云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考试卷数学（二）（图片版，含答案）(1)_8月_240821云南省昆明市五华区云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期8月月考

云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考试卷数学（二）数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D B B A C 【解析】 1．∵z1i，∴|z| 2，∴|z2 ||z|22，故选C． 2．当x4时，2x x2成立，充分性成立；但当x1时，必要性不成立，故选A． 3．由题可设小学生、初中生、高中生中分别抽取 4a 人，3a 人，3a 人，则 9.54a83a73a 8.3，故选C． 10a y y 2 x2 y2 4．设点M(x，y)，则   (x3)，∴  1(x3)，故选D． x3 x3 3 9 6 1 1 1 12 1 1 5．alog 2 ，blog 3log 2 2  ，c    ，∴cab，故选B． 4 2 8 8 2 5 5 2 6．如图 1，取 AB 的中点 D，连接 PD，CD，则PDCD 3，又 PC  6 ， ∴PD2 CD2 PC2，∴PDCD，∴平面PAB平面 ABC，设△ABC和△PAB的外心分别为O，O ，则O，O 分别 1 2 1 2 1 3 在线段CD，PD上，且ODO D CD ，设外接球的球心 1 2 3 3 图1 6 为O，连接OO，OO，OD，OA，在正方形OODO 中，OD ，∴R2 OA2  AD2 OD2 1 2 1 2 3 2  6 5 20 1   ，S 4πR2  π，故选B．   3 3 3   7．∵ylog (4x 1)x与yx2 a为偶函数，∴f(x)log (4x 1)x2 xa为偶函数，又 f(x) 2 2 存在唯一的零点，则 f(0)1a0，∴a1，故选A． 8．因为 f(2x1)为奇函数，所以 f(x)关于点(1，0)中心对称，又 f(x1)为偶函数，所以 f(x) 关 于 直 线 x1 对 称 ； 所 以 f(x) 为 周 期 函 数 且 周 期 T 4|1(1)|8 ， ∴f(2025) f(82531) f(1)a1，∵f(1)a10，∴a1，∴f(2025)a12， 故选C． 数学参考答案·第1页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 【解析】  π π  π 9．因为 f x  f(x)，所以函数 f(x)的周期为 ，故 A 正确；∵x0，  ，∴u2x  2 2  6 π π 7π π 7π π  ，  ，又y|sinu|在  ，  上不单调，故B错误；∵函数y|sin2x|向左平移 4 4 12 4 12 8  π  π π k kπ π 个单位长度得到 sin2x   sin2x  ，故 C 正确；令2x  π，得x   8  4 4 2 4 8 (kZ)，故D正确，故选ACD． 10．△ABF 的周长l |AF ||AB||BF |(|AF ||AF |)(|BF ||BF |)4a，故A错误； 1 1 1 1 2 2 1 x2 y2 b2 2b2 当直线AB垂直于x轴时，将xc代入  1得y ，∴|AB| ，故B正确； a2 b2 a a ∵|AF |2|BF |，|AB||BF |，∴|BF ||AF ||BF |3|BF | ， ∵|BF ||BF |2a， 2 2 1 1 2 2 2 1 2 a 3 a 2 1 ∴|BF | a，|BF | ，∴|AF |a，|AF |2a|AF |a，在△ABF 中，cosA  ， 1 2 2 2 2 1 2 1 3a 3 2 |AF |2 |AF |2 |FF |2 a2 a2 4c2 1 c2 在△AFF 中， cosA 1 2 1 2   ， a2 3c2，∴e 2 1 2 2|AF ||AF | 2a2 3 a2 1 2 1 3  ，e ，故 C 错误；过点 P 向圆引两条切线，设切点为 C 和 D，∵PC OC， 3 3 PDOD，PC PD，OC OD，所以四边形OCPD为正方形，∴|OP| 2b，所以a≥ 2b 时，椭圆上存在点P满足题意，故D正确，故选BD． 1 5 1 5 11．令 f(x)0，则x2 x10，∴x  ，x  ，所以函数 f(x)有且只有两个 1 2 2 2 x2 x2 零点，故 A 正确； f(x) ，令f(x)0，得1x2，令f(x)0，得x1 ex 或x2 ，∴f(x)在(1，2)上为增函数，在(，1)，(2，)上为减函数 ，故 B 正确； 数学参考答案·第2页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}f(x)  f(2)5e2，f(x)  f(1)e，又 f(x)0 极大值 极小值 得xx或xx ，又 f(x)0得x xx ，当x时， 1 2 1 2 f(x)0，当x时，f(x)，作出 f(x)的图象， 如图 2，由图象可得， f(x)无最大值，故 C 错误；方程 图2 f(x)a有三个实根，即y f(x)与ya的图象有三个不同的交点，∴0a5e2，故 D 正确，故选ABD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 1 7 答案   8 4 25 【解析】             1 12．∵a(ab)，∴a（ ab）0，∴a2 ab 0，∴a2 ab 410，∴ ． 4  π tan1 1 4 cos2sin2 13 ． ∵tan   ， ∴tan ， ∴cos2cos2sin2  4 1tan 7 3 cos2sin2 1tan2 7   ． 