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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(40)
(数列的通项与求和)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知数列 是等差数列，且 ，将 去掉一项后，剩下三项依次为等比数
列 的前三项，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在等差数列 中， ，解得 ，
而 ，即有公差 ，
等差数列 的通项 ，
则 ，显然去掉 ，
成等比数列，则数列 的首项为 ，公比 ，
所以 .
故选：C
2.（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考）已知数列 满足： .则 的
前60项的和为（ ）
A．1240 B．1830 C．2520 D．2760
【答案】D
【解析】由 ，
故 ， ， ， ，….
故 ， ， ，….
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；
， ， ，….
从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，
以24为公差的等差数列.
故 .
故选：D.
3.（2023·河南安阳·安阳一中校联考）在数列 中， 且 ，
（ ）
A．0 B．1300 C．2600 D．2650
【答案】C
【解析】当 为奇数，即 时，设 ， ， ，
则 ，即数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ，
故 ；
当 为偶数，即 时，设 ， ， ，
则 ，显然数列 为常数列，则 ，即 ；.
故选：C.
4.已知数列 满足 ， ，则 的通项为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
则当 时， ，
将 个式子相加可得 ，
因为 ，则 ，当 时， 符合题意，
所以 .
故选：D.
5.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则 的通项公式为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ①得 ②，
①—②可得： ，
所以 （ ），
又 ， ，则 ，
因此 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ，当 时也满足该式，所以 .
故选：C.
6.“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数
五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上
第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依
次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为 ，其前n项和为 ，则下
列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据数列前 项依次是 ，
则奇数项为： ， ， ， ， ， ，
偶数项为： ， ， ， ， ， ，
所以通项公式为 ，
对于A， ，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，
，
由 ，
所以 ，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：A
7.在数列 中，其前 的和是 ，下面不正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，且 ，则
【答案】D
【解析】A：由题设， 是首项为1，公差为2的等差数列，则 ，正
确；
B：由题设， ，则 ，可得，即 ，正确；
C：由题设， ，则 ，正确；
D： 时有 ，整理得 ，而 ，故 为常数列且
，可得 ，错误；
故选：D
8.已知数列 的前n项和为 ，且 ，记数列 的前n项和为 若对于任意的
，不等式 恒成立，则实数t的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于 ，
当n=1时，
当n≥2时，
经检验： 对n=1也成立，
∴
所以
∴
，
两式相减得， ，，
所以 所以 ， 令 ，
，
故当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，t的最小值为 ．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.在数列 中，其前 的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ，则其通项公式
B．若 ，则其通项公式
C．若 ，则其通项公式
D．若 ， ，则其通项公式
【答案】BCD
【解析】A： 时， ，当 时， ，而
，故错误；
B：由题设， ， ， ， ，…，则
，故正确；
C：由题设， ，而 ，则 ，即 ，故正确；
D：假设 成立，当 时， ，即 成立；
若 时， 成立，则 时， ，此时 ，则 也成立，故正确.
故选：BCD
10.（2023秋·山东聊城·高三期中统测）已知数列 的前 项和为 ， ，
， ，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为常数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】 ，则 ，
整理得 ，即 ，
故 是常数列，
所以 ，即 ，故D选项正确.
当 时， ，
经检验 时满足，故 .
对于A选项，由 ，知 ，故A选项正确.
对于B选项，由 ，知 ，所以 为常数列，故B选项正确.
对于C选项，由 ，知 ，故C选项错误.
故选:ABD .
11.（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ， 为数列
的前 项和，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为【答案】ACD
【解析】对于A，当 为奇数时， ，又 ，
，则 ，A正确；
对于B，当 为偶数时， ，又 ， ；
由A知：当 为奇数时， ；
则当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；
，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，当 时， ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
当 时， ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
综上所述： ，D正确.
故选：ACD.
12.（2023秋·江苏南通海安·高三期中统测）已知数列 满足 ，且 ，则（ ）
A. 为递增数列
B.
C.
D.
【答案】ABC【解析】显然 ，而 ，则 ， ，
又 ，即有 与 同号，而 ，则 ，
对于A， ，即 ， 为递增数列，A正确；
对于B， ，则 ，
因此 ，B正确；
对于C，由 ，得 ，即 ，
因此 ，C
正确；
对于 D， ，因此 （当且仅当 时取等
号），
所以 ，D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知数列 中， ， ，则数列 的一个通项公式为
。
【答案】
【解析】因为 则
由递推公式可得将等式两边分别相加可得
所以由对数运算可得
故答案为：
14.在数列 中，已知 ，且 ，则数列 的前n项和 .
【答案】
【解析】依题意， ，
所以
.
故答案为：
15.（2023 秋·山东德州·高三期中统考）设数列 满足 ， ，则
______．
【答案】1036
【解析】 且 ,
当 时，则有：
① - 得，
当 时也符合上式，所以 ,
故答案为：1036．
16.（2022·广东肇庆·二模）已知 是数列 的前n项和， ， ， 恒成
立，则k最小为______．
【答案】2
【解析】由 ，得 ，
当 时，得 ， ，…， ，
则 ，
即 ，则 ，
当n=1时符合上式，
则 ，
所以k最小为2．
故答案为：2.
