文档内容
人教版初中数学七年级下册
5.3.2 平行线的性质和判定及其综合运用 同步练习
夯实基础篇
一、单选题：
1．如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点B作长方形边的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补得出
，再解答即可．
【详解】解：过点B作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ 的度数为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，此题的关键是加辅助线，然后利用平行线的性质求解即可．
2．如图，直线 分别与直线 相交于点 ，已知 ， 平分 交直线
于点 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出 ，根据平行线的判定得出 ，根据平行线的性质推出 ，利用补角
的定义即可得出答案．
【详解】解：如下图，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义以及邻补角等知识，能灵活运用平行线的
性质和判定进行推理是解此题的关键．
3．如图，已知 ，若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可判定 ，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出 的度数．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
4．如图，已知 ，点P在CD上，那么 的度数是（ ）．
A．44° B．46° C．54° D．不能确定．
【答案】B
【分析】过点E作HF//AB，可证AB//HF//CD，由平行线的性质可求∠BAE=∠AEH，∠EPD=∠HEP，由
∠E=90°，由∠HEP=90°−∠AEH可求解．
【详解】解：如图，过点E作HF//AB，
∵AB//CD，HF//AB，∴AB//HF//CD，∴∠BAE=∠AEH，∠HEP=∠EPD，∵∠BAE=44°，∠E=90°∴∠AEH=44°, ∠HEP=90°−∠AEH=90°−44°=46°,
∴∠EPD=∠HEP=46°.故选：B.
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造平行线是本题的关键．
5．如图，在 中， 于D， 于F，且 ，则 与 的数量关系为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据BD⊥AC，EF⊥AC，即可得到BD∥EF，进而得出∠2+∠ABD=180°，再根据∠CDG=∠A，
可得DG∥AB，即可得到∠1=∠ABD，进而得出∠1+∠2=180°．
【详解】∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2+∠ABD=180°．
∵∠CDG=∠A，
∴DG∥AB，
∴∠1=∠ABD，
∴∠1+∠2=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行
线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
6．如图，若OP QR ST，则下列等式中正确的是（ ）
A．∠1 + ∠2 - ∠3 = 90° B．∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°
C．∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° D．∠2 + ∠3 - ∠1 = 180°
【答案】D【分析】根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，即可解答．
【详解】解：∵ST QR，
∴∠QRS=∠3，
即∠QRP+∠1=∠3；
∵OP QR，
∴∠QRP=180°-∠2，
∴180°-∠2+∠1=∠3，
即∠2+∠3-∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，需要注意平行线的性质的运用，比较简单．
7．如图， ，点 在 的上方，连接 ， ， 是 延长线上的一点，连接 ，已知
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质，可以计算出∠GCF和∠GCB的度数，然后即可计算出∠BCF的度数．
【详解】解：过点C作GC AB，如图所示：
∵AB ED，
∴AB ED GC，
∴∠GCB＋∠ABC＝180°，∠GCF＋∠EFC＝180°，
∵∠CFD＝50°，∠ABC＝130°，
∴∠GCF＝130°，∠GCB＝50°，∴∠BCF＝∠GCF−∠GCB＝130°−50°＝80°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题：
8．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1＝20°，则∠2的度数
为 _____．
【答案】25°
【分析】过点B作直线M的平行线n，由平行线的性质得出∠2=∠4，∠1=∠3，进而得出
∠1+∠2=∠3+∠4，再由∠ABC=∠3+∠4=45°，∠1=20°，即可得出∠2的度数．
【详解】解：如图，过点B作直线M的平行线n，
∵m∥n，
∴∠2＝∠4，
∵l∥m，
∴l∥n，
∴∠1＝∠3，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠ABC＝∠3+∠4＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠1＝20°，
∴∠2＝45°﹣∠1＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，根据平行线的性质得出∠1+∠2=∠3+∠4是解决问题的关键．
9．如图，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角 ，第二次拐的角 ，
第三次拐的角为∠C，若MA与CN平行，则∠C的度数为_________.
【答案】140°##140度
【分析】作 ，如图，利用平行线的传递性得到 ，再根据平行线的性质由 得
到∠ABD=∠A=120°，则∠DBC=40°，然后利用 求出∠C．
【详解】解：作 ，如图，
∵ ， ,
∴ ，
∵ ,
∴∠ABD=∠A=110°，
∴∠DBC=150°−110°=40°，
∵ ，
∴∠C+∠DBC=180°，
∴∠C=180°−40°=140°.
