单元测试第五章相交线与平行线（综合能力拔高卷）（解析版）_初中数学人教版_7下-初中数学人教版_7下-初中数学人教版（旧版）赠送_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第5套）

人教版七年级数学下册 【单元测试】第五章 相交线与平行线（综合能力拔高卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号： ___________ 本卷试题共三大题，共25小题，单选10题，填空8题，解答7题，限时90分钟，满 分100分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充 分考查学生双基综合能力！ 一、单选题：本题共10个小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合题目要求的。 1．（2021·上海浦东新·七年级期末）如果∠A的两边分别垂直于∠B的两边，那么∠A和 ∠B的数量关系是（ ） A．相等 B．互余或互补 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【分析】由题意直接根据∠A的两边分别垂直于∠B的两边画出符合条件的图形进行判断 即可. 【详解】解：BD⊥AD，CE⊥AB，如图： ∵∠A＝90°﹣∠ABD＝∠DBC， ∴∠A与∠DBC两边分别垂直，它们相等， 而∠DBE＝180°﹣∠DBC＝180°﹣∠A， ∴∠A与∠DBE两边分别垂直，它们互补，故选：D． 【点睛】本题考查垂线及角的关系，解题关键是根据已知画出符合条件的图形． 2．（2021·福建石狮·七年级期末）已知∠ 的两边分别平行于∠ 的两边．若∠ ＝60°， 则∠ 的大小为（ ） α β α β A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【答案】D 【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出 ∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补， ∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案． 【详解】解：如图1， ∵a∥b， ∴∠1＝∠α， ∵c∥d， ∴∠β＝∠1＝∠α＝60°； 如图（2）， ∵a∥b， ∴∠α+∠2＝180°， ∵c∥d， ∴∠2＝∠β， ∴∠β+∠α＝180°， ∵∠α＝60°， ∴∠β＝120°． 综上，∠β＝60°或120°． 故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键． 3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期末）如图，点P是直线m外一点， A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的 长度． A．PA B．PB C．PC D．AB 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵PB⊥AC于点B， ∴点P到直线m的距离是线段B的长度． 故选：B． 【点睛】本题主要考查点到直线的距离的定义，从直线外一点到这条直线的垂线段长度叫 点到直线的距离． 4．（2021·全国·七年级期末）下列各图中， 和 是对顶角的是（ ） A． B． C． D．【答案】D 【分析】由题意根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答． 【详解】解：根据对顶角的定义： 中 和 顶点不在同一位置，不是对顶角； 中 和 角度不同，不是对顶角； 中 和 顶点不在同一位置，不是对顶角； 中 和 是对顶角； 故选： ． 【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键． 5．（2021·北京房山·七年级期末）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB CD的图形有（ ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同 旁内角互补，两直线平行，据此判断即可． 【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2， ∴AC∥BD；故不符合题意； 第二个图形，∵∠1=∠2， ∴AB∥CD，故符合题意； 第三个图形， ∵∠1=∠2，∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∴AB∥CD； 第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD， 故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线 八角． 6．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期末）下列A、B、C、D四幅图案中， 能通过平移图案得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平 行移动，叫做平移变换，简称平移． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有D选项符合要求， 故选：D． 【点睛】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的 形状、大小和方向． 7．（2022·福建仓山·七年级期末）如图所示，AB∥CD，若∠2＝2∠1﹣6°，则∠2等于（ ）A．116° B．118° C．120° D．124° 【答案】B 【分析】由AB与CD平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠2+∠3=180°，由对顶角相 等得到∠1=∠3，等量代换得到∠1＝180°-∠2，再代入∠2＝2∠1﹣6°，即可求出∠2的度数． 