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人教版七年级数学下册
【单元测试】第五章 相交线与平行线（夯实基础培优卷）
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：
___________
本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满
分100分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充
分考查学生双基综合能力！
一、单选题：本题共 10个小题，每小题 2分，共20分。在每小题给出的四个
选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（2022·全国·七年级期末）如图，给出下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③AD
BE，且∠D=∠B，④AD BE，且∠DCE=∠D，其中能推出AB DC的条件为
（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【详解】解：① ∠1=∠2，
② ∠3=∠4，
③ AD BE，
∠D=∠B，
④ ∠DCE=∠D，能推出AB DC的条件为②③
故选B
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
2．（2022·浙江新昌·七年级期末）如图，点O在直线BD上，已知 ， ，
则 的度数为（ ）．
A．20° B．70° C．80° D．90°
【答案】B
【分析】直接利用垂直的定义结合互余得出答案．
【详解】解：∵点O在直线DB上， OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠BOC＝90°−20°＝70°，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了垂线以及互余，正确把握相关定义是解题关键．
3．（2021·天津南开·七年级期中）在下列汽车标志的图案中，能用图形的平移来分析其
形成过程的是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平
行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．
【详解】解：A.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；B.不是由“基本
图案”经过平移得到，故此选项不合题意；C.是由“基本图案”经过平移得到，故此选项
符合题意；D.不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，学
生混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选．
4．（2021·北京·七年级期末）如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方
向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最
少需要（ ）
A．4步 B．5步 C．6步 D．7步
【答案】B
【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数．
【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，
最下边的直线向上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平
移方法都多于5步．
∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步．
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形．
5．（2021·重庆·七年级期中）下面的四个图形中，能够通过基本图形平移得到的图形有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平移的性质，对逐个选项进行分析即可．
【详解】解：第一个、第二个图不能由基本图形平移得到，
第三个、第四个图可以由基本图形平移得到，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状，
大小，方向．学生比较难区分平移、旋转或翻转．
6．（2021·北京·七年级期末）北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计
的（如图）．下面四个图案中，可以通过平移图案得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小解答．
【详解】解：能通过平移得到的是A选项图案．
故选：A
【点睛】本题考查了利用平移设计图案，熟记平移变换只改变图形的位置不改变图形的形
状并准确识图是解题的关键．7．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，
如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（
）
A．110° B．100° C．90° D．70°
【答案】A
【分析】根据AB∥CD，BC∥AD，分别得到∠1+∠ADC＝180°，∠2+∠ADC＝180°，因此
∠1＝∠2，即可求解．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠ADC＝180°，
∵BC∥AD，
∴∠2+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝110°，
∴∠2＝110°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
8．（2022·重庆南岸·八年级期末）如图，l∥l，l∥l，与∠α互补的是（ ）
1 2 3 4A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4
【答案】D
【分析】如图，先证明 再证明 可得 再利用邻补角的定义可得答
案.
【详解】解：如图，
所以与∠α互补的是
故选D
【点睛】本题考查的是平行线的性质，邻补角的定义，掌握“两直线平行，同位角相等”
是解本题的关键.
9．（2022·河南·郑州外国语中学八年级期末）一把直尺与一块直角三角板按下图方式摆
放，若 ，则 （ ）A．52° B．53° C．54° D．63°
【答案】B
【分析】过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质（两直线平行，同
位角相等）即可求解．
【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，
∵直尺的两边互相平行，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）八年级期末）生活中常见的探照灯、汽车大
灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线 等反射以后沿
着与直线 平行的方向射出，若 ， ，则 的度数为
（ ）°A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得 ，进而根据
即可求解
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2021·重庆·七年级期中）如图，若 ， ， ，那么 _____．
（用 、 表示）
【答案】
【分析】过点 作 ，证明 ，可得 再
结合角的和差关系可得结论.
【详解】解：过点 作 ，，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质的应用，作出适当的辅助线是解本
题的关键.
