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专题25 圆锥曲线与垂心问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 是抛物线 上的两个点，O为坐标原点，若 且 的垂心恰是抛物
线的焦点，则直线 的方程是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由点 是抛物线 上的两点，且 ，
根据抛物线的对称性，可得 关于 轴对称，
设直线 的方程为 ，则 ，
因为 的垂心恰好是抛物线的焦点 ，
所以 ，可得 ，即 ，
解得 ，即直线 的方程为 .故选：C.
2．已知抛物线 上有三点 ， ， ， 的垂心在 轴上， ， 两点的纵坐标分别为 ， ，
则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．【解析】点 在抛物线上，纵坐标为 ，则 ，同理可得 ，设点 ，垂心 ，
则 ， ，即 ，化简得： ，消去
可得 ，解得 或 (舍)，故选：B
3．平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线 交于
点O，A，B，若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图所示：
双曲线 的渐近线方程为 ，与抛物线 联立，
解得 或 ，所以 ， ，
因为 的垂心为 的焦点，所以 ，
即 ，即 ，所以 ，故选：A
4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C ： － ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C ：x2＝2py(p>0)交
1 2于点O，A，B，若△OAB的垂心为C 的焦点，则C 的离心率为（ ）
2 1
A． B． C． D．
【解析】抛物线的焦点 的坐标为 ，
设 所在的直线方程为 所在的直线方程为 ，
由 得 ∴点 的坐标为 ，
∵ 是 的垂心，∴ ，∴
∴ ﹒故选：C﹒
5．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在直线 上的射影为 ，
若 的垂心在抛物线 上，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设点 ，则点 ，设点 在第一象限，
抛物线 的焦点为 ，设 的垂心为 ，
由于 ，则点 的横坐标为 ，可得点 ，
，则 ， ， ，，解得 ，
所以，点 的坐标为 ，所以， ， .故选：B.
6．设双曲线 ： 的左顶点与右焦点分别为 ， ，以线段 为底边作一个等腰
，且 边上的高 .若 的垂心恰好在 的一条渐近线上，且 的离心率为 ，则下列
判断正确的是（ ）
A．存在唯一的 ，且
B．存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内
C．存在唯一的 ，且
D．存在两个不同的 ，且一个在区间 内，另一个在区间 内
【解析】由题意可设 ，设 的垂心 ，则 ，
，由 可得 ，解得 ，故 .
因为 的垂心恰好在 的一条渐近线上，所以 ，即 ，化简可得
，设 ，则 .作出 与 的图象，因为当 时， ，当 时， ，故存
在唯一的 ，且 ，使得当 .
即存在唯一的 ，且 ，使得 .故选：A.
7．已知双曲线 的右焦点为 ，以坐标原点 为圆心、 为 半径作圆与双曲线
的渐近线在第一象限交于点 ，设 为 的垂心，恰有 ，则双曲线 的离心率 应满足（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
连接 交 于 ，由题意知， ， ， ， ， ，
在 中， ， ， ，所以 ， ，因为 ， ，所以 ，
， ，所以 ，整理得 ，
即 ，整理得 ，
设 ， ，则 ，对称轴为 ，所以 在 单调递
增，又 ，所以当 时， ，即 在 上单调递增，又 ，
，所以 .故选：B.
8．记椭圆 ： 的左右焦点为 ， ，过 的直线 交椭圆于 ， ， ， 处的切线交于点 ，
设 的垂心为 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】椭圆 的左右焦点为 ， ，
由题意，易知直线 的斜率存在，（若斜率不存在，则 三点共线，不能构成三角形），设直线 的
方程为 ， ， ，
对 两边同时求关于 的导数，得 ，则 ，
则椭圆在点 处的切线斜率为 ，
则椭圆在点 处的切线方程为 ，
即 ，即 ；同理，椭圆在点 处的切线方程为 ，
由 得 ，
则 ，
所以 ，即 ；
又 的垂心为 ，则 ， ，
即 轴，则 的横坐标也为 ，记 的纵坐标为 ，
由 得 ，所以 ，则 ，
因此 ，因为 过点 ，所以直线 与椭圆必有两个交点，故 且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线 的焦点为 ，点 ， ， 为抛物线上不与 重合的动点， 为坐标原点，
则下列说法中，正确的有（ ）
A．若 中点纵坐标为2，则 的斜率为2
B．若点 恰为 的垂心，则 的周长为C．若 与 的倾斜角互补，则 的斜率恒为
D．若 ，则 点纵坐标的取值范围是
【解析】对于选项A，设 ， ，则由 ， 在抛物线上可得 ， ，
所以 ，当 中点纵坐标为2时， ，所以 ，A错误；
对于选项B，若点 恰为 的垂心，则由 ，可得 ， 关于 轴对称，所以 ，
则 ， ，又由 可得 ，所以 ，
则 ， ，所以 ， ，则 的周长为 ，B正确；
对于选项C，若 与 倾斜角互补，则 ，即 ，
所以 ，则 ，故C错误；
对于选项D，若 ，由 可得 ，即 ，
即 （ ， 与2互不相等），
将 看作关于 的一元二次方程，令 ，解得 ，
又当 时， ，当 时，方程无解，所以 点纵坐标 ，故D正确，
故选：BD.