1tan2 25 a 14．令m1，则a aa 2a，∴ n1 2，所以数列{a }是首项为2，公比为2的等比数列， n1 1 n n a n n ∴a 2n ，∵f(x)a 2a x3a x2 na xn1 ，∴f(1)a 2a 3a na 2 n 1 2 3 n 1 2 3 n 222 323 n2n ①，∴2f(1)22 223 (n1)2n n2n1 ②，由①−② 得， f(1)222 23 2n n2n1 (1n)2n12，∴f(1)(n1)2n12，且 f(1) 随着n的增大而增大，当n7 时， f(1)628 215382025，当n8时， f(1)729 235862025，故n的最小值为8． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）∵acosBbcosAbc， ∴sinAcosBsinBcosAsinBsinC sinBsin(AB)， ∴sinAcosBsinBcosAsinBsinAcosBcosAsinB， 数学参考答案·第3页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}1 ∴2sinBcosAsinB，∵sinB0，∴cosA ， 2 2 ∵0 Aπ，∴A π． ……………………………………………（6分） 3  2π  1 3  （2）∵2sinCsinB2sinB sinB2   sinB cosB  sinB  3   2 2  6  3cosB ， 2 2 π π ∴cosB ，∵0Bπ，∴B ，C  ， 2 4 12 b a ∵  2 3，∴b2 3sinB 6， sinB sinA 1 1 π 1 6 2 93 3 ∴S  absinC  3 6sin  3 6  . △ABC 2 2 12 2 4 4 ……………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）∵f(x)x3 bx2 c，∴f(x)3x2 2bx，f(x)6x2b，  f(1)62b0， b3， ∴ ∴ f(1)1bc2，  c0， ∴f(x)x3 3x2． ……………………………………………（6分） （2）设过点(1，t)的直线与y f(x)相切于点(x，x3 3x2)， 0 0 0 ∴k  f(x )3x2 6x ， 0 0 0 则切线为y(x3 3x2)(3x2 6x )(xx )， 0 0 0 0 0 因为切线过点(1，t)，∴t(x3 3x2)(3x2 6x )(1x )， 0 0 0 0 0 ∴2x3 6x t 0 0 0 令g(x)2x3 6xt， 因为过点(1，t)可作三条直线y f(x)与相切，所以g(x)有三个零点， g(x)6x2 66(x1)(x1)， 令g(x)0，得x1或x1，令g(x)0，得1x1， ∴g(x)在(，1），(1，)上为增函数，在(1，1)上为减函数， 数学参考答案·第4页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}∴g(x)  g(1)4t，g(x) g(1)4t， 极大值 极小值 ∵g(x)有三个零点，  g(x) 4t 0， ∴ 极大值 ∴4t4. g(x) 4t0，  极小值 ……………………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：取AE中点O，连接OP，OC，则PO AE， 在Rt△ADE中，ADDE 2，∴OD 2， 2 在△OEC中，OC2 OE2 CE2 2OECEcos135 2 22 2 22cos13510， 在△POC中，OPOD 2，OC  10，PC 2 3，∴OP2 OC2 PC2， ∴OPOC，又AEOC O，∴OP平面ABCE， 又OP平面PAE，∴平面PAE平面ABCE. ………………………………………………………（6分） （2）解：连接OB，BE，易得ABBE2 5，又O为AE的中点，OB AE， 由（1）知OP平面ABCE，∴OPOB，∴OP，OA，OB两两垂直， 如图3，以O为原点建立空间直角坐标系， 则O(0，0，0)，A( 2，0，0)，B(0，3 2，0)，C(2 2， 2，0)， P(0，0， 2)，  设平面PAB的法向量为n (x，y，z )， 1 1 1 1   ∵PA( 2，0， 2)，PB(0，3 2， 2)，   ∴    n 1   P  A 2x 1  2z 1 0， ∴n  (3，1，3)， 图3 1 n PB3 2y  2z 0， 1 1 1  设平面PBC的法向量为n (x，y，z )， 2 2 2 2  ∵PC (2 2， 2， 2)，    n PB3 2y  2z 0，  ∴2  2 2 ∴n (1，1，3)， 2 n PC 2 2x  2y  2z 0， 2 2 2 2 设平面PAB与平面PBC所成角为，   n n 3(1)1133 7 209 则cos 1 2   ， |n ||n | 19 11 209 1 2 4 2090 故平面PAB与平面PBC所成角的正弦值为 ． ………………………（15分） 209 数学参考答案·第5页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}18．（本小题满分17分） 解：（1）设A “选择A类问题”，A “选择B类问题”，B“选中的问题回答正确” 1 2 1 3 1 1 5 则P(B)P(A)P(B|A)P(A )P(B|A )     ． 