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专题 14 客观题中的数列求和问题
一、单选题
1．（2024届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）若数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A．684 B．682 C．342 D．341
【答案】B
【解析】 ， ， ， ， ，
所以 .故选B.
2．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟演练）已知数列 满足 ，记 为不小
于 的最小整数， ，则数列 的前2023项和为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】A
【解析】由题意得 ，
则当 时，
，
当 时也满足上式，所以 ，所以
，
故 的前2023项和为 ．故选A.
3．（2023届河南省部分名校高三二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传
“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为 记数列 的前n项和为 ，
则 （ ）
参考公式： .
A．169125 B．169150 C．338300 D．338325
【答案】B
【解析】由 ，故
.故选B
4．（2024届上海市市西中学高三上学期开学考试）在数列 中，如果存在非零自然数 ，使得
，对于任意的非零自然数 均成立，那么称数列 为周期数列.其中 叫做数列 的周期，已
知数列 满足 ，如果 ， ，当数列 的周期最小时，
该数列前2008项的和是（ ）
A．669 B．670 C．1338 D．1339
【答案】D
【解析】因为 ， ， ，则 ，
因为数列 是周期数列，而 ，
当 时， ，则 ，有 ，不符合题意；当 时，有 ，即 ，而 ，解得 ，
则 ， ，不符合题意；
当 时，有 ，即 ，则 或 ，
若 ，则 ，解得 ，不符合题意，
若 ，则 ，必有 ，即 ，
又 ，则 ，即 ，解得 ，
此时， ， ， ， ， ， ， ，符合题意，
因此数列 的周期最小值为 ， ，
所以该数列的前 项和是 .故选D
5．已知数列 满足 ，则数列 的前2017项和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，有 ，于是 ，
进而 ，
于是 ，进而 .故选C
6．数列 满足 ， ，则数列 的前60项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由 ，得 ， ，而 ，
因此数列 的所有项均为1，有 ，
，
所以数列 的前60项和为 ，故选B
7．（2024届河北省张家口市尚义县高三上学期开学考试）莱布尼茨三角是与杨辉三角数阵相似的一种几
何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．记第2行的
第2个数字为 ，第3行的第2个数字为 ，…，第 行的第2个数字为 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和．
则 分析得 ，
所以 ．故选D.
8．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团高三上学期开学联考）如图，在 平面上有一系列点
， ，…， …，对每个正整数 ，点 位于函数 的图像上，以点为圆心的 都与 轴相切，且 与 外切.若 ，且 ， ， 的前 项
之和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 与 外切，且都与 轴相切，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，首项 ，公差 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
所以 ，故选D
9．（2023届辽宁省大连市第二十四中学高三高考适应性测试）已知数列 的前 项和为 ，且
，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，且 ，
所以 ；
所以 ，
故 ， ，
，
所以 ，即 ；
故 ，
所以 ；
所以 ；
故 ；
故 ，
由于 ，所以 .
10．设数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C．180 D．240【答案】D
【解析】当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， ；
当 ， 时， ， .
， .故选D
11．（2023届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期月考）将等比数列 按原顺序分成1项，2项，4项，…，
项的各组，再将公差为2的等差数列 的各项依次插入各组之间，得到新数列 ： ， ， ，
， ， ， ， ， ， ，…，新数列 的前 项和为 ．若 ， ， ，则S =
200
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得 ， ， ，等比数列 的公比 ．
令 ，则 ， ，
所以数列 的前200项中含有数列 的前7项，含有数列 的前193项，
故．故选A．
12．（2023届北京市育英学校高三上学期统测） 为不超过x的最大整数，设 为函数 ，
的值域中所有元素的个数.若数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ， ， ，故 ，即 ，
当 时， ， ， ，故 ，即 ，
当 时， ， ， ，故 ，即 ，
以此类推，当 ， 时， ， ，故
可以取的个数为 ，
即 ，当n=1时也满足上式，故 ，
所以 ，
，所以 .故选D
二、多选题
13．（2023届广东省佛山市第一中学高三上学期第三次月考）已知数列 满足 ， ，记数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】因为 ， ，所以 ，故A错误；
， ，所以数列 是以 为周期的周期数列，
所以 ，故B错误；
因为 ， ，
所以 ，故C正确；
，故D正确；故选CD
14．已知数列 中， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由题意， ，∴数列 是以 为周期的周期数列．
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C错误；
对于D，由递推关系式知 ，
∴
，D正确．故选BD
15．（2024届浙江省名校协作体高三上学期7月适应性考试）意大利著名数学家莱昂纳多．斐波那契（
Leonardo Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，
该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的
一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着 趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割
，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，所以
故A正确；
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，而 ，故B错误；
，所以
故C正确；
，故D正确，答案ACD.
16．（2024届湖北省荆州市沙市中学高三上学期9月月考）如果一个人爬楼梯的方式只有两种，一次上一
级台阶或一次上两级台阶，设爬上 级台阶的方法数为 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于B选项：由于到第 级阶梯有两种方法：从第 级阶梯上一级台阶或者从第 级阶梯上
两级台阶，因此由题意有 ，故B选项正确；
对于A选项：显然 ，又结合B选项分析可知 ，
所以 ， ， ， ，故A选项正确；
对于C选项：由A、B选项分析可知 ， ， ，
， ， ，
所以 ，故C选项错误，
对于D选项：由B选项分析可知 ，
再裂项求和，故D选项正确.故选ABD.
17．已知数列 满足 ， ， ， 为数列 的前 项和，则下列说法正
确的有（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，当 为奇数时， ，又 ，
，则 ，A正确；
对于B，当 为偶数时， ，又 ， ；
由A知：当 为奇数时， ；
则当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；
，B错误；
对于C， ，C正确；
对于D，当 时， ，
当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
当 时， ，当 为偶数时， ；当 为奇数时， ；
综上所述： ，D正确.故选ACD.
三、填空题
18．（2024四川省内江市高三上学期9月月考）已知 ，若数列 的前 项和为 ，
则 的取值范围为.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
因此 ，
所以 的取值范围为
19．（2023届上海市大同中学高三三模）南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、
体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应
立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层
放3个，第三层放6个，第四层放10个 第n层放 个物体堆成的堆垛，则 ．【答案】 /
【解析】依题意，在数列 中， ，
当 时， ， 满足上式，
因此 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 ，
所以 .
20．（2023届新疆伊犁州伊宁县第三中学高三上学期第三次诊断）已知数列 的前n项和为 ， ，
.令 ，则数列 的前n项和 .
【答案】
【解析】由题意可知： ，
因为 ，则 ，
所以数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
则 ，可得 ，
则 ，
所以
，
即 .21．（2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考）如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，
雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于
x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为 ，第n根弦（ ，从左数首根弦在y轴
上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l： 交于点 和 ，则 .
（参考数据：取 .）
【答案】914
【解析】由题意可知： ，
则 ，
可得 ，
两式相减可得：
，
所以 .
22．（2023届河北省唐山市邯郸市等2地高三上学期期末）将数据 ， ， ，…排成如图的三角形数
阵，（第一行一个 ，第二行两个 ，⋯，最下面一行有 个 ， ）则数阵中所有数据的和为.【答案】
【解析】由题意，设数阵中所有数据的和为 ，
则 ①，
②，
由①-②得：
，
所以 .
