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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(50)
(抛物线方程与几何性质)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023秋·江苏南通如皋·高三如皋中学数学综合练习（一））抛物线 的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原抛物线可化 为，所以 ，所以 ，所以焦点坐标为 .
故选:B
2.（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距
离为5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
3.（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .故选：B
4.已知直线l过点 ，且与抛物线 有且只有一个公共点，则符合要求的直线l的条数为（ ）
条
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当直线 平行于 轴（即抛物线的）时，直线 与抛物线只有一个公共点，
直线 与抛物线的轴不平行时，由于 在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的
切线有两条．
综上，符合要求的直线 有3条．
故选：D．
5.（2023秋·上海嘉定·高三嘉定区第一中学校考）已知点 是抛物线 的焦点，点
，且点 为抛物线 上任意一点，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】因为点 是抛物线 的焦点，所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程
为： ．
由抛物线的定义知：点 到点 的距离等于点 到准线 的距离，
结合点 与抛物线 的位置关系可知， 的最小值是点 到准线 的距离，故
的最小值为7．
故选：C.
6.（2023·四川绵阳·统考模拟预测）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是继东方红大
桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥的拱顶可近似地看作抛物线
的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的
最高点的距离为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：设鸽子所在位置为点 ，
因为它到抛物线焦点的距离为10米，
所以 ，解得 ，
则 ，
所以鸽子到拱顶的最高点的距离为 ，
故选：B
7.（2023春·河北衡水·高三衡水中学期初检测）已知抛物线 过点 ，动点M，N
为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0，直线l的斜率为 ，且过C的焦点F，l把 分成
面积相等的两部分，则直线MN的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为抛物线 过点 ，
所以 ，解得： ，所以 ，
设 ，
直线 ，代入 中整理得 ，
所以 , ，
所以
，即 ，则 ，解得： ，
所以直线 ，
直线l的斜率为 ，且过C的焦点 ，
所以 ，则 到直线 的距离为 ，
所以l把 分成面积相等的两部分，因为直线 与直线 平行，
所以 到直线 的距离为 到直线 距离的 ，
，解得： 或 （舍去）.
所以直线MN的方程为 .
故选：D.
8.（2023·江苏·2024届高三百校大联考第二次检测）已知抛物线 的焦点为 ，且抛
物线 过点 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点， 分别为 两点在抛物线 准线
上的投影， 为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段 长度的最小值为2 B. 的形状为锐角三角形
C. 三点共线 D. 的坐标不可能为
【答案】C
的
【解析】对于A，因为抛物线 过点 ，所以抛物线 方程为 ，线段 长度的最小值
为通径 ，所以A错误；
对于B，由定义知 ， 轴，所以 ，
同理 ，所以 ，所以B错误；
对于C，设直线 ，与抛物线方程联立，得 ，
设 ， ，则 ， ，因为 ，所以 ， 三点共线，所以C正确；
对于D，设 的中点为 ，则 ， ，
取 ，可得 ，所以D错误.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023·河北·校联考模拟预测）若抛物线 上一点 到焦点的距离是它到直线
的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据抛物线的定义列方程，化简求得 的值，也即求得正确答案.
【详解】设焦点为F，则 ，解得 或 .
故选：BD
10.（2023·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦
点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
11.（2023·河北·高三部分学校12月大联考）在直角坐标系 中，已知抛物线 ： 的焦
点为 ，过点 的倾斜角为 的直线 与 相交于 ， 两点，且点 在第一象限， 的面积是
，则（ ）
A. B.C. D.
【答案】AC
【解析】由题意得 ，设直线 ： 即 ，
则点 到直线 的距离是 ，
所以 ，得 ，所以 ，
， ，所以AC正确，
故选：AC.
12.（2022·湖北·高三开学考试）（多选）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线 相
交于 两点，分别过 两点 作 的切线 ，且 相交于点 ，则（ ）
A． B．点 在直线 上
C． 为直角三角形 D． 面积的最小值为16
【答案】BCD
【解析】由题可知，抛物线 的焦点 ，
显然直线 的斜率存在，设直线方程为 ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
， ，
由 得， ， ，
故切线 的方程为： ①
故切线 的方程为： ②
联立①②得，
对于A， ， ， 不正确，故A不正确；
对于B， ，显然点 在直线 上，故B正确；
对于C， ， ， ， ，
将 ， ，且 ， ，代入上式化简得：
， ， 为直角三角形，故C正确；
对于D， 到直线 的距离为： ，
，
，当 时， ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2021·全国·统考高考真题改编）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
．
【答案】2
【解析】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：2.14.（2021·北京·统考高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴与于点
.若 ，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【解析】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
15.（2023·海南·海南中学校考模拟预测改编）已知直线 和直线 ，抛物线
上一动点 到直线 和 距离之和的最小值是 ．
【答案】3
【解析】由题可知 是抛物线 的准线，设抛物线的焦点为 ，则 ，
所以动点 到 的距离等于 到 的距离加1，即动点 到 的距离等于 .
所以动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值为焦点 到直线 的距离加1，
即其最小值是 .
故答案为：3
16.（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知点 ， 关于坐标原点 对称， ， 过点 ，
且与直线 相切，若存在定点 ，使得当 运动时， 为定值，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】 为圆 的一条弦， 是弦 的中点，所以圆心 在线段 的中垂线上，设 ，因为 与直线 相切，所以 的半径为 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，即 ，
化简得 的轨迹方程为 .
因为曲线 ： 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，
若 为焦点 ，则 .
因为 ，
所以存在满足条件的定点 ，其坐标为 .
故答案为： .
