云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考试卷数学（二）（图片版，含答案）(1)_8月_240821云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期8月月考

云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考试卷数学（二）数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C D B B A C
【解析】
1．∵z1i，∴|z| 2，∴|z2 ||z|22，故选C．
2．当x4时，2x x2成立，充分性成立；但当x1时，必要性不成立，故选A．
3．由题可设小学生、初中生、高中生中分别抽取 4a 人，3a 人，3a 人，则
9.54a83a73a
8.3，故选C．
10a
y y 2 x2 y2
4．设点M(x，y)，则   (x3)，∴  1(x3)，故选D．
x3 x3 3 9 6
1
1 1 12 1 1
5．alog 2 ，blog 3log 2 2  ，c    ，∴cab，故选B．
4 2 8 8 2 5 5 2
6．如图 1，取 AB 的中点 D，连接 PD，CD，则PDCD 3，又
PC  6 ， ∴PD2 CD2 PC2，∴PDCD，∴平面PAB平面
ABC，设△ABC和△PAB的外心分别为O，O ，则O，O 分别
1 2 1 2
1 3
在线段CD，PD上，且ODO D CD ，设外接球的球心
1 2 3 3
图1
6
为O，连接OO，OO，OD，OA，在正方形OODO 中，OD ，∴R2 OA2  AD2 OD2
1 2 1 2 3
2
 6 5 20
1   ，S 4πR2  π，故选B．
 
3 3 3
 
7．∵ylog (4x 1)x与yx2 a为偶函数，∴f(x)log (4x 1)x2 xa为偶函数，又 f(x)
2 2
存在唯一的零点，则 f(0)1a0，∴a1，故选A．
8．因为 f(2x1)为奇函数，所以 f(x)关于点(1，0)中心对称，又 f(x1)为偶函数，所以 f(x)
关 于 直 线 x1 对 称 ； 所 以 f(x) 为 周 期 函 数 且 周 期 T 4|1(1)|8 ，
∴f(2025) f(82531) f(1)a1，∵f(1)a10，∴a1，∴f(2025)a12，
故选C．
数学参考答案·第1页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BD ABD
【解析】
 π π  π
9．因为 f x  f(x)，所以函数 f(x)的周期为 ，故 A 正确；∵x0，  ，∴u2x
 2 2  6
π π 7π π 7π π
 ，  ，又y|sinu|在  ，  上不单调，故B错误；∵函数y|sin2x|向左平移
4 4 12 4 12 8
 π  π π k kπ π
个单位长度得到 sin2x   sin2x  ，故 C 正确；令2x  π，得x 
 8  4 4 2 4 8
(kZ)，故D正确，故选ACD．
10．△ABF 的周长l |AF ||AB||BF |(|AF ||AF |)(|BF ||BF |)4a，故A错误；
1 1 1 1 2 2 1
x2 y2 b2 2b2
当直线AB垂直于x轴时，将xc代入  1得y ，∴|AB| ，故B正确；
a2 b2 a a
∵|AF |2|BF |，|AB||BF |，∴|BF ||AF ||BF |3|BF | ， ∵|BF ||BF |2a，
2 2 1 1 2 2 2 1 2
a
3 a 2 1
∴|BF | a，|BF | ，∴|AF |a，|AF |2a|AF |a，在△ABF 中，cosA  ，
1 2 2 2 2 1 2 1 3a 3
2
|AF |2 |AF |2 |FF |2 a2 a2 4c2 1 c2
在△AFF 中， cosA 1 2 1 2   ， a2 3c2，∴e 2
1 2 2|AF ||AF | 2a2 3 a2
1 2
1 3
 ，e ，故 C 错误；过点 P 向圆引两条切线，设切点为 C 和 D，∵PC OC，
3 3
PDOD，PC PD，OC OD，所以四边形OCPD为正方形，∴|OP| 2b，所以a≥ 2b
时，椭圆上存在点P满足题意，故D正确，故选BD．
1 5 1 5
11．令 f(x)0，则x2 x10，∴x  ，x  ，所以函数 f(x)有且只有两个
1 2 2 2
x2 x2
零点，故 A 正确； f(x) ，令f(x)0，得1x2，令f(x)0，得x1
ex
或x2 ，∴f(x)在(1，2)上为增函数，在(，1)，(2，)上为减函数 ，故 B 正确；
数学参考答案·第2页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}f(x)  f(2)5e2，f(x)  f(1)e，又 f(x)0
极大值 极小值
得xx或xx ，又 f(x)0得x xx ，当x时，
1 2 1 2
f(x)0，当x时，f(x)，作出 f(x)的图象，
如图 2，由图象可得， f(x)无最大值，故 C 错误；方程
图2
f(x)a有三个实根，即y f(x)与ya的图象有三个不同的交点，∴0a5e2，故 D
正确，故选ABD．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
题号 12 13 14
1 7
答案   8
4 25
【解析】
            1
12．∵a(ab)，∴a（ ab）0，∴a2 ab 0，∴a2 ab 410，∴ ．
4
 π tan1 1 4 cos2sin2
13 ． ∵tan   ， ∴tan ， ∴cos2cos2sin2
 4 1tan 7 3 cos2sin2
1tan2 7
  ．
1tan2 25
a
14．令m1，则a aa 2a，∴ n1 2，所以数列{a }是首项为2，公比为2的等比数列，
n1 1 n n a n
n
∴a 2n ，∵f(x)a 2a x3a x2 na xn1 ，∴f(1)a 2a 3a na 2
n 1 2 3 n 1 2 3 n
222 323 n2n ①，∴2f(1)22 223 (n1)2n n2n1 ②，由①−②
得， f(1)222 23 2n n2n1 (1n)2n12，∴f(1)(n1)2n12，且
f(1) 随着n的增大而增大，当n7 时， f(1)628 215382025，当n8时，
f(1)729 235862025，故n的最小值为8．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分13分）
解：（1）∵acosBbcosAbc，
∴sinAcosBsinBcosAsinBsinC sinBsin(AB)，
∴sinAcosBsinBcosAsinBsinAcosBcosAsinB，
数学参考答案·第3页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}1
∴2sinBcosAsinB，∵sinB0，∴cosA ，
2
2
∵0 Aπ，∴A π． ……………………………………………（6分）
3
 2π  1 3 
（2）∵2sinCsinB2sinB sinB2

