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七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》
专题：平行线的判定与性质的综合运用
◆◆1、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
◆◆2、平行线的判定方法：
（1）定义法：在同一平面内不相交 的两条直线互相平行．
（2）判定定理1：同位角相等，两直线平行．
（3）判定定理2：内错角相等，两直线平行．
（4）判定定理3：同旁内角互补，两直线平行．
（5）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（6）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
◆◆3、平行线的性质
性质定理1：两直线平行，同位角相等．
性质定理2：两直线平行，内错角相等．
性质定理3：两直线平行，同旁内角互补．
◆◆4、平行线的判定与性质的联系与区别．
区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．题型一 平行线的判定
【例题1】（2022•南京模拟）如图，以下条件能判定EG∥CH的是（ ）
A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEF+∠HCE＝180° D．∠HCE＝∠CEG
【分析】根据内错角相等两直线平行判断即可；
【解答】解：A．∠FEB＝∠ECD，不能判断EG∥CH，不符合题意；
B．∠AEG＝∠DCH，没有∠AEC＝∠DCE的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；C．∠GEF+∠HCE＝180°，没有点C、E、F共线的条件，不能求得∠HCE＝∠CEG，不符合题意；
D．∠HCE＝∠CEG，可判断EG∥CH，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了相交线和平行线，掌握内错角相等两直线平行是解题关键．
解题技巧提炼
本题考查了平行线的判定，在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先
要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三
线八角”而产生的被截直线．平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方
法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．
【变式1-1】（2022春•隆阳区校级月考）如图所示，以下5个条件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；
③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进
行分析即可．
【解答】解：①∠B＝∠3可判断AD∥BC，而∠3≠∠4+∠5，故①错误；
②根据内错角相等，两直线平行可得∠2＝∠4可判定BC∥AD，故②正确；
③∠1＝∠5判断AB∥CD，故③错误；
④∠B＝∠3可判断AD∥BC，故④正确；
⑤∠D+∠4+∠5＝180°可判定BC∥AD，故⑤正确．
故能判定AD∥BC的有三个．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定，熟练应用判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系
判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
【变式1-2】（2021秋•上蔡县校级期末）如图，下列条件能判断直线l 1∥l
2
的有（ ）
①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据平行线的判定定理，对各小题进行逐一判断即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴l 1∥l
2
，故本条件符合题意；
②∵∠2+∠4＝180°，∴l 1∥l
2
，故本条件符合题意；
③∵∠4＝∠5，∴l 1∥l
2
，故本条件符合题意；
④∵∠2＝∠3，不能得到l 1∥l
2
，故本条件不符合题意；
⑤∵∠6＝∠3+∠2不能得到l 1∥l
2
，故本条件符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解答此题的关键．
【变式1-3】（2022春•商城县期末）学习过平行线后，小龙同学想出了“过已知直线 m外一点P画这
条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．
观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中
可知，小龙画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位
置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件可得③∠3＝∠1可得AB∥CD；④∠4＝∠2，可得AB∥CD．【解答】解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直；
将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系
是垂直；
∵AB⊥m，CD⊥m，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，
∵∠3＝∠1，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确．
∵∠4＝∠2，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．
【变式1-4】（2022秋•城关区校级期末）已知：如图，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求证：
EF∥BC．
【分析】根据三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义可得∠CAF的度数，进而可
得∠CAF＝∠C，由平行线的判定即可得到EF∥BC．
【解答】证明：∵∠B＝80°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∵AC平分∠BAF，
∴∠BAC＝∠CAF＝50°，
∴∠C＝∠CAF，
∴EF∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的各种判定方法．
【变式1-5】（2022秋•秦州区校级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC，请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（ ），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
1
所以∠1= （ ）．
2
因为FG平分∠AGC，
1
所以∠2= ，
2
得∠1＝∠2（ ），
所以AE∥GF（ ）．
【分析】根据邻补角的定义及题意得出∠BAG＝∠AGC，再根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，即可判
