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专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知双曲线C： 的一条渐近线方程是 ，过其左焦点 作斜率为2的
直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线 与直线 相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为 ，
则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若
，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
5．已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则
弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线 的斜率为 ，则 的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，以 为直径的圆与 的两条渐近线分
别交于与原点不重合的两点 ， ，若 ，则四边形 的面积为（ ）
A．6 B． C． D．4
8．设A，B分别是双曲线x2- =1的左、右顶点，设过P 的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，
N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且 =2 ，则△BST的面积为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并
且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，点 在双曲线上，则
下列结论正确的是（ ）A．该双曲线的离心率为 B．若 ，则 的面积为
C．点 到两渐近线的距离乘积为 D．直线 和直线 的斜率乘积为
11．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 与 交于 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．
12．过双曲线 的右焦点作直线 与该双曲线交于 、 两点，则（ ）
A．存在四条直线 ，使
B．与该双曲线有相同渐近线且过点 的双曲线的标准方程为
C．若 、 都在该双曲线的右支上，则直线 斜率的取值范围是
D．存在直线 ，使弦 的中点为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若直线y=kx+1与双曲线 交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k=
．
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作斜率为 的弦 ．则 的长是
．
15．已知点 ，点 是双曲线 的右焦点，点 是双曲线 右支上一动点，则当 的
周长取得最小时 的面积为 ;
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点， ， 分别交y轴于P，Q两点，若 的周长为16，则 的最大值为
.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的方程为 ．
(1)直线 截双曲线C所得的弦长为 ，求实数m的值；
(2)过点 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 的中点M的轨迹方程．
18．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 且斜率为1的直线与 的渐近线分别
交于 ， 两点（ 在第一象限）， 为坐标原点， ．
(1)求 的方程；
(2)过点 且倾斜角不为0的直线与 交于 ， 两点，与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，证明：
．
19．设双曲线 的焦距为6，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 的右焦点为 是直线 上一点，直线 交双曲线 于 两点（ 在第一象限），过点作直线 的平行线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，证明： 为线段 的中点.
20．已知双曲线 的左顶点为A，虚轴上端点为 ，左、右焦点分别为 ， ，离
心率为 ， 的面积为4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过 且与 轴的夹角在 内的直线 交双曲线 于 两点， 的面积为 ，求 的方
程．
21．已知双曲线 的焦距为10，渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的直线 与双曲线 的两支分别交于 、 两点，且 与直线 交于点 ，求
的值.22．在平面直角坐标系 中，焦点在x轴上的双曲线C过点 ，且有一条倾斜角为 的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足 ，直线 交双曲线C于A，B两
点，若 ，求点P的坐标.
