 ，可得 ，
所以存在点M，使 平面SBC，故D错误．
故选：ABC．
11.在正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点， 平面 ，，直线 和直线 所成角为 ，则（ ）
A． B． 的最小值为
C． ， ， ， 四点共面 D． 平面
【答案】BD
【解析】设正方体的边长为 ，
设 分别是 的中点，
根据正方体的性质可知，平面 截正方体所得图象是正六边形 ，
则 平面 .
由于 平面 ， 平面 ， ，所以 与 是异面直线，所以A选项错误.
由图象可知 平面 ，所以C选项错误.
根据正方体的性质可知， ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证得 平面 ，
由于 ，所以平面 平面 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，D选项正确.
由于 ，所以 点的轨迹是以 为球心，半径为 的球被平面 所截形成的圆.
根据正方体的性质可知四边形 是平行四边形，设 ，则 是 的中点，连接
，
由于 ，所以 ；由于 ，所以 ，
而 ，所以 平面 ，
，
，
则直线 与平面 所成角为 ，
平面 ，所以直线 和直线 所成角 的最小值为 .故选：BD
12.已知矩形ABCD满足AB1，AD2，点E为BC的中点，将ABE沿AE折起，点B折至B，得到
四棱锥BAECD，若点P为BD的中点，则（ ）
A．CP//平面BAE
B．存在点B，使得CP平面ABD
2
C．四棱锥BAECD体积的最大值为 4
D．存在点B，使得三棱锥BADE 外接球的球心在平面AECD内
【答案】ACD
【解析】对于A，取AB中点M ，点P为BD的中点，
1
MP AD
MP//AD， 2 ，
1
EC  AD
 EC//AD，且 2 ，
MP//EC ，且MPEC，
四边形MPCE为平行四边形，CP//ME，

ME平面BAE， CP 平面BAE，
CP//平面BAE，故A正确；
对于B，假设存在点B，使得CP平面ABD，则CP AD，
CP CDC

ADCD，  ，AD平面CPD，则ADPD，
ADBD，在△ABD中，AB1，AD2，AD AB，
AD不可能垂直于BD，故B错误；1
V  hS
对于C， BAECD 3 AECD ，h为B到平面ABCD的距离，
当平面ABE垂直于平面AECD时，h取得最大值，此时h为B到AE的距离，
AE 2 2 1 3
h (AB)2 ( )2  1( )2  S  (21)1
此时 2 2 2 ， AECD 2 2，
1 2 3 2
  
四棱锥BAECD体积的最大值为3 2 2 4 ，故C正确；
对于D，当平面ABE平面AECD时，存在点B，使得三棱锥BADE 外接球的球心在平面AECD内，
2 2
BH  NH 
2 ， 2 ，BN 1，

AEN DEN 45，AEDE，在直角三角形AED中，AEED，
N为AD的中点，EN  AN DN 1，则BN EN  AN DN 1，
N 为三棱锥BAED的外接球的球心，

N 在平面AECD内，故D正确．
故选：ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.如图,四棱柱ABCD-ABCD 中,ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD 上,且 ,G在CC 上且平
1 1 1 1 1 1
面AEF∥平面BDG,则 _________
1
【答案】
【解析】∵平面AEF∥平面BDG,且平面AEF∩平面 BBDD=EF,平面BDG∩平面BBDD=BD,∴EF∥BD, ∴
1 1 1 1 1 1 1 1
易得平面ADD
1
A
1
∥平面BCC
1
B
1
,又BG⊂平面BCC
1
B
1
,∴BG∥平面ADD
1
A
1
,又∵平面AEF∥平面BD
1
G,BG⊂平面BD
1
G,∴BG∥平面AEF,
∵平面AEF∩平面ADDA=AF,
1 1
∴BG∥AF,∴BG、AF可确定平面ABGF,
又知平面ABBA∥平面CDDC,
1 1 1 1
平面ABGF∩平面ABBA=AB,平面ABGF∩平面CDDC=FG,
1 1 1 1
∴AB∥FG,∴CD∥FG.
∴ .
故答案为： .
15.14.已知平面 ，两条直线l，m分别与平面 相交于点 和 ，若
， ，则 =_________
【答案】15
【解析】如图，若 与 不平行，则过 作 交 于 ，交平面 于 ，连接
，
∵ ，所以 共面，
平面 ，平面 ，平面 ， ，
∴ ，∴ ，同理相交直线 确定平面 与平面 分别交于
，因此 ，
∴ ，
所以 ，即 ， ，
若 ，上面的 就是 ， 就是 ，同理可得．
故答案为：15.15.（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱 中， ， ，
， ，M，N分别是棱 和 的中点，则下列说法中正确的是_______（填写序号）
① 四点共面 ② 与 共面
③ 平面 ④ 平面
【答案】①③④
【解析】连接MN，则因为，M，N分别是棱 和 的中点，
所以 ，
因为 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
所以 ，
所以 四点共面，A说法正确；因为 ， ， ，
所以 平面 ，C正确；
连接 ，因为 ， ，
所以 是等边三角形，
所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
因为 ，所以 平面 ，D说法正确；
若 与 共面，则 共面，故 在平面 中，
这与题设矛盾，B说法错误
故选：①③④
16.如图，在直三棱柱 中， 是边长为2的正三角形， ，M为 的中点，P为线
段 上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）① 平面
②三棱锥 的体积的取值范围为
③ 与 为异面直线
④存在点P，使得 与 垂直
【答案】②③
【 解 析 】 由 题 意 得 ． 则 ，
，
所以 与 不垂直．故①错误；
，点B到平面 的距离为 ，
由 ，所以 ，所以 ，
又 ，则 ，
故②正确；
P为线段 上的点（不包括端点），故 与 为异面直线，故③正确；
若 ，设 中点为N，所以 ，又平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，则 平面 ，即 平面 ，
又因为 平面 ，故点P与点 重合，不合题意，故④错误．故答案为：②③