12．（2021·北京·七年级期末）如图，给出下列条件：① ；② ；③
；④ ．其中，能推出AD//BC的条件是 __．（填上所有符
合条件的序号）
【答案】②④##④②
【分析】利用平行线的判定定理依次判断．
【详解】解：① ， ；
② ， ；
③ ， ；④ ， ．
故答案为：②④．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理并熟练应用是解题的关键．
13．（2021·全国·七年级期中）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，如果
第一次的拐角 是 ，则第二次的拐角 是__ ．
【答案】135
【分析】两直线平行，内错角相等，可知 ，进而得出结果．
【详解】解： 道路是平行的
（两直线平行，内错角相等）
故答案为：135．
【点睛】此题考查平行线的性质．解题的关键在于实际问题转化为几何问题，利用平行线
的性质求解．
14．（2022·北京昌平·七年级期末）如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引 ，
， ， 几条线段，其中只有线段 与直线l垂直．这几条线段中，______的长度
最短．
【答案】PC
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答即可．
【详解】解：直线外一点P与直线l上各点连接的所有线段中，最短的是PC，依据是垂线
段最短，
故答案为：PC．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．15．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）将一把直尺和一块
含30°角的直角三角板按如图所示方式摆放，其中∠CBD=90°，∠BDC=30°，若
∠1=78°，则∠2的度数为________．
【答案】18°##18度
【分析】根据平角及已知条件可得 ，由平行线的性质可得
，结合图形求解即可得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵四边形AEGH为矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查角度的计算及平行线的性质，理解题意，结合图形求角度是解题关
键．
16．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，AD BC，E是线段AD上任意一点，BE与AC
相交于点O，若△ABC的面积是5，△EOC的面积是2，则△BOC的面积是 ___．
【答案】3【分析】根据平行可得： 与 高相等，即两个三角形的面积相等，根据图中三
角形之间的关系即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ 与 高相等，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查平行线间的距离相等，三角形面积的计算等，理解题意，掌握平行
线之间的距离相等是解题关键．
17．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯
以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点 照射到抛物线上的光线 ， 等反射
以后沿着与 平行的方向射出．图中如果 ， ，则
________， ________．
【答案】 45°##45度 112°##45度
【分析】由平行线的性质即可得出 ， ．
【详解】解：由题意知AB//PQ//CD
∴
∴
故答案为：45°，112°
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互
补．18．（2021·北京·七年级期末）数学课上，老师要求同学们利用三角板画两条平行线．
如图，小华的画法；①将含 角三角尺的最长边与直线 重合，用虚线作出一条最短边所
在直线；②再次将含 角三角尺的最短边与虚线重合，画出最长边所在直线 ，则 ．
你认为他画图的依据是__．
【答案】内错角相等，两直线平行
【分析】根据画图的步骤，2个60°的角是内错角，根据平行线的判定即可求得答案
【详解】解：画图的依据是内错角，相等两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了画平行线，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分，
共56分。
19．（2022·福建武平·七年级期末）如图，直线 相交于点 ， ，垂足
为 ．
(1)若 ，求 的度数．
(2)在（1）的条件下，若 平分 ，写出与 互补的角的度数．
【答案】(1)58°；(2)164°
【分析】
（1）直接利用垂线的定义结合已知得出 ，求出答案；
（2）利用互补的定义得出与∠AOF的互补的角的度数．
【详解】(1)解：如图，由已知条件得 ，∴ ，
又∵ ，
∴
∴ ；
(2)
∵ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ 的补角是
【点睛】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确掌握互补的定义是解题关键．
20．（2022·江苏洪泽·七年级期末）如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按
要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）：
(1)画线段AB，画射线CB，画直线AC；
(2)过点A画射线CB的垂线AD，垂足为点D；
(3)过点O画直线AC的平行线OE．
【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)作图见解析
【分析】
（1）直接连接 两点，即为线段 ；连接 并延长B端，即为射线 ；连接
，并两端延长，即为直线 ；
（2）如图连接 并延长，过点 向上查1格，向左查2格为 ，连接 ，知 ，
点 向下查2格，向左查1格为 ，从 点向下查2格，向左查1格为 ，连接 即为所求；
（3）如图，连接 向下查3格，然后向左查4格为A，过点 作 的平行线，从
向下查3格，然后向左查4格为 ，连接 即为所求．
【详解】(1)解：如图
(2)
解：如图连接 并延长，过点 向上查1格，向左查2格为 ，连接 ，知 ，
点 向下查2格，向左查1格为 ，从 点向下查2格，向左查1格为 ，连接 即为所
求．
(3)
解：如图，连接 向下查3格，然后向左查4格为A，过点 作 的平行线，从
向下查3格，然后向左查4格为 ，连接 即为所求．