定AE∥GF．
【解答】解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（邻补角的定义），
所以∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等），
因为EA平分∠BAG，
1
所以∠1= ∠BAG（角平分线的定义），
2
因为FG平分∠AGC，
1
所以∠2= ∠AGC，
2
得∠1＝∠2（等量代换），
所以AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；邻补角的定义；同角的补角相等；∠BAG；角平分线的定义；∠AGC；等量代换；内
错角相等，两直线平行．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．
【变式1-6】（2022秋•临汾期末）如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝
∠F．
求证：CE∥DF．
【分析】根据题意和图形，可以在证明过程中写入相应的条件，本题得以解决．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知）
1 1
∴∠DBC= ∠ABC，∠ECB= ∠ACB．（角平分线的定义）
2 2
又∵∠ABC＝∠ACB，（已知）
∴∠DBC＝∠ECB．（等量代换）
又∵∠DBF＝∠F，（已知）
∴∠ECB＝∠F．（等量代换）
∴CE∥DF．（同位角相等，两直线平行）
【点评】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型二 平行线的性质
【例题2】（2022秋•宣汉县校级期末）如图，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，则∠D＝（ ）A．145° B．150° C．120° D．165°
【分析】由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可得出∠C的度数，由DE∥CB，再利用“两直
线平行，同旁内角互补”，即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠B＝35°，
又∵DE∥CB，
∴∠C+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣35°＝145°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记平行线的各性质定理是解题的关键．
解题技巧提炼
1、两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得
到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数．
2、利用平行线的性质可以角的度数，证明两直线垂直等.
【变式2-1】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，
则∠HFD的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，
利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
【变式2-2】（2022春•梁子湖区期中）如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为
AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）
A．90° B．100° C．105° D．110°
【分析】根据平行线的性质即可求解．
【解答】解：延长BC至G，如下图所示，
由题意得，AF∥BE，AD∥BC，
∵AF∥BE，
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），
∵AD∥BC，
∴∠3＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠4＝∠1＝40°，
∵CD∥BE，
∴∠6＝∠4＝40°（两直线平行，同位角相等），∵这条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD，
∴∠5＝∠6＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
【变式2-3】（2022春•丽水期末）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面上的P点
射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为 3 0 度．
【分析】利用平行线的性质和光的反射原理可解此题．
【解答】解：要使反射光线DE∥AB，
则∠APD＝∠PDE，
∵∠APD＝120°，
∴∠PDE＝120°，
∵∠ADP＝∠CDE，∠ADP+∠PDE+∠CDE＝180°，
∴∠ADP＝∠CDE＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠APD﹣∠ADP＝30°，
故答案为：30．
【点评】本本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练应用平行线的性质．
【变式2-4】（2022秋•明水县校级期末）如图，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求
∠BOF的度数．
【分析】由CD∥AB，∠CDO＝50°，∠DOB的度数，又由OE平分∠DOA，即可求得∠DOE的度数，然
后由OE⊥OF，求得∠BOF的度数．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴∠CDO+∠DOB＝180°，∴∠DOB＝180°﹣∠CDO＝180°﹣50°＝130°，
∵OE平分∠DOA，
1
∴∠DOE= ∠DOA＝65°，
2
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOD＝25°．
【点评】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2-5】（2022秋•伊川县期末）如图，AB∥CD，CE与AB交于点O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．
（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度数；
（2）求证：OG平分∠AOC．
【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
（2）根据垂直的定义和角平分线的判定解答即可．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BOE＝∠C＝50°，
∴∠AOE＝130°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°，
∴∠BOF＝∠BOE+∠EOF＝50°+65°＝115°；
（2）∵OG⊥OF，即∠GOF＝90°，
∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠EOF+∠COG＝90°，
∵∠AOF＝∠EOF，
∴∠AOG＝∠COG，