【详解】解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝180°-∠2， ∵∠1＝∠3， ∴∠1＝180°-∠2， ∴∠2＝2（180°-∠2）﹣6°， ∴∠2＝118°， 故选：B． 【点睛】此题考查了对顶角性质和平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补是解答此 题的关键． 8．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图， ABC沿BC方 向平移到 DEF的位置，若BE=3cm，则平移的距离为（ ） △ △A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】根据题意可得 的长度等于平移的距离，即可求解． 【详解】解：∵ ABC沿BC方向平移到 DEF的位置， △ △ ∴点 的对应点为 ，即 的长度等于平移的距离， ∵BE=3cm， ∴平移的距离为3cm． 故选：C 【点睛】本题主要考查了图形的平移，熟练掌握平移的距离都等于对应点间长度是解题的 关键． 9．（2020·浙江浙江·七年级期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺 固定不动，将45°的三角尺 绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线 的上方，当两 块三角尺至少有一组边互相平行时，则 所有符合条件的度数为（ ） A．45°，75°，120°，165° B．45°，60°，105°，135° C．15°，60°，105°，135° D．30°，60°，90°，120° 【答案】A 【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三 角板的特点求解． 【详解】解：如图，①DE∥AB， ∴∠D+∠ABD=180° ∴∠ABD=90° ∴∠ABE=45°； ②DE∥AC， ∵∠D=∠C=90°， ∴B，C，D共线， ∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°； ③BE∥AC， ∴∠C=∠CBE=90°， ∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°； ④AC∥BD， ∴∠ABD=180°-∠A=120°，∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°， 综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°． 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论， 做到不重不漏． 10．（2021·河北沧县·七年级期末）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的 景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针 旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断 照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯 光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ） A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒 【答案】C 【分析】设 灯旋转的时间为 秒，求出 的取值范围为 ，再分① ，② 和③ 三种情况，先分别求出 和 的度数，再根据平行线的 性质可得 ，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设 灯旋转的时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯先转动2秒， 灯才开始转动，，即 ， 由题意，分以下三种情况： ①如图，当 时， ， ， ， ， ，即 ， 解得 ，符合题设； ②如图，当 时， ， ， ， ， ，即 ， 解得 符合题设； ③如图，当 时， ，， 同理可得： ，即 ， 解得 ，不符题设，舍去； 综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间 的取值范围，并据此分三种情况讨论是解题关键． 二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。 11．（2021·重庆·七年级期末）如图，直线 ， 相交于点 ， ， 则 __°． 【答案】62 【分析】先求出∠DOB的值，然后根据对顶角相等求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 故答案为62． 【点睛】本题考查了角的和差，对顶角相等，正确识图是解答本题的关键．12．（2021·上海市罗南中学七年级期末）如图，直线AC和FD相交于点B，下列判断： ①∠GBD和∠HCE是同位角；②∠ABD和∠ACH是同位角；③∠FBC和∠ACE是内错角； ④∠FBC和∠HCE是内错角；⑤∠GBC和∠BCE是同旁内角．其中正确的是____．（填 序号） 【答案】②③⑤ 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可. 【详解】解：①中∠GBD和∠HCE没有任何关系，故①错； ②中∠ABD和∠ACH是直线FD与直线CH被直线AC所截形成的同位角，故②对； ③中∠FBC和∠ACE是直线FD与直线CE被直线AC所截形成的内错角，故③对； ④中∠FBC和∠HCE没有任何关系，故④错； ⑤中∠GBC和∠BCE是直线BG与直线CE被直线AC所截形成的同旁内角，故⑤对； 综上正确的有：②③⑤. 【点睛】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角的定义，解题的关键是能够熟练地掌握 同位角、内错角、同旁内角的定义即可. 13．（2021·北京房山·七年级期末）如图A，C，E共线，请你添加一个条件，使AB CD，这个条件是______，你的依据是_____． 