 sinB cosB

sinB
 3   2 2 
6
 3cosB ，
2
2 π π
∴cosB ，∵0Bπ，∴B ，C  ，
2 4 12
b a
∵  2 3，∴b2 3sinB 6，
sinB sinA
1 1 π 1 6 2 93 3
∴S  absinC  3 6sin  3 6  .
△ABC 2 2 12 2 4 4
……………………………………………（13分）
16．（本小题满分15分）
解：（1）∵f(x)x3 bx2 c，∴f(x)3x2 2bx，f(x)6x2b，
 f(1)62b0， b3，
∴ ∴
f(1)1bc2，

c0，
∴f(x)x3 3x2． ……………………………………………（6分）
（2）设过点(1，t)的直线与y f(x)相切于点(x，x3 3x2)，
0 0 0
∴k  f(x )3x2 6x ，
0 0 0
则切线为y(x3 3x2)(3x2 6x )(xx )，
0 0 0 0 0
因为切线过点(1，t)，∴t(x3 3x2)(3x2 6x )(1x )，
0 0 0 0 0
∴2x3 6x t 0
0 0
令g(x)2x3 6xt，
因为过点(1，t)可作三条直线y f(x)与相切，所以g(x)有三个零点，
g(x)6x2 66(x1)(x1)，
令g(x)0，得x1或x1，令g(x)0，得1x1，
∴g(x)在(，1），(1，)上为增函数，在(1，1)上为减函数，
数学参考答案·第4页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}∴g(x)  g(1)4t，g(x) g(1)4t，
极大值 极小值
∵g(x)有三个零点，
 g(x) 4t 0，
∴ 极大值 ∴4t4.
g(x) 4t0，
 极小值
……………………………………………（15分）
17．（本小题满分15分）
（1）证明：取AE中点O，连接OP，OC，则PO AE，
在Rt△ADE中，ADDE 2，∴OD 2，
2
在△OEC中，OC2 OE2 CE2 2OECEcos135 2 22 2 22cos13510，
在△POC中，OPOD 2，OC  10，PC 2 3，∴OP2 OC2 PC2，
∴OPOC，又AEOC O，∴OP平面ABCE，
又OP平面PAE，∴平面PAE平面ABCE.
………………………………………………………（6分）
（2）解：连接OB，BE，易得ABBE2 5，又O为AE的中点，OB AE，
由（1）知OP平面ABCE，∴OPOB，∴OP，OA，OB两两垂直，
如图3，以O为原点建立空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，A( 2，0，0)，B(0，3 2，0)，C(2 2， 2，0)，
P(0，0， 2)，

设平面PAB的法向量为n (x，y，z )，
1 1 1 1
 
∵PA( 2，0， 2)，PB(0，3 2， 2)，
 
∴    n 1   P  A 2x 1  2z 1 0， ∴n  (3，1，3)， 图3
1
n PB3 2y  2z 0，
1 1 1

设平面PBC的法向量为n (x，y，z )，
2 2 2 2

∵PC (2 2， 2， 2)，
 
 n PB3 2y  2z 0， 
∴2  2 2 ∴n (1，1，3)，
2
n PC 2 2x  2y  2z 0，
2 2 2 2
设平面PAB与平面PBC所成角为，
 