∴OG平分∠AOC．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出∠BOE＝∠C解答．题型三 平行线的判定与性质的综合运用
【例题3】（2022秋•望花区校级期末）如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，
下列结论：
①BC平分∠ABE；
②AC∥BE；
③∠BCD+∠D＝90°；
④∠DBF＝60°．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由BC⊥BD得到∠CBE+∠DBE＝90°，∠BCD+∠D＝90°，则可对③进行判断；再由平行线的性
质得∠D＝∠DBF，由角平分线定义得∠DBF＝∠DBE，则∠CBE＝∠BCE，而∠ABC＝∠BCE，所以
∠ABC＝∠CBE，则可对①进行判断；接着由 BC 平分∠ACD 得到∠ACB＝∠BCE，所以∠ACB＝
∠CBE，根据平行线的判定即可得到 AC∥BE，于是可对②进行判断；当∠DBF＝2∠ABC，3∠ABC＝
90°，∠ABC＝30°，∠DBF＝60°，利用平行线的性质得到∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，又因为∠D＝∠DBE
＝∠DBF，∠D≠∠BED，于是可得∠DBF≠2∠ABC，当则可对④进行判断．
【解答】解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD＝90°，即∠CBE+∠DBE＝90°，
∴∠BCD+∠D＝90°，所以③正确；
∵AF∥CD，
∴∠D＝∠DBF，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBF＝∠DBE，
∴∠CBE＝∠BCE，
∵AB∥CE∴∠ABC＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠CBE，
∴BC平分∠ABE，所以①正确；
∵BC平分∠ACD，
∴∠ACB＝∠BCE，
∴∠ACB＝∠CBE，
∴AC∥BE，所以②正确；
当∠DBF＝2∠ABC时，3∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∵∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，
而∠D＝∠DBE＝∠DBF，
∠D≠∠BED，
∴∠DBF≠2∠ABC，
∴∠DBF≠60°．故④错误．
故正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平
行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结
论，切莫混淆．
解题技巧提炼
1、平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由
平行关系来寻找角的数量关系．
2、应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
3、平行线的判定与性质常常综合运用，见到角相等或互补就应该相等能否判定
两直线平行，见到两直线平行就应该想到能否证明相关的角相等或互补.
【变式3-1】（2022秋•伊川县期末）如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交CD于点F，交BC的延长线于
点E，∠B+∠BCD＝180°，求证：∠CFE＝∠E．【分析】根据平行线的性质和判定即可解答．
【解答】证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠2＝∠E，（两直线平行，内错角相等）
∵AE平分∠BAD，
∴∠1＝∠2．（角平分线的定义）
∴∠1＝∠E．（等量代换）
∵∠B+∠BCD＝180°（已知），
∴AB∥DC．（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠1＝∠CFE．（两直线平行，同位角相等）
∴∠CFE＝∠E．（等量代换）
【点评】本题考查平行线的性质和判定、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
【变式3-2】（2022春•凤泉区校级期末）如图，点 D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且
DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）试判断直线EF与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度数．
【分析】（1）根据平行线想性质可得∠1＝∠DCB，进而可得∠2＝∠DCB，再根据平行线的判定可得结
论；
（2）由平行线的性质可得∠ADC＝90°，再根据平角的定义可得答案．
【解答】解：（1）EF∥DC，
理由：∵DG∥BC，∴∠1＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DCB，
∴EF∥CD；
（2）∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∵EF∥DC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠1＝56°，
∴∠ADG＝180°﹣90°﹣56°＝34°．
【点评】本题主要考查平行线的判定与性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行
同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．
⇔ ⇔ ⇔
【变式 3-3】（2022秋•辉县市校级期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，试说明：
BE∥CF．
【分析】按照所给的证明思路，利用平行线的判定与性质定理即可说明．
【解答】解：∵∠3＝∠4（已知），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠EDC＝∠5（两直线平行，内错角相等），
∵∠5＝∠A（已知），
∴∠EDC＝∠A（等量代换），
∴DC∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠5+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠5+∠2+∠3＝180°，∵∠1＝∠2（已知），
∴∠5+∠1+∠3＝180°（等量代换），
即∠BCF+∠3＝180°，
∴BE∥CF（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠A；同位角相等，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补；等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答此题的关键．
【变式3-4】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，AB⊥AC，点D、E分别在线段AC、BF上，DF、CE分
别与AB交于点M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求证：AB⊥BF．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，（已知）