【答案】 ∠ECD=∠A 同位角相等，两直线平行（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理添加即可． 【详解】解：∵∠ECD=∠A， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）故答案为：∠ECD=∠A；同位角相等，两直线平行（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 14．（2021·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合， 若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件 ①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的 CD∥AB的有__________．（填序号） 【答案】①④ 【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数． 【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°， ∴∠BAD=60°+90°=150°；∴∠BAD=150°或∠BAD =30°． 故答案为：①④． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位 置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系． 15．（2021·上海松江·七年级期末）五条有公共端点的射线 ， ， ， ， 如 图所示，已知 ， ， 平分 ，若 ， 则 ___． 【答案】 ##19度 【分析】设 ，根据 平分 ，可得 ，从而 得到 ，再由 ，可得 ，再由 ， 可得 ，然后根据 ，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ， 即 ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的计算，明确题意，准确得到角与角之间的数量 关系，并利用方程思想解答是解题的关键． 16．（2021·北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）如图所示的网格是正方形网格， A，B，C，D是网格线的交点．我们晓观数学发现 ABD的面积与 ABC的面积相等，则 这样的点D（不包含C）共有___个． △ △ 【答案】5 【分析】一条直线有两条与之距离相等的直线，如图，在AB的左侧和右侧均作一条与AB 距离大小为C到AB的距离的直线，直线与网格的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接CD ∵ ABD的面积与 ABC的面积相等 △ △ ∴ ，可知在CD上与网格交的点均为D点 又∵一条直线有两条与之距离相等的直线 ∴在AB的左侧作一条与AB平行的直线EF如图所示，EF与网格的交点也为D点∴满足条件的D点有5个 故答案为5． 【点睛】本题考查了平行的性质．解题的关键在于明确一条直线有两条与之距离相等的直 线． 17．（2022·上海宝山·七年级期末）如图， 是由 通过平移得到，且点 在同一条直线上，如果 ， ．那么这次平移的距离是_________． 【答案】4 【分析】根据平移的性质得BE=CF，再利用BE+EC+CF=BF得到BE+6+BE=14，然后解方 程即可． 【详解】解：∵三角形DEF是由三角形ABC通过平移得到， ∴BE=CF， ∵BE+EC+CF=BF， ∴BE+6+BE=14， ∴BE=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的 图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某 一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．18．（2020·河北·金柳林外国语学校七年级期末）如图，面积为 的直角三角形 沿 方向平移至三角形 的位置，平移的距离是 的2倍，则图中四边形 的面 积为__________ ． 【答案】32 【分析】首先根据平移的性质得出四边形 为平行四边形，从而根据平行四边形的面 积公式得出 ，再根据直角三角形的面积推出 ，最后结合平移的 距离推出 即可求解． 【详解】解：由平移的性质可知四边形 为平行四边形， ∴ ， ∵直角三角形 的面积为8， ∴ ，则 ， ∵平移的距离是 的2倍， ∴ ， ∴ ， 故答案为：32． 【点睛】本题考查平移的性质，理解平移的基本性质，以及基本图形的面积公式是解题关 键． 三、解答题：本题共7个小题，19-23每题7分，24小题9分，25每题12分， 共56分。 19．（2022·江苏江阴·七年级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OE在∠DOB 内部，且 ．过O作OF⊥OE．若 ，(1)求∠BOE的度数（用含m的代数式表示）； (2)若 ，试说明OB平分∠DOF． 【答案】(1) ；(2)见解析 【分析】 （1）根据直角的性质，可得 ，从而得到 ，再由 ，即可求解； （2）根据 ，可得 ，再由 ，可得 ，从而得到 ， ，即可求解． 【详解】(1)解：∵ ， ∴ ， ∵直线AB、CD相交于点O， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ (2) 解：∵ 且 ， ∴ ，∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． ∴OB平分 ． 【点睛】本题主要考查了垂直的性质，角平分线的有关计算，熟练掌握垂直的性质，根据 题意得到角与角之间的数量关系是解题的关键． 20．（2022·河南省实验文博学校七年级期末）如图1， 和 都是直角． (1)如果 ，则 ______； (2)找出图1中一组相等的锐角为：______； (3)若 变小， 将______；（填变大、变小、或不变） (4)在图2中，利用能够画直角的工具在图2上再画一个与 相等的角． 