10．设抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上异于顶点的一点，且 在准线上的射影为 ，则下列结
论正确的有（ ）
A．点 的中点在 轴上
B． 的重心、垂心、外心、内心都可能在抛物线上C．当 的垂心在抛物线上时，
D．当 的垂心在抛物线上时， 为等边三角形
【解析】对于A选项，抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设点 ，则点 ，所以，线段 的中点为 ，A对；
对于B选项，由抛物线的定义可知 ，则 为等腰三角形，
因为 为 的中点，则 ，所以， 的重心、垂心、外心、内心都在直线 上，
，则直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
所以，直线 与抛物线 相切，B错；
对于C选项，设点 为第一象限内的点，
若 的垂心 在抛物线上时，设点 ，其中 ，
将点 的坐标代入抛物线方程可得 ，可得 ，即点 ，
由题意可知， 、 、 三点共线， ， ，
由 可得 ，整理可得 ，解得 ，所以， ，即点 ，所以， ， ，C对；
对于D选项，当 的垂心在抛物线上时，点 ，则 轴，则 ，
此时， 为直角三角形，D错.
故选：AC.
11．双曲线 的虚轴长为2， 为其左右焦点， 是双曲线上的三点，过 作
的切线交其渐近线于 两点.已知 的内心 到 轴的距离为1.下列说法正确的是（ ）
A． 外心 的轨迹是一条直线
B．当 变化时， 外心的轨迹方程为
C．当 变化时，存在 使得 的垂心在 的渐近线上
D．若 分别是 中点，则 的外接圆过定点
【解析】因为已知 的内心 到 轴的距离为1，双曲线 的虚轴长为2，
所以 的内心 横坐标 ，双曲线方程：
， ，渐近线 .
设 .
当点 在双曲线 上时：
设直线 与双曲线 交两点当直线与双曲线相切时 ，此时切点 满足：
切线
设直线 与渐近线 交两点
切点 正是线段 的中点，
∴ ；线段 中垂线是 .
中垂线与 轴交于点 ，且 .
可设
一方面， ；另一方面，线段 中点是考虑到
∴
，点 确系 之外心 ！其轨迹是直线 .选项A正确！
依（1）设
线段 中点是
线段 中垂线是 ，即
线段 中垂线是 ，即
∴
，即 外心的轨迹方程为 .故选项B错！
（3）对 来讲，若垂心在渐近线上可设坐标是 ，进而
化简得∴
把 代入 并化简得：
考虑到 不在渐近线上得 ，故
∴ ，这不可能！垂心不能在 上，同理不能在 上，选项C错误；
（4）设共圆！
的外接圆过定点原点，选项D对.
故选：AD
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重
心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”.直线 与 轴及双曲线
的两条渐近线的三个不同交点构成集合 ，且 恰为某三角形的外心，重心，垂
心所成集合.若 的斜率为1，则该双曲线的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，由 ，得 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，
，
，
，
若 为重心、 为外心、 为垂心，则 ，
所以 ，化简得 ，此时双曲线的离心率 ，
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，所以 ，化简得 不成立；
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 ，此时双曲线的离心率 ，
若 为重心， 为垂心、 为外心，则 ，
，化简得 ，此时双曲线的离心率 ；
若 为重心、 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 或 ，
此时双曲线的离心率 或 ，
若 为重心， 为垂心、 为外心，则 ，
所以 ，化简得 或 都不成立.
综上所述： 或 或 或 .
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若曲线 ： 上一点 ，是否存在直线 与抛物线 相交于两不同的点 ，使 的
垂心为 ．则直线 的方程为 ．
【解析】把 代入 中，得 ，即 ，
假设存在直线 与抛物线 相交于两不同的点 ，使 的垂心为 ，设 ， 显然直线 的斜率为 ，
则直线 的斜率为 ，设直线 的方程是 ，由 ，消去 化简得：
，即 ∵ 的垂心为 ，
∴ 即
， 或
当 时，直线 的方程是 ，过点 ，不合题意，舍去，
∴存在这样的直线 ，其方程是
14．已知抛物线方程为 ，直线 与抛物线交于A、B两点，抛物线的焦点F为 （O为坐标
原点）的垂心，则实数 的值为 ．
【解析】由题意知， ,设 ， ，则 ，
故 ，则 ，∴
15．已知点 在椭圆C： 上， 过点 作直线交椭圆C于点 的垂心为 ，
若垂心 在y轴上．则实数 的取值范围是 ．
【解析】（1）当直线斜率不存在时，设 ，
此时 ，则 ，∴ ，又 ，联立解得 或 （舍去），∴ .