∵∠2＝∠3，（对顶角相等）
∴∠1＝∠3．（等量代换）
∴DF∥CE．（同位角相等，两直线平行）
∴∠C＝∠ADM．（两直线平行，同位角相等）
∵∠C＝∠F，（已知）
∴∠F＝∠ADM．（等量代换）
∴AC∥BF．（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠B．（两直线平行，内错角相等）
∵AB⊥AC，（已知）
∴∠A＝90°．
∴∠B＝90°．
∴AB⊥BF．（垂直的定义），故答案为：对顶角相等，3，等量代换，同位角相等，两直线平行，ADM，ADM，内错角相等，两直线平
行，两直线平行，内错角相等，垂直的定义．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
【变式3-5】（2022春•凤庆县期末）如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度数．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只需推知∠A＝∠D即可；
（2）利用平行线的判定定理推知CE∥FB，然后由平行线的性质、等量代换推知∴∠C＝∠BFD＝∠B＝
50°．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
又∵∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
（2）∵∠1+∠2＝180°，
又∵∠CGD+∠2＝180°，
∴∠CGD＝∠1，
∴CE∥FB，
∴∠C＝∠BFD，∠CEB+∠B＝180°．
又∵∠BEC＝2∠B+30°，
∴2∠B+30°+∠B＝180°，
∴∠B＝50°．
又∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∴∠C＝∠BFD＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
专 题 难 点 突 破
练
1 、 如图，已知
AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断
AD与BC是否平行．
【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝
2∠CAF，结合∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出
∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠CAE+∠CAF）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
【点评】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出
∠BAD+∠B＝180°是解题的关键．
2．（2022秋•封丘县校级期末）如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：
EF∥AD．【分析】利用平行线的性质和平行线的判定解答即可．
【解答】证明：∵AD//BC（ 已知 ），
∴∠DAC+∠ACB＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
∵∠DAC＝120° （已知），
∴∠ACB＝180°﹣120°＝60° （等式的性质）．
又∵∠ACF＝20° （已知），
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°．
∵∠EFC+∠BCF＝140°+40°＝180°，
∴EF//BC （同旁内角互补，两直线平行）．
∵AD∥BC （已知），
∴EF//AD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
3．（2022春•兴城市期末）如图，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列结论：
1
①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+ ∠4＝135°．其中，正确的结论有
2
．（填序号）
【分析】根据平行线的性质逐一分析判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴AB∥EF，故①正确；∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠1，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠2＝180°，
∴2∠1+∠2＝180°（1），
∵AC⊥CE，
∴∠2+∠4＝90°（2），
∴（1）﹣（2）得，2∠1﹣∠4＝90°，故②正确；
∵AB∥EF，
∴∠BAE+∠3＝180°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠BAE，
∴∠1+∠3＝180°，
∴2∠1+2∠3＝360°（3），
∵2∠1+∠2＝180°（1），
（3）﹣（1）得，2∠3﹣∠2＝180°，故③正确；
∵CD∥EF，
∴∠CEF+∠4＝180°，
∴∠3+∠AEC+∠4＝180°，
∵AC⊥CE，
∴∠1+∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝90°﹣∠1，
∴∠3+∠4﹣∠1＝90°，
∵2∠1﹣∠4＝90°，
1
∴∠1＝45°+ ∠4，
2
1
∴∠3+ ∠4＝135°，故④正确．
2
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质
两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由
角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的
判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
4．（2023•临川区校级一模）如图：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．
（1）AE与FC平行吗？说明理由．
（2）AD与BC的位置关系如何？为什么？
（3）DA平分∠BDF吗？为什么？
【分析】（1）根据同角的余角相等，可得∠BDC＝∠1，进而得出AE∥FC；
（2）根据 AE∥FC，可得∠C+∠ABC＝180°，再根据∠A＝∠C，可得∠A+∠ABC＝180°，进而得出
AD∥BC；
（3）根据BC平分∠EBD，可得∠3＝∠4，再根据平行线的性质，可得∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，进而
得到∠5＝∠6，即DA平分∠BDF．
【解答】解：（1）AE与FC平行．
∵∠1+∠2＝180°，∠2+∠CDB＝180°，
∴∠BDC＝∠1，∴AE∥FC；
（2）AD与BC平行．
∵AE∥FC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（3）DA平分∠BDF．如图所示，
∵BC平分∠EBD，
∴∠3＝∠4，
∵AD∥BC，AB∥CD，∠3＝∠C＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠5＝∠6，
∴DA平分∠BDF．