【点睛】本题考查了直线、线段、射线，垂线与平行线等知识．解题的关键在于对知识的正确理解．
21．（2022·福建漳州·七年级期末）已知∠AOB=90°，∠COD=80°，OE是∠AOC的角平
分线．
(1)如图1，若∠AOD= ∠AOB，则∠DOE=________；
(2)如图2，若OF是∠AOD的角平分线，求∠AOE−∠DOF的值；
(3)在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线OQ
从OD出发绕O点以每秒8°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒(0<t<
)后得到∠COP= ∠AOQ，求t的值．
【答案】(1)25°；(2)∠AOE-∠DOF=40°；(3)t的值为 秒或 秒
【分析】
（1）由题意得∠AOD=30°，再求出∠AOE=55°，即可得出答案；
（2）先由角平分线定义得∠AOF=∠DOF= ∠AOD，∠AOE= ∠AOC，再证∠AOE-∠AOF=
∠COD，即可得出答案；
（3）分三种情况：①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，②当射线OP在∠AOC内部时，射线
OQ在∠AOC外部时，③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，由角的关系，列方程即可求解．
【详解】(1)解：（1）∵∠AOB=90°，
∴∠AOD= ∠AOB=30°，
∵∠COD=80°，
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=30°+80°=110°，∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE= ∠AOC=55°，
∴∠DOE=∠AOE-∠AOD=55°-30°=25°；
(2)
解：∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF= ∠AOD，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE= ∠AOC，
∴∠AOE-∠AOF= ∠AOC- ∠AOD= （∠AOC-∠AOD）= ∠COD，
又∵∠COD=80°，
∴∠AOE-∠DOF= ×80°=40°；
(3)
解：分三种情况：
①当射线OP、OQ在∠AOC内部时，即0＜t≤ 时，
由题意得：∠POE=（12t）°，∠DOQ=（8t）°，
∴∠COP=∠COE-∠POE=（55-12t）°，∠AOQ=∠AOD-∠DOQ=（30-8t）°，∵∠COP= ∠AOQ，
∴55-12t= （30-8t），
解得：t= （舍去）；
②当射线OP在∠AOC内部时，射线OQ在∠AOC外部时，即 ＜t≤ 时，
则∠COP=∠COE-∠POE=（55-12t）°，∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=（8t-30）°，
∴55-12t= （8t-30），
解得：t= ；
③当射线OP、OQ在∠AOC外部时，即 ＜t＜ 时，
则∠COP=∠POE-∠COE=（12t-55）°，∠AOQ=∠DOQ-∠AOD=（8t-30）°，∴12t-55= （8t-30），
解得：t= ；
综上所述，t的值为 秒或 秒．
【点睛】本题考查了角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解
题的关键．
22．（2022·江苏昆山·七年级期末）如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交
直线AB、CD于点A，C．且∠RAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转
得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋
转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．
(1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝ °；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
(2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①40°；②26；(2)12或48．
【分析】
①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-
∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-
2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26；
（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．
【详解】解：(1)①如图：
当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°，
∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°，
故答案为：40°；
②如图：
根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，
∵AB//CD，∠BAC=60°，
∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°，
∵∠CPA=70°，
∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，
解得t=26，∴t的值是26；
(2)
存在AM//CN，
分两种情况：
（Ⅰ）如图：
∵AM//CN，
∴∠ECN=∠CAM，
∴3t°=60°-2t°，
解得t=12，
（Ⅱ）如图：
∵AM//CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∴180°-3t°=2t°-60°，
解得t=48，综上所述，t的值为12或48．
【点睛】本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的
关键是分类画出图形，找到等量关系列方程．
23．（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，点G在 上，已知
， 平分 ， 平分 请说明 的理由．
解：因为 （已知），
（邻补角的性质），
所以 （________________）
因为 平分 ，
所以 （________________）．
