文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（全国卷专用）
黄金卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得集合 ，结合集合的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由集合 ， ，
可得 或 ， ，
对于A中，可得 ，不符合题意；
对于B中，可得 ，符合题意；
对于C中，可得 ，不符合题意；
对于D中，可得 ，不符合题意.
故选：B.
2．已知 为虚数单位，且 ，则 （ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【分析】依题意先对原式进行化简，可求得 ，利用共轭复数的定义可得 ，再利用复数的运算可求得答
案.【详解】由题意得： ，则 ，
.
故选：C.
3．已知 ， ， 为三条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】B
【分析】根据线面平行的判定定理可判断A；根据线面垂直的判定定理可判断B；根据线面平行的性质定
理可判断C；根据面面平行以及线面垂直的性质可判断D.
【详解】对于A， ，则 内必存在直线，设为s，使得 ，
又 ，则 ，而 ，则 ，A正确；
B中，若 ，此时有可能是 或 或 或m和 相交不垂直，
未必一定是 ，则B的说法不正确．
对于C，若 ， ， ，则 ，
根据线面平行的性质定理可知 ，C正确，
对于D，若 ， ，则 ，又 ，故 ，D正确，
故选：B．
4．函数 的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数为奇函数排除BD，再根据函数值的符号排除选项C.【详解】易知函数 的定义域为R，且 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，故选项BD不符合.
当 时，函数值为 ，故选项C不符合，选项A符合.
故选：A.
5．已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个向量垂直则数量积为0运算即可.
【详解】 ，
又 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，所以 ，
故选：A
6．已知函数 ，若对任意的正数 、 ，满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析函数 的单调性和奇偶性，可得出 ，将代数式 与 相乘，展开后
利用基本不等式可求得 的最小值.
【详解】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 、 ，满足 ，则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
7．2022年10月16日至10月22日，中国共产党第二十次全国人民代表大会在北京召开．会议圆满结束后，
某市为了宣传好二十大会议精神，市宣传部决定组织 去甲、乙、丙、丁4个村开展二十大宣讲
工作，每村至少1人，其中 不去甲村，且 不去同一个村，则宣讲的分配方案种数为（ ）
A．216 B．198 C．180 D．162
【答案】D
【分析】分 单独去一个村和 与除 以外的另外一人去一个村两种情况讨论，即可得解.
【详解】当 单独去一个村时，有 种，
当 与除 以外的另外一人去一个村时，有 种，
所以共有 种分配方案．
故选：D
8．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用余弦的二倍角公式和诱导公式结合已知求解即可.
【详解】因为 ，
所以
.
故选：A.
9．已知 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.
【详解】 ， ，即 ，
，
下面比较 与 的大小，构造函数 与 ，
由指数函数 与幂函数 的图像与单调性可知，当 时， ；当 时，
由 ，故 ，故 ，即 ，
所以 ，
故选：A
10．已知 、 是椭圆 的两个焦点，P是椭圆上一点， ，
，则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理可得 ，进而利用换元法，结合二次函数的性质即可求
解.
【详解】设 则 ， ,
所以 ，
由余弦定理可得 ，
故 ，进而可得 ，令 ，则 ， ，
令 ，所以 ，对称轴为 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
故当 和 时， ，
故 的最大值为 ，
所以 ，故 的最大值为 ，
故选：A
11．如图，正方体 的棱长为3，点P是平面 内的动点，M，N分别为 ， 的中
点，若直线BP与MN所成的角为 ，且 ，则动点P的轨迹所围成的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】连接 ， ，得到 ，把BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，在正方体
中，证得 平面 ，得到 ，设 与平面 的交点为G，连接PG，
结合题意，得到点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，根据圆的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，连接 ， ，则N为 的中点，又M为 的中点，所以 ，
因此直线BP与MN所成的角就是直线BP与 所成的角，
在正方体 中，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，可得 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，同理可得 ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，则 ．
设 与平面 的交点为G，连接PG，所以 ，
在直角 中， ，因为 ，所以 ，
又由 ，所以 ，
所以点P的轨迹是以G为圆心， 为半径的圆，其面积为 .
故选：A.12．已知函数 有两个极值点 ， （ ），函数 有两个极
值点 ， （ ），设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解法一：求出函数的导函数，则 ， 是方程 的两个实数根， ， 是方程 ，
即 的两个实数根，设 ，利用导数求出函数的单调区间，即可得到 ，
， ，从而得到 ，最后根据对勾函数的性质计算可得；
解法二：求导可得 ， 是 与 图象交点的横坐标； ， 是 与 图象的交点
的横坐标，结合反函数的性质得到 ， ，从而求出 的取值范围.
