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专题29 圆锥曲线中的定点问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．双曲线 ，过定点 的两条垂线分别交双曲线于 、 两点，直 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 的方程为 ,则由 ，
设 ，
又 ， ，又
代入 整理得：
或 ，当 ，直线过 ，舍去，
当b=3时，过定点 ，故选：C
2．已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且 ，则 恒过除 点以
外的定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】椭圆 为椭圆 的右顶点，所以 ，
由题意知：若直线 的斜率存在，设直线 为 ，则 ，联立可得 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，即 ，则 ，
即
，
即 ，因此 ，
即 ，所以直线 过定点 ，不符合题意，舍去；
，所以直线 过定点 ，符合题意；
当直线的斜率不存在时，直线为 ，此时设 ，
， 符合题意，故直线 恒过除 点以外的定点 ，
故选：A.
3．已知椭圆 的上顶点为 为椭圆上异于A的两点，且 ，则直线 过定点
（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线 的方程为 ， ，则由
整理得 ，所以 ，，
因为 ， ， ，
所以 ，
，解得 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线过 点而 ，而 不在同一直线
上，不合题意；
当 时，直线 的方程为 ，直线过 ，符合题意.故选：D.
4．定义：若点 在椭圆 上，则以 为切点的切线方程为： .已
知椭圆 ，点 为直线 上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线 ， ，
切点分别为 ， ，则直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为点 在直线 上，设 ， ， ，所以 的方程为
，又 在 上，所以 ①，同理可得 ②；
由①②可得 的方程为 ，即 ，即 ，所以，解得 ，故直线恒过定点 ，故选：C
5．如图， 设直线 与抛物线 ( 为常数) 交于不同的两点 ， 且当
时， 抛物线 的焦点 到直线 的距离为 . 过点 的直线交抛物线于另一点 ， 且直线
过点 ， 则直线 过点（ ）
A． B． C． D．
【解析】直线 ，即 ，
依题意， 到直线 的距离为 ，
所以抛物线方程为 ，直线 ，由 消去 并化简得 ，
，且 ，设 ，则 .
由 ，直线 的方程为 ，
所以 ，即 ，则 ，故 ，
所以 ，所以 ，直线 的方程为 ，即 ，
则 ，故 ，
所以 ，也即直线 过定点 .故选：A.
6．已知直线l与抛物线 交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线 的斜率之积为 ，则
直线l恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】设直线方程为 ，联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，则 ，
由 ，得： ，所以 ，即 ，
故 ，所以直线l为： ，当 时， ，即直线l恒过定点 ，故选：A.
7．已知 为双曲线 右支上的一个动点， 为双曲线的右焦点，若在 轴的负半轴上存在定点
，使得 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题知 .设 ，当 时，因为 ，所以
，所以 ，所以 ，即 .
当 时， ， .因为 ，所以 .
将 代入并整理得 ，由 解得 .故选：A．
8． 是抛物线C： 上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率 ，
满足 为常数， ，且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ，则 ，相减得 ，
，同理得： ， 为常数， ，
，整理有 ，①
设直线AB： ，代入抛物线方程 得： ，
，则 ，
代入①，得： ，有 ，
代入AB的直线方程，得： ，
，，
直线过定点，则 ，解得： ，即 ，
直线AB所过定点 .故选：C.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线 的两个顶点分别是 ，两个焦点分别是 ．P是双曲线上异于 的任意
一点，则有（ ）
A． B．若 ，则
C．直线 的斜率之积等于 D．使得 为等腰三角形的点P有8个
【解析】由双曲线 可得 ， ，所以 ， ， ，
， ，
对于A.由双曲线的定义得 ，故A错误.
对于B.设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，因为 ， ，
所以 ，故B正确.
对于C. 设 ，则 ，所以 ，故C错误.
对于D.若 在第一象限，则当 时，， ， 为等腰三角形；
当 时， ， ， 为等腰三角形；
因此，使得 为等腰三角形的点P有8个，故D正确.
故选：BD.