故答案为：140°
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，已知两条直线平行，找截线，才会有同位角、内错角相等，同旁
内角互补.如果没有截线，那就要做辅助线，构造截线，本题的解题关键在于作 ，成功构造出了
截线AB和BC．
10．如图，已知 ， ， ， ，若 ；则 ______度．【答案】
【分析】根据 ， ，易证 ，于是 ，而 ，
，可证 ，进而可求解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键．
11．如图，将一副三角板重叠摆故， 于点D，则 的度数为______．
【答案】15°##15度
【分析】由题意可知∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，由垂直可得∠ADE=90°，则可判定AC∥DE，从
而可得∠ACD=∠CDE=45°，即可求得∠BCD的度数．
【详解】解：由题意得：∠A=90°，∠ACB=60°，∠CDE=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE+∠A=180°，∴AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE=45°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=15°．
故答案为：15°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握．
12．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在 的位置上，若∠BFE＝
68°，则∠ABE的度数为______
【答案】46°
【分析】利用折叠的性质、平行线的性质以及三角形的内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵AD BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝68°，
根据折叠的性质得，∠BEF＝∠DEF＝68°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣68°﹣68°＝44°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＝90°－∠AEB ＝90°﹣44°＝46°，
故答案为：46°．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型．
三、解答题：
13．完成下面推理过程：
如图，AB CD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．
解： ，（已知）
，（等量代换）
PN // CD，（ ）_________=180°，（ ）
，（已知）
，（已知）
____________，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
__________，（等量代换）
BCP= BCD－ PCD=____________°－30°=_________°．
【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；
50；20．
【分析】根据平行线的判定推出PN CD，可得∠CPN＋∠PCD＝180°，求出∠PCD＝30°，根据平行线的
性质得出∠ABC＝∠BCD，求出∠BCD＝50°，代入∠BCP＝∠BCD−∠PCD计算即可．
【详解】解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换）
∴PN CD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠CPN＋∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴ ，
∵AB CD，（已知）
∴∠ABC＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD＝50°，（等量代换）
∴∠BCP＝∠BCD−∠PCD＝50°−30°＝20°，
故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相
等；50；20．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，也考查了学生的推理能力，灵活运用各性质定理是解题的
关键．
14．如图， ， ．证明： ，请完成说明过程．【答案】见解析
【分析】根据 ，得 ，通过等量代换得出 ，证明出 ，即可证明出答
案．
【详解】证明：∵ ，（已知）
∴ ，（两直线平行，同位角相等）
又∵ ，（已知）
∴ ，（等量代换）
∴ ，（内错角相等，两直线平行）
∴ ．（两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是熟练运用平行线的性质证明出答案．
15．如图，已知 ， ．
(1)求证：AB CD；
(2)若 ， ，求∠E的度数．
【答案】(1)证明见详解；
(2) ．
【分析】（1）由已知∠DAE＝∠E，内错角相等，两直线平行，可得AD CE，由平行线的性质可得，
∠D＝∠DCE，等量代换∠B＝∠DCE，根据平行线的判定即可证得结论；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠B+∠BAD＝ ，由等量代换可求出
∠DAE，根据平行线的性质可得∠E的度数．
（1）证明：（1）∵∠DAE＝∠E，
∴AD CE，∴∠D＝∠DCE，
又∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB CD；
（2）解：∵AD BE，
∴∠B+∠BAD＝ ，
∵∠B＝∠DAE+ ，∠BAE＝ ，
∴∠DAE+ +∠BAE+∠DAE＝ ，
∴∠DAE＝ ，
∴∠E＝∠DAE＝ ．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定方法进行求解是解决本题的关
键．
16．如图， ， ， ， ．
(1)求 的度数；
(2)若 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行线的性质得到 ，根据 ，得到 ，结合
即可得到 ；
（2）根据（1）中 ，结合角平分线定义得到 ，再根据平行线的性质得到
．
（1）解： ， ，
，
，即 ，
，
；（2）解： 平分 ，
，
由（1）知 ，
，
，
．
【点睛】本题考查利用平行的判定与性质求角度，涉及到平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌
握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图， ，设 ， ，正确的选项是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】如图，利用平行线的判定和性质进行求解即可．
【详解】解：如图： 的顶点分别为 ，延长 交直线 与点 ，
当 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，即： ，解得： ，
∴ ；
A、无法求出∠2的度数，选项错误，不符合题意；
B、无法求出∠3的度数，选项错误，不符合题意；
C、 ， ，选项错误，不符合题意；
D、 ，选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
2．如图，在五边形ABCDE中，AE BC，延长DE至点F，连接BE，若∠A＝∠C，∠1＝∠3，∠AEF＝
2∠2，则下列结论正确的是（ ）
①∠1＝∠2 ②AB CD ③∠AED＝∠A ④CD⊥DE
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分别根据平行线的性质以及平行线的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：①中，∵AE BC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴①正确②中，∵AE BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C+∠B＝180°，
∴AB CD；
∴②正确
③中，∵AE BC，
∴∠2＝∠3，∠A+∠ABC＝180°，
∵∠1＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，∠ABC＝2∠2，
∵∠AEF＝2∠2，
∴∠A+∠ABC＝∠A+2∠2＝∠A+∠AEF＝180°，