【答案】(1)145°；(2) ；(3)变大；(4)作图见解析 【分析】 （1） ， ，对 计算 求解即可； （2）由 ， ， 即可得到结 果； （3） ，可对 变小 时， 的变化进行判断； （4）根据同角的余角相等，作∠COE=∠BOF=90°，则∠EOF就是所求的角．【详解】(1)解：由题意知 ∵ ∴ ∴ 故答案为：145°． (2) 解： ∵ ∴ 故答案为： ． (3) 解：变大 ∵ ∴当 变小， 将变大 故答案为：变大． (4) 如图：作∠COE=∠BOF=90°，则∠EOF即为所求． 【点睛】本题考查了角的计算，余角的性质等知识．解题的关键在于正确的表示角的数量 关系．21．（2022·福建漳州·七年级期末）已知∠AOD＝160°，OB为∠AOD内部的一条射线． (1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数为 ； (2)如图2，∠BOC在∠AOD内部（∠AOC＞∠AOB），且∠BOC＝20°，OF平分 ∠AOC，OG平分∠BOD（射线OG在射线OC左侧），求∠FOG的度数； (3)在（2）的条件下，∠BOC绕点O运动过程中，若∠BOF=8°，求∠GOC的度数． 【答案】(1)80°；(2)70°；(3)42°或58°． 【分析】 （1）根据角平分线的性质证得∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD，即可得到答案； （2）设∠BOF=x，根据角平分线的性质求出∠AOC=2∠COF=40°+2x，得到 ∠COD=∠AOD-∠AOC=140°-2x，由OG平分∠BOD，求出∠BOG= ∠BOD=70°−x，即可 求出∠FOG的度数； （3）分两种情况：①当OF在OB右侧时，由∠BOC=20°，∠BOF=8°，求得∠COF的度数， 利用OF平分∠AOC，得到∠AOC的度数，得到∠BOD的度数，根据OG平分∠BOD，求 出∠BOG的度数，即可求出答案；②当OF在OB左侧时，同理即可求出答案． 【详解】(1)解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， ∴∠BOM= ∠AOB，∠BON= ∠BOD， ∴∠MON=∠BOM+∠BON= ∠AOB+ ∠BOD= ∠AOD=80°； 故答案为：80 ； ° (2)解：设∠BOF=x， ∵∠BOC=20°， ∴∠COF=20°+x， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOC=2∠COF=40°+2x， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=140°-2x， ∵OG平分∠BOD， ∴∠BOG= ∠BOD=70°−x， ∴∠FOG=∠BOG+∠BOF=70°−x+x=70°； (3) 解：当OF在OB右侧时，如图， ∵∠BOC=20°，∠BOF=8°， ∴∠COF=28°， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOC=2∠COF=56°， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=104°， ∴∠BOD=124°， ∵OG平分∠BOD， ∴∠BOG= ∠BOD=62°，∴∠GOC=∠BOG−∠BOC=62°−20°=42°． 当OF在OB左侧时，如图， ∵∠BOC=20°，∠BOF=8°， ∴∠COF=12°， ∵OF平分∠AOC， ∴∠AOC=2∠COF=24°， ∴∠COD=∠AOD-∠AOC=136°， ∴∠BOD=156°， ∵OG平分∠BOD， ∴∠BOG= ∠BOD=78°， ∴∠GOC=∠BOG−∠BOC=78°−20°=58°． ∴∠GOC的度数为42°或58°． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的有关计算，正确掌握角平分线的 定义及图形中各角度之间的位置关系进行计算是解题的关键． 22．（2021·上海奉贤·七年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图 并回答问题． (1)过点C画直线l AB；(2)过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F； (3)线段 的长度是点A到BC的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)AD 【分析】 （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）根据几何语言画出对应的几何图形； （3）根据点到直线的距离的定义求解． 【详解】解：(1)如图，直线l为所作； (2) 如图，AD、AE为所作； (3) 线段AD的长度为点A到BC的距离． 故答案为：AD． 【点睛】此题考查了点到直线的距离，用直尺、三角板画平行线，作图—复杂作图．正确 掌握各作图方法是解题的关键。 23．（2021·全国·七年级期末）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD． （1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC； （2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H， 若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） ． 【分析】 （1）过点 作 ，先根据平行线的性质可得 ，再根据平行公 理推论可得 ，然后根据平行线的性质可得 ，由此即 可得证； （2）过点 作 ，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出 ， ，从而可得 ，再根据垂直的定义可得 ，由此即可得出结论； （3）过点 作 ，延长 至点 ，先根据平行线的性质可得 ， ，从而可得 ，再根据角平分线的定义、 结合（2）的结论可得 ，然后根据角的和差、对顶角相等可得 ，由此即可得出答案． 