【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2022秋•二道区校级期末）【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合如图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1＝∠2；
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，试证：∠1+∠2＝180°；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为
；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少60°，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为 ．【分析】【提出问题】（1）根据平行线的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质即可得解；
【得出结论】结合（1）（2）得出结论；
【拓展应用】（3）根据“若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系是相等或互补”求解即可；
（4）根据题意画出图形，可直接得出结论．
【解答】【提出问题】（1）证明：如图1，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2；
（2）证明：如图2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4＝180°，
∴∠1+∠2＝180°；
【得出结论】解：由（1）（2）我们可以得到的结论是：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量
关系是相等或互补，
故答案为：相等或互补；
【拓展应用】（3）解：设其中一个角为x，则另一角为2x﹣60°，
当x＝2x﹣60°时，
解得x＝60°，
此时两个角为60°，60°；当x+2x﹣60°＝180°，
解得x＝80°，
则2x﹣60＝100°，
此时两个角为80°，100°；
∴这两个角分别是60°，60°或80°，100°．
（4）解：如图，这两个角之间的数量关系是：相等或互补．
故答案为：相等或互补．
【点评】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．
6．（2021•衢江区校级开学）将一副三角板中的两个直角顶点 C叠放在一起（如图①），其中∠A＝
30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
（1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数；
（3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说
明理由．
【分析】（1）依据∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，依据∠BCD+∠ACE＝180°，即可得到∠BCD的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下：
∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°；
（2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α，由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°，
∴4α+α＝180°，
∴α＝36°，
∴∠BCD＝4α＝144°；
（3）分两种情况：
①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE．
∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴∠A＝∠ACE＝30°，
∴AB∥CE．
②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE．∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠B＝60°，
∴AB∥CE．
综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握性质定理并且能够准确识图是解题的关键．
7．（2022秋•郸城县校级期末）一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将
含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．
如图3：当∠CAE＝15°时，BC∥DE．则∠CAE其余符合条件的度数为 ．
【分析】分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到∠CAE的度数，再找到关于A
点中心对称的情况即可求解．
【解答】解：如图3，当BC∥DE时，∠CAE＝45°﹣30°＝15°；如图，当AE∥BC时，∠CAE＝90°﹣30°＝60°；
如图，当DE∥AB（或AD∥BC）时，∠CAE＝45°+60°＝105°；
当DE∥AC时，如图①，∠CAE＝45°+90°＝135°．
当DE∥AC时，如图②，∠CAE＝45°．综上所述，旋转后两块三角板至少有一组边平行，则∠CAE（0°＜∠CAE＜180°）其它所有可能符合条件
的度数为60°或105°或135°，
故答案为：60°或105°或135°或45°．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性
质求解是解答此题的关键．8．（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知，四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°．
（1）如图1，若DF平分∠ADC，BE平分∠ABC的邻补角，判断DF与BE的位置关系；
（2）如图2，若BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DF与BE的位置关系．
【分析】（1）由题意可知∠ADC＝∠NBC，在△BOG和△COD中，利用三角形内角和求出∠BGO＝
∠DCO＝90°即可得结论；
1
（2）再由角平分线的定义可得∠DHF= ∠ADM＝90°，再由（1）可得BE∥DF．
2
【解答】解：（1）∵四边形ABCD中，∠A＝∠DCB＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠NBC＝180°，
∴∠ADC＝∠NBC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∵BE平分∠ABC的邻补角，
∴∠OBE＝∠NBE，
∴∠OBE＝CDO，
∵∠DOC＝∠BOE，
∴∠DCO＝∠OGB，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BGO＝90°，
∴DF⊥BE；
（2）过点D作DH平分∠ADC交BE于点H，由（1）可知，DH⊥BE，
∵DF平分∠MDC，
∴∠MDF＝∠CDF，
∵BH平分∠ADC，
1
∴∠DHF= ∠ADM＝90°，
2
∴DH⊥BE，
∵DH⊥DF，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义，四边形的内角和定理是解题的关键．