∵∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠AED＝∠A．
∴③正确
④无条件证明，所以不正确．
∴结论正确的有①②③共3个．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质以及多边形的内角和外角，熟练掌握平行线的判定与性质是解本
题的关键．
3．如图，已知 ， 于点 ， ， ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作 ，过点F作 ，根据平行线的性质定理进行解答即可．【详解】解：如图，过点H作 ，过点F作 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题：
4．如图， ，C是射线FG上一动点，当 ， 时，∠ACB的大小可能是
__________（用含 ， 的式子表示）．【答案】 或
【分析】分两种情形：当点C在AD，BE之间时，当点C在AD的下方时，分别求解即可．
【详解】解：如图所示，当点C在AD，BE之间时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC= ，
∴∠ACH= ，
又∵∠ECB= ，
∴∠BCH=
∴∠ACB= + ，
如图，当点C在BE的下方时，
过C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE，
∵∠DAC= ，
∴∠ACH= ，又∵∠ECB= ，
∴∠BCH=
∴∠ACB= ，
故答案为： + 或 - ．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于
中考常考题型．
5．推理填空
已知：如图，点在直线上，点在直线上，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠A=∠F．
证明：∠1=∠2（已知）
∠2=∠DGF（_______________________）
∴∠1=∠DGF（_______________________）
∴____________// ____________ （同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠______=180°（_______________________）
又：∠3=∠4（已知）
∴∠4+∠=180°（等量代换）
∴DF//AC（_______________________）
∴∠A=∠F（_______________________）
【答案】对顶角相等；等量代换；DB；EC ；C；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平
行；两直线平行，内错角相等
【分析】读懂每一步推理及推理的依据，即可完成解答．
【详解】证明：·∠1=∠2（已知）
∠2=∠DGF（对顶角相等）
∴∠1=∠DGF（等量代换）∴BD// CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又：∠3=∠4（已知）
∴∠4+∠C=180°（等量代换）
∴AC//DF（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）
故答案分别为：对顶角相等；等量代换；DB；EC ；C；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两
直线平行；两直线平行，内错角相等
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，结合图形读懂每步推理过程是解题的关键．
6．如图， 于点B， 于点C，连接AD，DE平分 交BC于点E，点F为CD延长线
上一点，连接AF， ，下列结论：① ；② ；③ ．
正确的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】①证明AB∥CD，可做判断；②根据平行线的判定和性质可做判断；③根据AF∥ED得内错角相
等和同位角相等，再由角平分线的定义得∠ADE=∠CDE，从而可做判断．
【详解】解：①∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，故①正确；
②∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠BAF=180°，
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠AFD+∠EDF=180°，
∴AF∥DE，故②正确；
③∵AF∥ED，
∴∠DAF=∠ADE，∠F=∠CDE，
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，
∴∠DAF=∠F，故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
三、解答题：
7．已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为______．
【答案】(1)∠APD=80°
(2)∠PAB+∠CDP-∠APD=180°
【分析】（1）过点P作PQ AB，利用平行线的性质求出∠A=∠APQ=50°，∠DPQ=180°-150°=30°，即可
求出∠APD的度数；
（2）过点P作PE AB，得到∠A+∠APE=180°，由AB CD，得到PE CD，推出∠CDP=∠APD+180°-
∠PAB，即可得到结论∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．
（1）过点P作PQ AB，
∵∠A=50°，∠D=150°，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB CD，
∴PQ CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）如图，过点P作PE AB，
∴∠A+∠APE=180°，
∵AB CD，
∴PE CD，
∴∠CDP=∠DPE=∠APD+∠APE=∠APD+180°-∠PAB，
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
故答案为∠PAB+∠CDP-∠APD=180°．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
8．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE//GF．如图（1），若
将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N．
(1)请你直接写出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．
(2)若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系？
并说明理由．
(3)请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（2）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)30，60
(2)∠EMC +∠CAF = ，理由见解析；(3)∠BAG-∠BMD= ，理由见解析
【分析】（1）过点C作CH GF，则CH DE，这样就将∠CAF转化为∠ HCA，∠EMC转化为∠
MCH，从而可以求得∠EMC的度数；
（2）过C作CH GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠EMC+∠CAF=∠MCH
+∠ACH=∠ACB= 90°；
（3）过B作BK GF，依据平行线的性质，即可得到内错角相等，进而得出∠BAG-∠BMD=∠ABK-
∠KBM=∠ABC = 30°．
（1）解：∵DE GF，AB⊥DE，
∴AB⊥GF，
∴∠BAF= ，
∴∠CAF=∠BAF-∠BAC= - = ，
过点C作CH GF，则CH DE，
∴∠HCA=∠CAF= ，
∠EMC=∠BCH= - = ；
故答案为：30，60；
（2）∠EMC +∠CAF= ，理由如下：
如图，过C作CH GF，则∠CAF=∠ACH，∵DE GF，CH GF，
∴CH DE，
∴∠EMC =∠HCM，
∴∠EMC +∠CAF=∠MCH +∠ACH=∠ACB = ；
（3）
∠BAG-∠BMD= ，理由如下：
如图2，过B作BK GF，则∠BAG =∠KBA，
∵BK GF，DE GF，
∴BK DE，
∴∠BMD=∠KBM，
∴∠BAG-∠BMD=∠ABK-∠KBM=∠ABC= ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质进行
推算．