10．已知 的左右顶点为 为 的上顶点， ，点 为直线 上的动点，
与 的另一个交点为 与 的另一个交点为 .则 的方程为（ ）直线 恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
由题意 ， ， ，
， ， ，解得： ，故椭圆 的方程是 ；
因为 ， ，设 ，则直线 的方程是 ，
联立 ，
由韦达定理 ，
代入直线 的方程为 得： ，即 ， ，直线 的方程是 ，联立方程 ，
由韦达定理 ，代入直线 的方程为 得 ，
即 ， ，则①当 即 时，有 ，
此时 ，即 为直线 ，
②当 时，直线 的斜率 ，
直线 的方程是 ，整理得：
，直线 过定点 ．
综合①②故直线 过定点 ．故选：AC
11．已知抛物线 ： ， 为坐标原点，直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，
则（ ）
A． B．直线 过定点
C． 的最小值为 D． 的最小值为2
【解析】设直线 的方程为 联立 ，得 ，
则 ，又 ，则
即 所以 ， (舍）， ，
则 即 ，所以直线 的方程为则直线 过定点 ，故 正确；
，当 时，等号成立，
即 的最小值为 ，故 错误；
因为 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 正确.
故选：
12．已知 是抛物线 内一动点，直线 过点 且与抛物线 相交于 两点，则下列说法正
确的是（ ）
A． 时， 的最小值为
B． 的取值范围是
C．当点 是弦 的中点时，直线 的斜率为
D．当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
【解析】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
对于A，当 时，点 与 重合，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x并整理得 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 的最小值为 ，A正确；对于B，显然点 在直线 上，由选项A知，当 时，可得 ，
由点 在抛物线 内，知 ，所以 的取值范围是 ，B正确；
对于C，当点 是弦 的中点时，设 ， ，若 ，直线 的斜率不存在，
若 ，则直线 的斜率 ，C错误；
对于D，由选项C知，当 时，线段 的中垂线斜率为 ，方程为 ，
即 ，此直线过定点 ，当 时，线段 的中垂线为 ，过点 ，
所以线段 的中垂线恒过定点 ，即当点 是弦 的中点时， 轴上存在一定点 ，都有
，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．抛物线 上有三点 ， ， ，直线 和 的斜率之和为2，则直线 恒过定点的坐
标为 .
【解析】因为抛物线 过点 ，所以 ，所以 ，即抛物线方程为： ，
设直线 的方程为 ，设 ，联立 ，所以
得 ，所以
又，
整理得 ，即 ，所以 或
当 时，直线 的方程为 ，直线过定点 ；
当 时，直线 的方程为 ，直线过点 ，此时 三点共线，不符合题意.
综上，直线 恒过定点的坐标为 .
14．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点，且 在第一象限，若 为等腰三角
形，则 的坐标为 ．
【解析】因为 为椭圆 的两个焦点， 为 上第一象限内的点，
设 ， ， ，且有
①若 ，
则 ，
解得 ，代入椭圆方程可得 ，所以 ；
②若 ，
则 ，显然不满足题意，舍去.
故答案为
15．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 .若直线 （ 且）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点
为 .
【解析】因为双曲线方程为 一条渐近线的倾斜角的正切值为 .所以 ，解得 ，
所以双曲线方程为 .设 ， ，联立 得 ，
.
由韦达定理得 ， .
因为 ，所以
.
所以 ，由题意知 ，此时 .
所以直线方程为 ，恒经过的定点为 .
16．双曲线 的左、右两支上各有一点A、B，点B在直线 上的射影是点 ，若直线AB过右
焦点，则直线 必定经过的定点的坐标为 ．
【解析】双曲线 的右焦点为 ，设 ，
直线与双曲线方程联立得 ，
则 ，所以 ，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
令 化简得， ，即 ，则 恒成立，
所以直线 必定经过的定点的坐标为
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设椭圆C： 的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B
两点．若直线PA与PB的斜率之积为 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为： ，过点M
作 垂直于直线 ，交 于点E．判断直线 是否过定点，并说明理由．
【解析】（1）由题意有 ， ，
设 ， ，化简得 ,结合 ，
可得 ，由椭圆焦距为2，有 ，得 ， ，
椭圆C的标准方程为 ；
（2）设直线 方程： ， ， ， ，
联立方程 ，得 ，所以 ， ，所以 ，又 ，
所以直线 方程为： ，
令 ，则 ．
所以直线 过定点 .