因为 平分 ，
所以 ______________，
得 （等量代换），
所以_________________（________________）．
【答案】同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC， ，内错角相等两直线平行
【分析】根据补角的性质，角平分线的定义，及平行线的判定定理依次分析解答．
【详解】解：因为 （已知），
（邻补角的性质），
所以 （同角的补角相等）因为 平分 ，
所以 （角平分线的定义）．
因为 平分 ，
所以 ∠AGC，
得 （等量代换），
所以 （内错角相等两直线平行），
故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC， ，内错角相等两直线平
行．
【点睛】此题考查了平行线的判定定理，熟记补角的性质，角平分线的定义及平行线的判
定定理是解题的关键．
24．（2021·江西全南·七年级期中）问题情境：如图1， ， ，
．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作 ，通过平行线性质，可得
．问题迁移：
（1）如图3， ，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运
动时， ， ． 、 、 之间有何数量关系?请说明
理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、
、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，
∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】
（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知
=∠DPE， =∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分
析讨论即可.
【详解】解：（1）∠CPD= ，理由如下：
如图3，过点P作PE∥AD交CD于点E，∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠DPE， =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE= ；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD= ，理由如下：
如图4，过点P作PE∥AD交CD于点E，
∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠EPD， =∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE−∠EPD= ；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD= ，理由如下：
如图5，过点P作PE∥AD交CD于点E，∵AD∥BC，PE∥AD，
∴AD∥PE∥BC，
∴ =∠DPE， =∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE= ，
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，
∠CPD=∠α−∠β.
【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
25．（2021·吉林长白·七年级期中）【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点
O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．
(1)若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝_____度，∠FOH＝_____度．
(2)若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．
【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与
AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF＝α，直接写出∠FOH的度数．(用含a的代数式表示)
【答案】【探究】（1）30，125；（2）∠FOH＝130°；【拓展】∠FOH＝90°﹣ α．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出∠OFH，∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出
∠FOH的度数；
（2）先根据角平分线的定义求出∠OFH+∠FHO 的度数，再根据三角形的内角和定理求出
∠FOH的度数；
（拓展） 先根据角平分线的定义求出∠OFH＝ ∠AFH，∠OHI＝ ∠CHI＝ （180°-
∠CHF），再根据两直线平行内错角相等得∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH即可．
【详解】解：探究
（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，
∴∠OFH＝30°，
又∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH＝30°；
∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，
∴∠FHO＝25°，
∴△FOH中，∠FOH＝180°﹣∠OFH﹣∠OHF＝125°；
故答案为30，125；
（2）∵FO平分∠AFH，HO平分∠CHF，
∴∠OFH＝ ∠AFH，∠OHF＝ ∠CHF．
∵∠AFH+∠CHF＝100°，
∴∠OFH+∠OHF＝ （∠AFH+∠CHF）＝ ×100°＝50°．
∵EG∥FH，
∴∠EOF＝∠OFH，∠GOH＝∠OHF．
∴∠EOF+∠GOH＝∠OFH+∠OHF＝50°．
∵∠EOF+∠GOH+∠FOH＝180°，
∴∠FOH＝180°﹣（∠EOF+∠GOH ）＝180°﹣50°＝130°．
拓展∵∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，∴∠OFH＝ ∠AFH，∠OHI＝ ∠CHI，
∴∠FOH＝∠OHI﹣∠OFH
＝ （∠CHI﹣∠AFH）
＝ （180°﹣∠CHF﹣∠AFH）
＝ （180°﹣α）
＝90°﹣ α．
【点睛】本题考查角平分线的定义、三角形的内角和定理、平行线的性质，解题的关键是
熟练应用．