n n 3(1)1133 7 209
则cos 1 2   ，
|n ||n | 19 11 209
1 2
4 2090
故平面PAB与平面PBC所成角的正弦值为 ． ………………………（15分）
209
数学参考答案·第5页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}18．（本小题满分17分）
解：（1）设A “选择A类问题”，A “选择B类问题”，B“选中的问题回答正确”
1 2
1 3 1 1 5
则P(B)P(A)P(B|A)P(A )P(B|A )     ．
1 1 2 2 2 4 2 2 8
……………………………………………………………（5分）
（2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100，
1 1 1 1 1 1 1
P(X 0)       ，
2 4 2 2 2 4 8
1 3 1 1 1 3 9
P(X 20)       ，
2 4 4 2 2 4 32
1 3 3 9
P(X 40)    ，
2 4 4 32
1 1 1 1 1 1 3
P(X 50)       ，
2 2 2 2 4 2 16
1 1 1 1
P(X 100)    ，
2 2 2 8
则X的分布列为
X 0 20 40 50 100
1 9 9 3 1
P
8 32 32 16 8
1 9 9 3 1
E(X)0 20 40 50 100 38.75． ………………………（11分）
8 32 32 16 8
若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，50，70，
1 1 1 1 1 1 1
P(X 0)       ，
2 4 2 2 2 4 8
1 3 1 1 1 3 3
P(X 20)       ，
2 4 2 2 2 4 8
1 1 1 1 1 1 1
P(X 50)       ，
2 2 4 2 4 2 8
1 3 1 1 1 3 3
P(X 70)       ，
2 4 2 2 2 4 8
则Y的分布列为
Y 0 20 50 70
1 3 1 3
P
8 8 8 8
数学参考答案·第6页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}1 3 1 3
E(Y)0 20 50 70 40，
8 8 8 8
∴E(Y)E(X)，故选择方案二. ……………………………………（17分）
19．（本小题满分17分）
（1）解：设A(x，y )，B(x，y )，Q(x ，y )，
1 1 2 2 Q Q
则QA：y y3(xx )，QB：y y3(xx )，
1 1 2 2
 y2 y2
 x y x y 6 1 y 2  6 2 y 1 y y
y y3(xx )， x  1 2 2 1   1 ２，
联立 1 1 得 Q y  y y  y 6
y
2
y3(xx
2
)，
 y 
1
y
２ 1 ２
y  1 2，
 Q 2
3 3
∵QAQB，∴k k   1，∴y y 9，
QA QB y y 1 2
1 2
y y 3
∴x  1 2  ，
Q 6 2
3
故点Q的轨迹方程为x ． ……………………………………………（6分）
2
a a
（2）（i）证明：由已知可得QA：y y (xx )，QB：y y (xx )，
1 2 1 2 2 2
a a a2
∵QAQB，∴k k   1，∴y y  ①，
QA QB 2y 2y 1 2 4
1 2
因为抛物线C的顶点为O，设△OAB的重心坐标为(x，y)，
 y2 y2
 x x a 1  a 2 y2  y2
x 1 2   1 2，
则 3 3 3a ②
 y  y
 y 1 2，
 3
a a
由①②得y2  x  ，
3 6
a a
故由点A，B及抛物线C的顶点所成三角形的重心的轨迹方程为C：y2  x  ，
1 3 6
a 
它是顶点在

，0 ，开口向右的抛物线． ………………………………（12分）
6 
数学参考答案·第7页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}a a a a
（ii）解：由C：y2 ax变为C：y2  x  ，相当于把常数a换成 ，把顶点向右移
1 3 6 3 6
a a a 1 a a
个单位长度；由C：y2  x  变为C ，只需把常数 换成   ，把顶点再向右
1 3 6 2 3 3 3 9
1 a a a a a 
移   个单位长度，得到C：y2  x   ，
6 3 18 2 9 6 18
以此类推，抛物线C 的方程为
n
a  a a a a 
y2  x    
3n  6 63 632 63n1
a  a 1 1 1 
  x 1   
3n  6 3 32 3n1
a  a 1 
  x 1  ． ………………………………………………………（17分）
3n  4 3n 
 y2   y2 
另解：（ii）设抛物线C ：y2 a (xb )，A 1 b，y ，B 2 b，y ，
n n n  a n 1  a n 2
 n   n 
顶点O (b，0)，△O AB的重心坐标为(x，y)，
n n n
 a2
y  y  n，
1 2 4

 y2  y2 3a b
∴x 1 2 n n，
3a
 n
 y  y
y 1 2，
 3
a2
由上式消去y ，y 得9y2 3a x3a b  n ，
1 2 n n n 2
a  a 
∴抛物线C ：y2  n  xb  n a (xb )，
n1 3   n 6   n1 n1
 a
a  n，
 n1 3

 1
∴b b  a，
n1 n 6 n

 a a
a  ，b  ，
  1 3 1 6
数学参考答案·第8页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}a a 1
∴a  ，b b   ，
n 3n n1 n 6 3n
∴b (b b )(b b )(b b)b
n n n1 n1 n2 2 1 1
a  1 1 1 
     1
6 3n1 3n2 3 
1
1
a 3n
 
6 1
1
3
a 1 
 1  ，
4 3n 
a  a 1 
∴抛物线C n 的方程为y2  3n    x 4   1 3n     ． ……………………（17分）
数学参考答案·第9页（共9页）
{#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}