18．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的 的顶点， 为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E
上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点 若直线 ， 与椭圆E的另一个交点
分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【解析】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为 ，焦距为 ，
所以 周长为 ，即 ， ，因为左焦点 ，所以 ， ，
所以 ，所以椭圆E的标准方程为 .
（2）
由题意知， , ，直线 斜率均存在，
所以直线 ，与椭圆方程联立得 ，
对 恒成立，则 ，即 ，则 ，同理 ， ，
所以 ，
所以直线 方程为： ，
所以直线 过定点，定点坐标为 .
19．已知椭圆 的左顶点 ，点 是椭圆 上关于原点对称的两个动点（点
不与点 重合）， 面积的最大值是2.
(1)求椭圆 的方程.
(2)若直线 与 轴分别相交于点 ，是否存在定点 ，总有 ？若存在，求出定点 的
坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）由题意知 ，设椭圆 的右顶点为 ， ，
所以 ，即 的最大值为2，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设 ，
由 得到： ，即 ，
设 ，直线 的方程分别是 ，
联立 ，解得 ，即点 的坐标为 ，因为点 在椭圆上，所以 ，化简得 ；
同理， ，所以m、n是方程 的两个异根，
得 .有 ，
当且仅当 ，即 时 恒成立，
因此，存在点 或 使得 恒成立.
20．已知抛物线 ： ， 为坐标原点，过 作一条直线 ，与抛物线 相交于 ，
两点，若线段 的最小值是2．
(1)求抛物线 的方程；
(2)当直线 与 轴垂直时，设 、 是抛物线 上异于 、 两点的两个不同的点，直线 、 相交于
点 ，直线 、 相交于点 ，证明：直线 恒过定点．
【解析】（1）由题意不妨设直线 ： ，联立方程组： ，
得 ，所以 ， ，∴
∴ 即 ，所以抛物线 的方程为 .
（2）由（1）知 ， ，由对称性可得，该定点在 轴上，设
设 ， ， ， ，
直线 为 ①．
直线 为 ．②
联立①②，解得 ，即
由理可得 ，直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ．
因 在直线 上，所以 ，得
当 时，原式化为得
∴
即 ，∴ 即直线 过定点
又当 时，直线 是 轴，也过
故直线 过定点 ．
21．已知椭圆 的离心率为 ，长轴的左端点为 .
(1)求C的方程；
(2)过椭圆C的右焦点的任一直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且AM，AN与直线 ，分别相交于
D，E两点，求证：以DE为直径的圆恒过x轴上定点，并求出定点.
【解析】（1）由题可得 ， ，得 ，所以椭圆 的方程： ；
（2）椭圆右焦点坐标为 ，由题直线斜率不为零，设直线l方程为 ，
设 ， ，由题，联立方程组 ，消去x得 ，
所以 ， ，
，得 ，同理， ，得 ，
设 轴上一点 ，则 ，同理得: ，
，
因为 ，
得： ，即 或 ，所以以DE为直径的圆恒过x轴上定点，定点分别为 ， .
22．已知过曲线 上一点 作椭圆 的切线 ，则切线 的方程为 .若
为椭圆 上的动点，过 作 的切线 交圆 于 ，过 分别作 的切
线 ，直线 交于点 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知 为定直线 上一动点，过 的动直线 与轨迹 交于两个不同点 ，在线段 上取一点 ，
满足 ，试证明动点 的轨迹过定点.
【解析】（1）设点 ，由题意知切线 的方程为 ，
同理，设点 ，则切线 的方程分别为： ，
又点Q在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为： ，和 比较可得 ，
又 在曲线 上，即 ，
所以 ，即点Q的轨迹E的方程为 ；（2）设点 ，
则由 知 ，设 ，则 且 ，
则： ，即 ， ，
整理可得 且 ，
又 在曲线E上，则 ，故 ，
所以 ，
所以 ，即 ，由于 ,故 时， ，
所以动点T的轨迹过定点 .
