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专题5.12 平行线及平行线的判定（直通中考）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·山东临沂·统考中考真题）在同一平面内，过直线 外一点 作 的垂线 ，再过 作 的垂
线 ，则直线 与 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
2．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，直线 ，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不
能判定直线 的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林·统考中考真题）如图，如果 ，那么 ，其依据可以简单说成（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
4．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，已知 ，为保证两条铁轨平行，添加的下列条件中，
正确的是（ ）A． B． C． D．
5．（2020·浙江金华·统考中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘 的垂线 和 ，得到 ，
理由是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线
C．连接直线外一点与直线各点的所有直线中，垂线段最短
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
6．（2020·湖南郴州·统考中考真题）如图，直线 被直线 所截，下列条件能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020·浙江衢州·统考中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（
）
A． B．C． D．
8．（2019·辽宁丹东·中考真题）如图，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作出了CP∥OB，作图痕迹中，
是（ ）
A．以点C为圆心、OD的长为半径的弧
B．以点C为圆心、DM的长为半径的弧
C．以点E为圆心、DM的长为半径的弧
D．以点E为圆心、OD的长为半径的弧
9．（2018·贵州铜仁·统考中考真题）在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b
的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（ ）
A．1cm B．3cm C．5cm或3cm D．1cm或3cm
10．（2014·山东滨州·统考中考真题）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，
画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·甘肃兰州·统考中考真题）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 ．12．（2021·广西桂林·统考中考真题）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ∠2时，a//b．（用
“＞”，“＜”或“＝”填空）
13．（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴ ．
14．（2019·江苏南京·统考中考真题）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平
行”的推理形式：∵ ，∴a∥b．
15．（2018·湖南湘潭·统考中考真题）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使
BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）16．（2017·吉林·中考真题）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据
是 ．
17．（2017·四川广安·中考真题）如图，若∠1+∠2=180°，∠3=110°，则∠4= ．
18．（2014·湖南湘潭·统考中考真题）如图，直线a、b被直线c所截，若满足 ，则a、b平行．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2014·广东·统考中考真题）如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．
（1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．20．（8分）（2022下·江西赣州·七年级统考期末）请把以下推理过程填写完整：
已知：如图，∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，求证：a c．
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∴ （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴b c（ ）．
∴a c（ ）．
21．（10分）（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，B，E分别是AC，DF上的点， ，
，求证： ．22．（10分）（2023下·全国·七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从
水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线
b，根据光学知识有 ， ，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
23．（10分）（2022·吉林·统考二模）在Rt 中， ， ， ．点P为线段
AB（不与点A和点B重合）上一点，连接CP，将 沿CP翻折得到 ．
（1）如图1，当点D落在AB上时，AP＝______；
（2）如图2，当DP∥AC时，判断四边形ACDP的形状，并说明理由；（3）当点D落在 内部时，直接写出AP的取值范围．
24．（12分）（2023·山西忻州·统考模拟预测）小明想知道作业纸上两条相交直线 ， 所夹锐角
的大小（如图1）．但发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．小明设计了如下方案（如图2）：
①作直线 分别交 ， 于点 ， ，以点 为顶点， 为一边，在直线 的右侧作
；
②测量 的度数即可得到直线 ， 所夹锐角的大小．
问题1：你认为小明的方案可行吗？并说明理由．
问题2：你还有其他方法吗？请在图1中画图说明．（测量工具：直尺、量角器）参考答案：
1．C
【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”即可作出判断．
解：∵在同一平面内，过直线 外一点 作 的垂线 ，即 ，
又∵过 作 的垂线 ，即 ，
∴ ，
∴直线 与 的位置关系是平行，
故选：C．
【点拨】本题考查平行线的判定．掌握平行线判定的方法是解题的关键．
2．C
【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果．
解：A、当 时， ；故A不符合题意；
B、当 时， ；故B不符合题意；
C、当 时， ；故C符合题意；
D、∵ ，则 ，
∵ ，则 ，
∴ ；故D不符合题意；故选：C
【点拨】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．
3．D
【分析】根据“同位角相等，两直线平行”即可得．
解：因为 与 是一对相等的同位角，得出结论是 ，
所以其依据可以简单说成同位角相等，两直线平行，
故选：D．
【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
4．C
【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可．
解：A.∠1与∠2是邻补角，无法判断两条铁轨平行，故此选项不符合题意；
B. ∠1与∠3与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
C. ∠1与∠4是同位角，且∠1=∠4=90°，故两条铁轨平行，所以该选项正确；
D. ∠1与∠5与两条铁轨平行没有关系，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．
解：由题意得：
∴a∥b（在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行），
故选：A．
【点拨】本题考查平行线的判定，平行公理，解题关键是理解题意，灵活运用所学直线解决问题．
6．D
【分析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
解：A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
7．D【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
解：A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，
故选：D．
【点拨】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考
题型．
8．C
【分析】根据平行线的判定，作一个角等于已知角的方法即可判断．
解：由作图可知作图步骤为：
①以点O为圆心，任意长为半径画弧DM，分别交OA，OB于M，D．
②以点C为圆心，以OM为半径画弧EN，交OA于E．
③以点E为圆心，以DM为半径画弧FG，交弧EN于N．
④过点N作射线CP．
根据同位角相等两直线平行，可得CP∥OB．
故选C．
【点拨】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中
考常考题型．
9．C
解：分析：分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义
分别求解．
详解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4-1=3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离=4+1=5（cm），
综上所述，a与c的距离为3cm或5cm．故选C．
点睛：本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长
度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
10．A
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
解：∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【点拨】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
11． 内错角相等，两直线平行
【分析】根据三角板的角度可知 ，根据内错角相等，两直线平行判断即可．
解：一副三角板如图摆放，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案为： ； ；内错角相等，两直线平行．
【点拨】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键．
12．=．
【分析】由图形可知∠1 与∠2是同位角，利用直线平行判定定理可以确定∠1 =∠2，可判断a//b．
解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，
∴当∠1 =∠2，a//b．
故答案为=．
【点拨】本题考查平行线判定，掌握平行线判定判定定理是解题关键．
13．∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）【点拨】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答.
