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格致课堂
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
（用时45分钟）
【选题明细表】
知识点、方法 题号
面面垂直的性质的理解 1,6
面面垂直的性质的应用 2,3,8,10,11
综合应用 4,5,7,9,12
基础巩固
1．若平面 与平面 互相垂直，则（ ）
A． 内任一条直线都垂直于 B． 中只有一条直线垂直于
C．平行于 的直线必垂直于 D． 内垂直于交线的直线必垂直于
【答案】D
【解析】如果两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线垂直于两个平面的交线，则这条直线垂直另一个
平面. 根据这一性质可知D选项正确.
2．已知长方体 ，在平面 上任取点 ，作 于点 ，则（ ）
A． 平面
B． 平面
C． 平面
D．以上都有可能
【答案】A
【解析】格致课堂
∵ 平面 ，平面 平面 ，且平面 平面 ，
∴ 平面 .
3．如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( )
A．PD 平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
【答案】B
【解析】∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，
∴PD⊥平面ABC.故选B
4．如图，在斜三棱柱 中， ，且 ，过 作 底面 ，垂
足为 ，则点 在( ).
A．直线 上 B．直线 上 C．直线 上 D． 内部格致课堂
【答案】B
【解析】连接 ，如图.
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 平面 .
又 在平面 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面 平面 ，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面 内一点 向平面 作垂线，垂足必落在交线 上.
5．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA=90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC=4，M
是AB边上的一动点，则PM的最小值为 ( )
A．2 B． C．4 D．4
【答案】B
【解析】连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM= ，要求PM的最小
值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM=4× =2 ，
所以PM的最小值为2 . 选B.
6．平面 平面 ， ， ， ，直线 （ ， 是两条不同的直线），则直线
与 的位置关系是______.
【答案】格致课堂
【解析】因为平面 平面 ， ， ， ，
由面面垂直的性质可得 ，又 ，所以 .
故答案为：
7．如图所示， 为空间四点，在△ABC中， ，等边三角形
以 为轴运动，当平面 平面 时， ________.
【答案】2.
【解析】取 的中点 ，连接 .因为 是等边三角形，所以 .当平面 平
面 时，因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ，故 .由已
知可得 ，在 中， .
8．已知 是△ABC所在平面外的一点，且 平面 ，平面 平面 .求证: .
【答案】证明见解析
【解析】如图，在平面 内作 于点 ，格致课堂
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，且 ，
平面 ，
又 平面 ，
.
平面 ， 平面 ，
，
， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ，
.
能力提升
9．如图，在四边形 中， ， ， ，将四边形 沿对角
线 折成四面体 ，使平面 平面 ，则下列结论正确的是（ ）格致课堂
A． B．
C．△A´DC是正三角形 D．四面体 的体积为
【答案】B
【解析】 ， ， ，平面 平面 ，由 与 不垂
直， ，知 与平面 不垂直， 仅与 平行的直线垂直，故A错误；
由 ，平面 平面 ，易得 平面 ， ，又由 ，
，可得 ，则 平面 ， ，故B正确；
由 平面 ，得 ，即△A´DC是直角三角形，故C错误；
四面体 的体积选 ，故D错误.
故选：B.
10．如图，平面 平面 ， ， ， 是正三角形，O为 的中点，
则图中直角三角形的个数为______.
【答案】6
【解析】 ，O为 的中点，
.
又平面 平面 ，且交线为 ，格致课堂
平面 .
平面 ， ，△COD为直角三角形.
∴图中的直角三角形有 ， ，△ABC， ，△BOD， ，共6个.
故答案为：6.
11．如图所示，在三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角形， ，过点
分别作 ， ， ， 分别为垂足.
（1）求证：平面 平面 .
（2）求证： .
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】证明：（1）因为 平面 ， 平面 ，所以 ．又 ，
，所以 平面 ．又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ， 平面 ，所以 ．又 ， ，
所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
又 ， ，，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ．
素养达成
12．如图所示，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 为垂足.格致课堂
（1）求证： 平面 ；
（2）当 为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形.
【答案】(1)见解析.(2)见解析.
【解析】(1）在平面 内取一点 ，作 于 ， 于 .
∵面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 .
又 平面 ， .同理可证 .
， 平面 .
（2）连接 并延长交 于 .
是△PBC的垂心， ，又 平面 ，故 ，又 ，
平面 ， .
又 平面 ， ，又 ， 平面 ， ，即△ABC是
直角三角形.格致课堂