【详解】解法一：由 可得 ，则 ， 是方程 的两个实数根，
由 可得 ，则 ， 是方程 ，
即 的两个实数根.设 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 处取得极小值 ，
因为 ， 是方程 的两个实数根， ， 是方程 的两个实数根，
且 ， ，所以 ， ， ，
则 ， ， ，
所以 ，
又 在 上单调递增，所以 .
解法二 第一步：对函数求导，将问题进行转化；
由 可得 ，则 ， 是方程 的两个实数根，即 与 图象
交点的横坐标.
由 可得 ，则 ， 是方程 的两个实数，即 与
图象的交点的横坐标.
第二步：构造函数，求得 的取值范围；
由 可得 ，设 ，则 ，
易得 在 处取得极小值，且 ，当 时， ，当 时， ，
所以由方程 有两个实数根可得 ，即 .
（点拨：因为 与 互为反函数，且 与 互为反函数，所以当 与 的图象有两个交点时， 与 的图象也有两个交点）
第三步：利用反函数的概念对变量进行代换，即可得解；
设 ， ， ， ，
由 与 互为反函数，且 与 互为反函数，
可得 与 ， 与 分别关于直线 对称，则 ， ，
则 ，
又 在 上单调递增，所以 .
故选：C
【点睛】关键点睛：本题数量关系比较多，关键是得到 ， 是方程 的两个实数根， ， 是方
程 的两个实数根，从而构造函数.
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做
等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且 ，公和为1，那么这个数列的
前2023项和 .
【答案】1010
【分析】根据等和数列的性质可以求出奇数项都相等，偶数项也都相等，最后求和即可.
【详解】由等和数列概念可得 ，
所以 ，
故答案为：101014．将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向左平移 个单位
长度，得到函数 的图象，若对任意的 ，均有 成立，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】先由二倍角公式与两角和与差的正弦公式得 ，再结合三角函数的平移变换得
，由 恒成立可知 ， 取最大值，则可求 的表达式，结
合 的条件可得答案.
【详解】由题意得 ，
则 ，因为对任意的 ，均有 成立，所以
，即 ，又 ，所以当 时， 的最小值为 ，
故答案为： .
15．已知 是球 的球面上的三点， ，且三棱锥 的体积为 ，
则球 的体积为 ．
【答案】
【分析】判断 的形状并求出其外接圆的半径 ，利用锥体的体积公式求出球心到截面 的距离，
进而求出球半径即可求解．
【详解】在 中， ，由余弦定理得 ，即 ，整理得 ，而 ，解得 ，
显然 ，即 ，则 外接圆的半径 ，
令球心 到平面 的距离为 ，而 的面积为 ，
由棱锥 的体积为 ，得 ，解得 ，
球 的半径 ，则有 ， ，
所以球 的体积 .
故答案为：
16．已知关于 的不等式 恰有3个不同的正整数解，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知，关于x的不等式 恰有3个不同的正整数解．设函数 ，
，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围．
【详解】当 时，不等式 有无数个正整数解，不满足题意；
当 时，当 时，不等式 恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意；
当 时，不等式 等价于 ，
令 ，所以 ，当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当 时，
，函数 单调递减，
又 ，结合单调性可知，当 时， 恒成立，
而 表示经过点 的直线，
由图像可知，关于 的不等式 恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件：
解得 ．则实数 的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类：
（1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若
利用数形结合的方法，问题将简单化；
（2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观；
（3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决.
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）在 中， ，D为 中点.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
【详解】（1）如图所示：
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，...................1分
在 中，由余弦定理的推论得： ，
在 中，由余弦定理的推论得： ，........................................3分
所以 ，..............................................................................4分
因为 是边 的中点，所以 ，代入上式整理得 ，
因为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ；.................................................................6分
（2）在 中，由正弦定理得： ，
又 ， ， ，..........................................................................8分
所以 ，即 ，.............................................................................9分
在 中，由正弦定理得： ， ， ，所以 .................................................................................................12分
18．（12分）为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车 与
电动自行车 两种车型，采用分段计费的方式租用. 型车每 分钟收费 元（不足 分钟的部分按 分
钟计算）， 型车每 分钟收费 元（不足 分钟的部分按 分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相
互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过 分钟还车的概率分别为 ，
并且四个人每人租车都不会超过 分钟，甲乙丙均租用 型车，丁租用 型车．
（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；
（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量 ，求 的概率分布和数学期望．
【详解】（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件 ，即4人均不超过30分钟，
则 .
