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专题22.24 二次函数与一元二次方程（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．抛物线 与x轴的两个交点之间的距离是（ ）
A． B．2 C． D．4
2．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，y与x的部分对应值如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
y -1.59 -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76
则一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个解x满足条件（ ）
A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4 C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.6
4．如图是二次函数 和一次函数 的图像，观察图像写出 时，x的取值
范围（ ）
A． B． C． D．
5．如图是二次函数 的部分图象,由图象可知不等式 的解集是（ ）A． B．
C． D． 或
6．若方程 的两个根是 和 ，则对于二次函数 ，当
时， 的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
7．若二次函数 的图象经过点 ， ，则关于x的方程 的解为（
）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
8．已知函数 的图象如图所示，那么方程 的解是（ ）
A．-3，-1 B．-3，0 C．-1，0 D．3
9．抛物线 在 轴上截得的线段长度是（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．
若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（ ）
A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7
二、填空题
11．抛物线 与 轴的交点坐标是 ，与 轴的交点坐标是
．
12．将抛物线 向下平移3个单位，所得新的抛物线的与y轴的交点坐标是 ．
13．若二次函数 的对称轴是 ，则关于 的方程 的解为 ．
14．若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x =﹣1，x =2，则b+c的值是 ．
1 2
15．如图，已知抛物线 与直线 交于 、 两点，则关于 的不等
式 的解集是 ．
16．抛物线 与x轴交于两点，其中一个交点的坐标为 ，则当函数值 时，x的
取值范围是 .
17．已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点 ．如图
所示，则能使 成立的x的取值范围是 ．18．已知抛物线 的图像与x轴分别交于点 ， ，则关于x的方程
的根为 ．
三、解答题
19．已知抛物线 经过点 和点 ，
（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
（2）求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
20．已知，抛物线 ，
（1）求证：不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若已知抛物线与x轴有一个交点A（ 1，0），另一交点B，求k的值及线段AB的长．
21．已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求 ABP的面积．
△22．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）、B（－1，0）
（1）求抛物线的解析式．
（2）若抛物线交y轴于点C，求△ABC的面积．
23．如图，抛物线 与y轴交于点A，抛物线上的一点P在第四象限，连接AP与x轴交于点
C， ，且S =1，过点P作PB⊥y轴于点B．
AOC
△
（1）求BP的长；
（2）求抛物线与x轴的交点坐标．24．已知，如图，二次函数 的图像与 轴交于A， 两点，与 轴交于点 ，且经
过点
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）求 的面积，写出 时 的取值范围．
参考答案
1．D
【分析】先求出函数图像与x轴交点的坐标，进而即可求解．
解：当 时， ，
解得： ， ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为 和 ，
∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程；正确理解题意，求出抛物线与x轴交点
坐标是解题的关键．2．A
【分析】根据与y轴交点坐标的特点求解即可．
解： ，
当 时， ，
∴与 轴的交点坐标为 ，
故选：A．
【点拨】题目主要考查抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
3．C
【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.24和0.25最接近0，再看对应的x的值即可得．
解：由表可以看出，当x取1.4与1.5之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.4＜x＜1.5．
故选：C．
【点拨】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程
关系正确理解的基础上的．
4．C
【分析】根据图像解答即可．
解：由图象可知，当 时，x的取值范围 ．
故选C．
【点拨】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据二次函数图像性质，可知 的解集位于x轴的上方，分别求出与x轴交点坐
标即可解决问题.
解：根据二次函数图像性质，可知 的解集位于x轴的上方，有图像可知，对称轴为
x=2，抛物线与x轴的交点为（5,0），由此可知抛物线与x轴另一个交点为（-1,0），所以 的
解集是 .
故答案是C.【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，解决本题的关键是求出抛物线与x轴的交点坐标.
6．B
【分析】 ，则抛物线开口向上，由题意知，抛物线与 轴的两个交点坐标为 、 ，据
此求解即可．
解： ，
∴抛物线开口向上，
由题意知，抛物线与 轴的两个交点坐标为 、 ，
当 时， 的取值范围是 或 ，
故选：B．
【点拨】本题考查的是抛物线与 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉
函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
7．A
【分析】根据一元二次方程的根为二次函数与x轴的交点即可解答．
解： 的图象经过点 ， ，
方程 的解为 ， ．
故选：A．
【点拨】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是正确应用两者的关系．
8．A
【分析】根据抛物线 与x轴交点的横坐标，即可得方程 的解．
解：∵二次函数 的图象与x轴的交点的横坐标为 与 ，
∴ 的两根为： ， ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，找出抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的
关键．
9．A
【分析】令解析式 ，求解出抛物线与 轴交点的横坐标，再作差即可．解：由 解得 ， ，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了抛物线在 轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键．
10．C
【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出
对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．
解：根据题意知，
点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，
0），
当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），
故点M的横坐标的最小值为﹣5，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数
在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．
11． ，
【分析】根据题意，令 ，然后求出 的值，即可以得到抛物线 与 轴的交点坐标；
令 ，求出 的值，即可求出抛物线 与 轴交点的坐标．
解：令 ，
得 ，
抛物线 与 轴的交点坐标是： ，
令 ，
即 ，
解得 ， ，所以抛物线 与 轴交点的坐标是 ， ．
故答案为： ； ， ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识，难度不大．
12．
【分析】先求出平移后的抛物线的解析式，再求交点的坐标即可．
解：抛物线 向下平移3个单位得到 ，
即 ，
当 ， ，
∴坐标是 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了二次函数的平移、抛物线与y轴的交点坐标，熟练掌握平移规律是解题的关键．
13．3或
【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=3，求出x
的值即可．
解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=1，
∴ =1，
解得m=-2，
∴关于x的方程x2+mx=3可化为x2-2x-3=0，即（x+1）（x-3）=0，
解得x =-1，x =3．
1 2
故答案为：3或-1．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解题的关键．
14．﹣3
解：试题分析：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x =﹣1，x =2，
1 2
∴根据根与系数的关系，可得﹣1+2=﹣b，﹣1×2=c，
解得b=﹣1，c=﹣2
∴b+c=﹣3．考点：根与系数的关系．
15．
【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
解：由图象可知，当 时，抛物线在直线的上方，
关于 的不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的
理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．
16． 或
【分析】利用配方法，将抛物线的一般式变形成顶点式，找到抛物线的对称轴，根据对称性，找到
（3,0）的对称点坐标，通过函数值直接确定x的取值范围即可.