14．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点拨】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行．
15．∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进
行判断（答案不唯一）．
解：若 ，则BC∥AD；
若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD；
若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD；
若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一）
【点拨】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁
内角互补，两直线平行．
16．同位角相等，两直线平行．
解：如图所示：
根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；
∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：同位角相等，两直线平行．
17．110°．解：∵∠1+∠2=180°，
∴a∥b，∴∠3=∠4，
又∵∠3=110°，∴∠4=110°．
故答案为110°．
18．∠1=∠2或∠3=∠2或∠3+∠4=1800
解：试题分析：∵∠1=∠2（以此为例），
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
故答案为∠1=∠2．
考点：平行线的判定
19．（1）作图见分析；（2）DE∥AC．
【分析】（1）根据角平分线的画法画出角平分线；
（2）根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行．
解：（1）如图所示：
（2）DE∥AC
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE= ∠BDC，
∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，
∴∠A= ∠BDC，
∴∠A=∠BDE，
∴DE∥AC．
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直
线平行．
20． ； ；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行
【分析】根据平行线的判定定理解答即可．解：∵∠1＝∠2（已知），
∴a b（内错角相等，两直线平行）．
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴b c（同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴a c（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线互相平行．
21．证明见分析
【分析】根据平行线的判定定理和性质证明即可．
解：证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定方法是解题关键．
22．平行，理由见分析
【分析】根据等角的补角相等求出 与 的补角相等，再根据 ，结合内错角相等，两直线
平行即可判定 ．
解：平行，理由如下：
如图， ，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了平行线的判定，解决本题的关键是掌握平行线的判定．23．（1）1；（2）四边形ACDP是菱形．理由见分析；（3）
【分析】（1）根据折叠性质可得出 是等边三角形，利用等边三角形的性质即可得出结论；
（2）根据折叠得出 ， ，再利用平行线的性质得到，根据等角对等边得出 ，
从而判定四边形ACDP是菱形；
（3）根据临界条件，分为当点D落在 的边 上时；当点D落在 的边 上时，分别计
算出 长度即可求出范围．
（1）解：在Rt 中， ， ， ，
将 沿CP翻折得到 ，
， ，
是等边三角形，
，
故答案为： ；
（2）解：四边形ACDP是菱形．
理由如下：
由折叠可知 ， ， ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
∴四边形ACDP是菱形．
（3）解：根据题意，当点D落在 的边 上时，在第（1）问中以及求出 ；
当点D落在 的边 上时，如图所示：由折叠可知 ，
，且 是 的一个外角，
，即 ，
，
在Rt 中， ， ， ，则 ，
，
当点D落在 内部时， ．
【点拨】本题考查几何综合，涉及到翻折的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、菱形的
判定、外角的性质、特殊角度直角三角形三边关系等知识点，掌握相关几何图形的性质与判定是解决问题
的关键．
24．问题1：小明的方案可行．理由见分析；问题2：见分析
【分析】问题1：根据同位角相等，两直线平行进行判断；问题2：在 上取点 ，在 上取点 ，
作直线 ，量出一组同旁内角，根据同旁内角互补两直线平行进行判断．
解：问题1：小明的方案可行．
理由：如图，设直线 ， 相交于点 ．
，
，
．问题2：如图，在 上取点 ，在 上取点 ，作直线 ，量出 和 的大小，利用三
角形内角和即可求出直线 ， 所夹锐角的大小．
若 和 的和是 ，则说明两直线平行．
【点拨】本题考查了平行线的判定，判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平
行；同旁内角互补，两直线平行．