答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是 ...................................................2分
（2）由题意，甲乙丙丁在 分钟以上且不超过 分钟还车的概率分别为 ，
设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件 ，
则
答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是 ． ...................................5分
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量 的值为25，即为事件 ，由（1）所以 .6分
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙
中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为
事件 和 .
i.事件 对应的 的值为30，此时 ；
ii.事件 对应的 的值为35，此时 ............................................................7分③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中
的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 .
i.事件 对应的 的值为35，此时 ；
i.事件 对应的 的值为40，此时 ..................8分
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件 ，事件 又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”
和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件 和 .
i.事件 对应的 的值为40，此时 ；
i.事件 对应的 的值为45，此时 .................9分
⑤记“4人均超过30分钟”为事件 ，则随机变量 的值为50，
此时 ；....................................................10分
所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为
25 30 35 40 45 50
.................................................................................................................................................................11分
所以 .
答：甲乙丙丁四人所付费用之和 的数学期望为 ...................................................................12分
19．（12分）如图，在四棱锥 中，已知底面 是正方形， 底面 ，且
， 是棱 上动点.(1)证明： 平面 .
(2)线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值是 ？若存在，求 的值；若不存在，请
说明理由.
【详解】（1）连接 ，交 于点 ，.........................................................................................1分
四边形 为正方形， ；.........................................................................................2分
平面 ， 平面 ， ，................................................................3分
又 ， 平面 ， 平面 ...........................................................5分
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
......................................................................................................................6分
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，.........................................7分
假设在线段 上存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，
设 ，则 ， ，......................8分
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得： ， ， ；
由（1）知： 平面 ， 平面 的一个法向量为 ；.............................10分
，解得： ，...................................11分
当 ，即 时，二面角 的余弦值为 ...........................................12分
20．（12分）已知动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2；
(1)求点P的轨迹C的方程；
(2)直线l在x轴上方与x轴平行，交曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.设OD的中点为M，是否存
在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N， ， 均成立；若
存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）设 ，由动点P到定点 的距离和它到直线 距离之比为2，
可得 ，......................................................................................................................2分
化简得 ，即 ，
故点P的轨迹C的方程为 ；.............................................................................................4分
（2）设l的方程为 ，则 ，故 ，
由已知直线PQ斜率存在，设直线PQ的方程为 ，故 .....................5分
与双曲线方程联立得： ，由 对应渐近线方程为： ，易判断 ，
得 ，设 ， ，
则 ， ①，............................................................................................7分
由 ， 得： ，
，
即 ， ，.................................................................................................9分
消去 得： ，
即 ②
由①②得： ，化简得 ，由已知 ，...............................11分
故存在定直线l： 满足条件....................................................................................................12分
21．（12分）已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求函数 的极值；(2)已知 ，若 恒成立.求证：对任意正整数 ，都有 .
【详解】（1）由 ，可得 ，.................................1分
由条件可得 ，即 .............................................................................................2分
则 ，
令 可得 ，当 时， ，当 时， .
在 上单调递减，在 上单调递增，................................................................4分
的极大值为 ，无极小值...........................................................5分
（2） ，即 对任意的 恒成立，
即 ，其中 ，...............................................................................................6分
令 ，则 ，即 ，........................................................................7分
构造函数 ，则 ，令 ，得 ，列表如下：
+ 0 -
极大值
所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以， ，....................................................................................................9分
即 时， 恒成立，取 ，则 对任意的 恒成立，............................................................10分
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ，即 ....................................................................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系 中，已知直线 的方程为 ．以 为极点， 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
(1)求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)射线 与曲线 和直线 分别交于点 ，点 是曲线 上一点，求 面积的最大
值．
【详解】（1）将 ， 代入 得： ，
，即 ，
直线 的极坐标方程为 ；......................................................................................2分
，
，即 ， 曲线 的直角坐标方程为 ........................................4分
（2）由 得： ；由 得： ；
；.........................................................................................................6分
由 知：射线 所在直线方程为： ，即 ，...........................................7分
设 ，
点 到直线 的距离 ，其中 ，..9分
面积的最大值为 ....................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 恒成立，求 的取值范围．
【详解】（1）当 时，不等式化为 ，解得 ；............................................1分
当 时，不等式化为 ，恒成立；................................................................................2分
当 时，不等式化为 ，解得 ，.........................................................3分
综上所述，原不等式的解集为 ．..........................................................................................5分
（2）因为 ，....................................................7分
所以 恒成立等价于 ，解得 或 ，...................................9分故 的取值范围为 ．.................................................................................................10分