【详解】解：证明：（1）如图，过点 作 ， ， ， ， ，即 ，， ； （2）如图，过点 作 ， ，  AB  DE， CG  DE， FFCG180，即FBCGBCF 180， FBCGBCF ABCBCG， ABCF BCF ，  CF BC， BCF 90， ABCF 90； （3）如图，过点G作GM  AB，延长FG至点N ， ABH MGH ， AB  DE， GM  DE， MGN DFG， BH平分ABC，FN 平分CFD，  1 1 ABH  ABC,DFG CFD， 2 2 由（2）可知，ABCCFD90， 1 1 MGH MGN ABH DFG ABC CFD45， 2 2 BGDMGH MGD 又 ， CGF DGN MGNMGD BGDCGF MGH MGN 45． 【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平 行线的性质是解题关键． 24．（2022·河北·石家庄外国语学校七年级期末）已知点A，B，O在一条直线上，以点O 为端点在直线AB的同一侧作射线OC，OD，OE，使BOC EOD60． （1）如图①，若OD平分BOC，则AOE的度数是_______； （2）如图②，将EOD绕点O按逆时针方向转动到某个位置，且OD在BOC内部时， ①若COD:BOD1:2，求AOE的度数； ②若COD:BOD1:n（n为正整数），直接用含n的代数式表示AOE． 60n 【答案】（1） ；（2）①80°；②AOE 120 ． 90 n1【分析】 （1）由题意根据角平分线可得∠BOD=30°，∠BOE=90°，进而可得∠AOE的度数； （2）①由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：2可得∠BOD=40°，∠BOE=100°， 进而可得∠AOE的度数； 60n ②由题意根据∠BOC=60°和∠COD：∠BOD=1：n可得BOE 60 ，再由①的思 n1 路可得答案． 【详解】解：（1）因为OD平分BOC，BOC EOD60， 所以BOD30，BOE 603090， 所以AOE 1809090． 故答案为：90； （2）①因为BOC 60，COD:BOD1:2， 所以BOD40， 所以BOE 6040100， 所以AOE 18010080． 60n ②AOE 120 ． n1 因为BOC 60，COD:BOD1:n， 60n 所以BOD ， n1 60n 所以BOE 60 ， n1  60n 60n 所以AOE 18060 120 ．  n1  n1 【点睛】本题主要考查角的运算，注意掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这 个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 25．（2022·福建·泉州五中七年级期末）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上． （1）填空：1＝_____°，2＝ _____°； （2）现把三角板绕B点逆时针旋转n°．如图2，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时， ①请直接写出2＝_____°（结果用含n的代数式表示） 5 ②若 1与 2怡好有一个角是另一个角的 倍，求n的值   4 （3）若把三角板绕B点顺时针旋转n°．当0＜n＜360时，是否会存在三角板某一边所在 的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有n的值和 对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由． 10 80 【答案】（1）120°，90°；（2）①90°＋n°；②n的值为 或 ；（3）当n＝30°时， 3 3 AB⊥DG（EF）；当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）；当n＝120°时，AB⊥DE （GF）；当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）；当n＝210°时，AB⊥DG （EF）；当n＝270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）；当n＝300°时，AB⊥DE （GF）． 【分析】 （1）根据邻补角的定义和平行线的性质解答； （2）①根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCG，然后根据周角等于360°计算即可得 到∠2；②根据邻补角的定义求出∠ABE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝ 5 5 ∠ABE，再分∠1= ∠2和∠2= ∠1分别求解即可； 4 4 （3）结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解． 【详解】解：（1）∠1＝180°−60°＝120°，∠2＝90°； 故答案为：120，90； （2）①如图2，∵DG∥EF， ∴∠BCG＝180°−∠CBF＝180°−n°， ∵∠ACB＋∠BCG＋∠2＝360°， ∴∠2＝360°−∠ACB−∠BCG＝360°−90°−（180°−n°）＝90°＋n°； 故答案为：90°＋n°； ②∵∠ABC＝60°， ∴∠ABE＝180°−60°−n°＝120°−n°， ∵DG∥EF， ∴∠1＝∠ABE＝120°−n°， 5 5 10 若∠1= ∠2，则120°−n°= （90°＋n°），解得n= ； 4 4 3 5 5 80 若∠2= ∠1，则90°＋n°= （120°−n°），解得n= ； 4 4 3 10 80 所以n的值为 或 ； 3 3 （3）当n＝30°时，AB⊥DG（EF）； 当n＝90°时，BC⊥DG（EF），AC⊥DE（GF）； 当n＝120°时，AB⊥DE（GF）； 当n＝180°时，AC⊥DG （EF），BC⊥DE（GF）； 当n＝210°时，AB⊥DG （EF）； 当n＝270°时，BC⊥DG （EF），AC⊥DE（GF）； 当n＝300°时，AB⊥DE （GF）． 【点睛】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性 质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．