（2）当直线斜率存在时，设 ， ，设直线方程为： ，
直线QT的斜率为 ，∵AB⊥QT，∴ ，即 ，
又∵BT⊥AQ，∴ ，即 ，（*）
联立 化为 ，则 ， ，
，∴ ，
，
代入（*）可得 ．
∴ ，解得 ，
综上可知：实数m的取值范围为 ．
16．已知椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，若椭圆 的右
焦点 恰好为 的垂心，则直线 的方程为 ．
【解析】易知 ， ，直线 的斜率为 ，因椭圆 的右焦点 恰好为 的垂心，则
，从而直线 的斜率为2．设直线 的方程为 ，将直线方程与椭圆方程联立有 ，
消去y得： ．
由 ，得 ，设 ， ，由韦达定理有： ， ．右焦点 恰好为 的垂心，故 ．
又 ，则
.解得 或 ．
当 时，点 即为直线 与椭圆的交点，不合题意；
当 时，经检验知 和椭圆相交，符合题意．故直线 的方程为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为M，O为坐标原点，若 的面积为 ，且
椭圆的离心率为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F点恰为 的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存
在，说明理由．
【解析】（1）依题意得， ，即 ，则 ，
又 ，则 ，所以所求椭圆的方程为 ．
（2）由（1）知 ，故直线MF的斜率为 ．
若符合题意的直线l存在，可设直线 ，由 ，消去y整理得 ，
则 ，即 ．
又 ，
则 ，
由F点恰为 的垂心等价于 ，即 ．
由于 ，故
，
所以 或 ．
当 时，直线PQ经过点M，此时不构成三角形，故舍去．
故直线l的方程为 ．
18．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C ：
1
，A，A 分别为椭圆C 的左，右顶点．椭圆C 以线段AA 为短轴且与椭圆C 为“相似椭圆”．
1 2 1 2 1 2 1
（1）求椭圆C 的方程；
2
（2）设P为椭圆C 上异于A，A 的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C 于点H．
2 1 2 1
求证：H为△PAA 的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
1 2
【解析】（1） 由题意可知 ，椭圆C 的离心率 ，
1设椭圆C 的方程为 ，则 ， ，
2
解得 ，所以椭圆C 的方程为 .
2
（2） 证明：设 ，则由 得 ，
把 带入椭圆 ，得 ，
因为 在 轴的同侧，所以 ，所以 ，
所以 ,
所以 ，又 ，所以H为△PAA 的垂心．
1 2
19．如图，已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P
满足 PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， .
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求证：点P在定直线上.
【解析】（1）设直线l的方程为 ， ， .
由 得 .
所以 ， .由抛物线定义，得
.当直线l的倾斜角为30°时， ， .
所以 ，即抛物线C的标准方程为 .
（2）由（1），得 ， .
因为 的垂心为原点O，所以 ， .
因为 ，所以 .
所以直线AP的方程为 ，即 .
同理可得，直线BP的方程为 .
联立方程 解得
即 .所以点P在定直线 上.
20．已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆 上，且 的垂心
为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 （斜率为 ）交椭圆 于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得射线
平分 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设 ，由 的垂心为 ，得 ，
所以 ，则 ，解得 ，所以 .
由点 在椭圆 上，得 ，解得 ，故椭圆 的方程为 .
（2）假设存在定点 满足题意，其坐标为 ，
易知直线 的方程为 ，代入 ，
消去 ，得 ， ，
设 则 ，
所以
，
由已知得 对任意的 恒成立，
所以 ，解得 ，此时点 的坐标为 .
所以存在定点 满足题意，其坐标为 .
21．已知双曲线 ： 的离心率为 ，直线 ： 与双曲线C仅有一个公共
点.
(1)求双曲线 的方程
(2)设双曲线 的左顶点为 ，直线 平行于 ，且交双曲线C于M，N两点，求证： 的垂心在双曲
线C上.
【解析】（1）因为双曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线 的方程为 ，
联立直线 与双曲线 的方程 ，消去 得 ，即 ，因为 与双曲线C仅有一个公共点，
所以 ，解得 ,
故双曲线 的方程为 .
（2）设 ， ， 则 满足
消去 得 ，
所以 ， ，
如图所示，过A引 的垂线交C于另一点H，
则AH的方程为 .
代入 得 ，即 （舍去）或 .
所以点H为 .
所以
，
，所以 ，故 为 的垂心，得证.22．已知抛物线 ： 过点 ， 为其焦点，过 且不垂直于 轴的直线 交抛物线
于 ， 两点，动点 满足 的垂心为原点 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）求证：动点 在定直线 上，并求 的最小值.
【解析】（1）由题意，将点 代入 ，即 ，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）解析1：（巧设直线）
证明：设 ： ， ， ，联立 ，可得 ，则有 ，可设
： ，即 ，同理 ： ，解得 ，即动点 在定
直线 ： 上.
，当且仅当 时取等号.其中 ， 分别为点 和点
到直线 的距离.
（2）解析2：（利用向量以及同构式）
证明：设 ： ， ， ，联立 ，可得 ，则有
. ， ，又 为 的垂心，从而 ，代入化简得：
，同理： ，从而可知， ， 是方程 的两根，所以，所以动点 在定直线 ： 上.
，当且仅当 时取等号.其中 ， 分别为点 和
点 到直线 的距离.