1 1 2 2 2 4 2 2 8 ……………………………………………………………（5分） （2）若选方案一：设李华累计得分为X，则X可能取值为0，20，40，50，100， 1 1 1 1 1 1 1 P(X 0)       ， 2 4 2 2 2 4 8 1 3 1 1 1 3 9 P(X 20)       ， 2 4 4 2 2 4 32 1 3 3 9 P(X 40)    ， 2 4 4 32 1 1 1 1 1 1 3 P(X 50)       ， 2 2 2 2 4 2 16 1 1 1 1 P(X 100)    ， 2 2 2 8 则X的分布列为 X 0 20 40 50 100 1 9 9 3 1 P 8 32 32 16 8 1 9 9 3 1 E(X)0 20 40 50 100 38.75． ………………………（11分） 8 32 32 16 8 若选方案二：设李华累计得分为Y，则Y可能取值为0，20，50，70， 1 1 1 1 1 1 1 P(X 0)       ， 2 4 2 2 2 4 8 1 3 1 1 1 3 3 P(X 20)       ， 2 4 2 2 2 4 8 1 1 1 1 1 1 1 P(X 50)       ， 2 2 4 2 4 2 8 1 3 1 1 1 3 3 P(X 70)       ， 2 4 2 2 2 4 8 则Y的分布列为 Y 0 20 50 70 1 3 1 3 P 8 8 8 8 数学参考答案·第6页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}1 3 1 3 E(Y)0 20 50 70 40， 8 8 8 8 ∴E(Y)E(X)，故选择方案二. ……………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：设A(x，y )，B(x，y )，Q(x ，y )， 1 1 2 2 Q Q 则QA：y y3(xx )，QB：y y3(xx )， 1 1 2 2  y2 y2  x y x y 6 1 y 2  6 2 y 1 y y y y3(xx )， x  1 2 2 1   1 ２， 联立 1 1 得 Q y  y y  y 6 y 2 y3(xx 2 )，  y  1 y ２ 1 ２ y  1 2，  Q 2 3 3 ∵QAQB，∴k k   1，∴y y 9， QA QB y y 1 2 1 2 y y 3 ∴x  1 2  ， Q 6 2 3 故点Q的轨迹方程为x ． ……………………………………………（6分） 2 a a （2）（i）证明：由已知可得QA：y y (xx )，QB：y y (xx )， 1 2 1 2 2 2 a a a2 ∵QAQB，∴k k   1，∴y y  ①， QA QB 2y 2y 1 2 4 1 2 因为抛物线C的顶点为O，设△OAB的重心坐标为(x，y)，  y2 y2  x x a 1  a 2 y2  y2 x 1 2   1 2， 则 3 3 3a ②  y  y  y 1 2，  3 a a 由①②得y2  x  ， 3 6 a a 故由点A，B及抛物线C的顶点所成三角形的重心的轨迹方程为C：y2  x  ， 1 3 6 a  它是顶点在  ，0 ，开口向右的抛物线． ………………………………（12分） 6  数学参考答案·第7页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}a a a a （ii）解：由C：y2 ax变为C：y2  x  ，相当于把常数a换成 ，把顶点向右移 1 3 6 3 6 a a a 1 a a 个单位长度；由C：y2  x  变为C ，只需把常数 换成   ，把顶点再向右 1 3 6 2 3 3 3 9 1 a a a a a  移   个单位长度，得到C：y2  x   ， 6 3 18 2 9 6 18 以此类推，抛物线C 的方程为 n a  a a a a  y2  x     3n  6 63 632 63n1 a  a 1 1 1    x 1    3n  6 3 32 3n1 a  a 1    x 1  ． ………………………………………………………（17分） 3n  4 3n   y2   y2  另解：（ii）设抛物线C ：y2 a (xb )，A 1 b，y ，B 2 b，y ， n n n  a n 1  a n 2  n   n  顶点O (b，0)，△O AB的重心坐标为(x，y)， n n n  a2 y  y  n， 1 2 4   y2  y2 3a b ∴x 1 2 n n， 3a  n  y  y y 1 2，  3 a2 由上式消去y ，y 得9y2 3a x3a b  n ， 1 2 n n n 2 a  a  ∴抛物线C ：y2  n  xb  n a (xb )， n1 3   n 6   n1 n1  a a  n，  n1 3   1 ∴b b  a， n1 n 6 n   a a a  ，b  ，   1 3 1 6 数学参考答案·第8页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}a a 1 ∴a  ，b b   ， n 3n n1 n 6 3n ∴b (b b )(b b )(b b)b n n n1 n1 n2 2 1 1 a  1 1 1       1 6 3n1 3n2 3  1 1 a 3n   6 1 1 3 a 1   1  ， 4 3n  a  a 1  ∴抛物线C n 的方程为y2  3n    x 4   1 3n     ． ……………………（17分） 数学参考答案·第9页（共9页） {#{QQABYQCAogAgAIIAABhCQQn6CgIQkAACAYgOBBAIMAAAAAFABCA=}#}