解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
点 关于直线 的对称点为 .
抛物线与x轴的另一个交点坐标为 .
当函数值 时，x的取值范围是 或 .
故答案为： 或 .
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是正确理解题意，根据二次函数图像的对称性
确定与x轴的另外一个交点.
错因分析：本题属于容易题.失分原因有2点：（1）不能通过抛物线的解析式求出抛物线与x轴的另
一个交点；（2）审题不清，将 当作 从而出错.
17． 或
【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
解：∵由函数图象可知，当 或 时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
∴能使 成立的x的取值范围是 或 ．
故答案为： 或 ．【点拨】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
18． ，
【分析】根据 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），即可得．
解：∵ 的图象与x轴分别交于点A（-2，0），B（-4，0），
∴ 的根为 ， ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是理解题意．
19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令 ，可得 ，即可求解．
（1）解：把点 和点 代入得：
，
解得： ，
∴这个抛物线的解析式为 ，
∵ ，
∴这个抛物线的顶点坐标为 ；
（2）解：当 时， ，
解得： ，∴抛物线与x轴两个交点坐标为 ，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为 ．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物
线的解析式是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）列出判别式，根据判别式的值的情况进行证明即可；
（2）通过A点代入求解得k，进而求出完整解析式，求出B的坐标即可计算AB的长度．
解：（1）由题意： = = ，
不论k取何值时，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）将A（ 1，0）代入解析式得： ，解得： ，
此时抛物线得解析式为： ，
令 ，解得 ， ，故 ，
．
【点拨】本题考查二次函数与 轴交点的问题，熟练掌握求解判别式及二次函数与一元二次方程之间
的关系是解题关键．
21．（1）见分析；（2）16．
【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面
积公式即可得出结论．
解：（1）证明：△=b2-4ac
=（-4）2-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0解得：x=-1，x=3
1 2
即A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 （x-1）2-8
∴P（1，-8）
∴ ABP的面积=
△
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，
当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线
与x轴没有交点．
22．（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式中，求出b，c的值，从而得到抛物线解析式；
（2）令x=0，得到y，从而可得点C坐标，再根据点A和点B坐标，利用三角形面积公式求出结果．
解：（1）将A（3，0）、B（－1，0）代入，
则 ，
解得： ，
∴该抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；
（2）令x=0，
则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴△ABC的面积= =6．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．（1）3；（2）（ ，0），（ ，0）．
解：（1）当x=0时，y=2，
∴OA=2，∵ ，
∴OC=1，
∵PB⊥y轴，
∴OC∥BP，
∴△AOC∽△ABP，
∴ ，
∴BP=3；
（2）由（1）得P（3，－4），将点P（3，－4）代入 得， ，
∴ ，
∴ ，当y=0时， ，
∴ ， ，
∴抛物线与x轴的交点坐标是（ ，0），（ ，0）．
考点：二次函数综合题．
24．（1） ；（2）顶点坐标是 ，对称轴是 ；（3） 的面积为21，
时， 的取值范围是 ．
【分析】（1）直接利用待定系数法将已知点代入得出方程组求出答案；
（2）直接利用配方法求出抛物线顶点坐标和对称轴即可；
（3）首先求出抛物线与x轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式和图像得出答案．
解：（1）∵二次函数 的图像经过点 、 ，
∴ ，解这个方程组，得 ，
∴该二次函数的解析式是 ；
（2） ，
∴顶点坐标是 ；
对称轴是 ；
（3）∵二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解这个方程得： ， ，
即二次函数 与 轴的两个交点的坐标为 ， ．
∴ 的面积 ．
由图像可得，当 时， ，
故 时， 的取值范围是 ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求函数表达式，求三角形面积，图像法求自变量求职范围，用配
方法求抛物线顶点坐标和对称轴，求出函数表达式是解决问题的关键．
