文档内容
专题 22.23 二次函数与利润问题题型分类专题（分层练习）
【题型目录】
【题型1】直接求最大利润
【题型2】利用自变量的取值范围求最大利润
【题型3】利用最大利润求售价或定价
【题型4】通过一次函数与二次函数综合求最大利润
【题型5】利用二次函数与最大利润求自变量取值范围或参数值
一、选择题
【题型1】直接求最大利润
1．（23-24九年级上·浙江温州·期中）亚运会期间，我市宾馆预订火爆．某宾馆有 间标准房，当标准
房价格为 元时，每天都客满．市场调查表明单间房价在 ～ 元之间（含 元， 元）浮动时，
每提高 元，日均入住数减少 间．如果不考虑其他因素，为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准
房价格提高（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
2．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）某商店经营衬衫，已知所获利润 (元)与销售的单价 (元)之间
满足表达式 ，则所获利润最多为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【题型2】利用自变量的取值范围求最大利润
3．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之
间的关系满足 ，由于某种原因，销售单价只能为 ，那么一周可获得最大
利润是（ ）
A．1 558元 B．1 550元
C．1 508元 D．20元
4．（23-24九年级上·河北张家口·期中）某题市以每件10元的价格购进一种文具．经过市场调查发现，
该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）（ ）之间满足 ，则销售这种文
具每天可得（ ）A．最大利润150元 B．最大利润128元 C．最小利润150元 D．最小利润128
【题型3】利用最大利润求售价或定价
5．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．
根据销售统计，该件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降
价的钱数为（ ）
A．5元 B．10元 C．2元 D．6元
6．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）某公司销售一种成本为每件20元的LED护眼台灯．销售过程中发现，
若销售单价为x元，则月销售量为 件．为使每月获得最大利润，该台灯应定价为（ ）
A．30元 B．35元 C．40元 D．45元
【题型4】通过一次函数与二次函数综合求最大利润
7．（17-18九年级·全国·单元测试）某种商品的成本是 元，试销阶段每件商品的售价 （元）与产品
的销售量 （件）满足当 时， ，当x=150时， ，且 是 的一次函数，为了获得最大
利润 （元），每件产品的销售价应定为（ ）
A．160元 B．180元 C．140元 D．200元
8．（2024·江苏无锡·二模）某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万
件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如下表：
生产数量（万
生产成本（元/件） 销售价格（元/件）
件）
1 9 16
2 8 14
3 7 12
为获最大利润，生产数量应为（ ）
A．3万件 B．4万件 C．5万件 D．6万件
【题型5】利用二次函数与最大利润求自变量取值范围或参数值
9．（21-22九年级上·全国·单元测试）某种产品按质量分为 个档次，生产最低档次产品，每件获利润
元，每提高一个档次，每件产品利润增加 元，用同样工时，最低档次产品每天可生产 件，提高一个
档次将减少 件．如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第 档次（最低档次为第一档次，档次
依次随质量增加），那么 等于（ ）A． B． C． D．
10．（2020·河北沧州·二模）“星星书店”出售某种笔记本，若每个可获利 元，一天可售出 个．
当一天出售该种文具盒的总利润 最大时， 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
【题型1】直接求最大利润
11．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）某商场购进一批单价为每件15元的商品，如果以单价每件20元出售，
那么每天可销售21件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销量每天相应减少3件，那么
每天销售利润最大时，该商场销售一件该种商品所获利润为 元．
12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元
时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，
宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍
数）之间的函数解析式为 ，宾馆利润最大利润是 元．
【题型2】利用自变量的取值范围求最大利润
13．（2024·江苏苏州·二模）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为 和
，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为
．
14．（2023·吉林长春·模拟预测）小致创办了一个微店商铺，营销一款成本是20元/盏的小型 护眼台
灯．在“双十一”前8天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量 （盏）与时间 （天）之间满足一
次函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盛，护眼台灯的销售价格 （元/盏）与时间
（天）之间符合函数关系式 ，且 为整数）．这8天中最大日销售利润是 元．
【题型3】利用最大利润求售价或定价
15．（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品的销售利润与销售单价存在二次函数关系，且二次项系
数 ，当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，要使商品的销售利润最大，销售单价
应定为 元．
16．（23-24九年级上·江苏南通·期末）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元
时，房间会住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，宾馆需为有游客居住的房间每天支出20元费用，若想要获得最大利润，则房价应定为每个房间每天 元．
【题型4】通过一次函数与二次函数综合求最大利润
17．（19-20九年级上·贵州安顺·期末）某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，
每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）与每件的
销售价格x（元/件）之间满足一次函数.在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为
元时，才能使每月的毛利润w最大，每月的最大毛利润是为 元．
18．（2023·河北石家庄·一模）小亮创办了一个微店商铺，营销一款小型 护眼台灯，成本是20元/盏，
在“双十一”前20天进行了网上销售后发现，该台灯的日销售量 （盏）与时间 （天）之间满足一次
函数关系，且第1天销售了78盏，第2天销售了76盏，护眼台灯的销售价格 （元/盏）与时向 （天）
之间符合函数关系式 （ ，且 为整数）．
（1）日销售量 （盏）与时间 （天）之间的一次函数关系式为 ．
（2）这20天中最大日销售利润是 ．
【题型5】利用二次函数与最大利润求自变量取值范围或参数值
19．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品， 进价
40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用 元． 未来
30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天降1
元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳摊位
管理费用后的利润随天数 （ 为正整数）的增大而增大， 的取值范围应为 ．
20．（21-22九年级上·安徽淮北·阶段练习）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日
销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市
场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第 天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是
三、解答题
【题型1】直接求最大利润
21．（2024·云南·模拟预测）昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：
某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量 （支）与售价 （元）之间
存在一次函数关系（其中 ，且 为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支．
(1)求 与 之间的函数关系式：
(2)设该商店销售该创意雪糕每天获利 （元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利
润最大？最大利润是多少元？
22．（2024·甘肃天水·三模） 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可
售出 件，每件盈利 元 为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利
市场调研认为，若每件降价 元，则平均每天就可多售出2件．
(1)若活动期间平均每天的销售量为 件，求每件春装盈利是多少元？
(2)要想平均每天销售这款春装能盈利 元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？
(3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？
【题型2】利用自变量的取值范围求最大利润
23．（2024·湖北十堰·二模）宜昌某农副加工厂2023年年初投入80万元经销某种农副产品，由于物美价
廉，在惠农网商平台推广下，该产品火爆畅销全国各地．已知该产品的成本为20元/件，经市场调查发现，
该产品的销售单价定为25元到30元之间较为合理，该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之
间满足一种函数关系，售价x（元/件）与y（万件）的对应关系如表：
x … 20 26 28 31 35 …
y … 20 14 12 9 5 …
(1)求该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)2023年年底该工厂共盈利16万元，2024年国家惠农政策力度更大，生产技术也有所提高，使得该特
产的成本平均每件减少了1元．
①求2023年该特产的售价；
②该产品2024年售价定为多少时，工厂利润最大? 最大利润是多少?
24．（23-24九年级上·湖北宜昌·期末）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)若商场获得了10000元销售利润，且尽量减少库存，该玩具销售单价应定为多少元？
(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售
该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【题型3】利用最大利润求售价或定价
25．（23-24九年级下·广东茂名·期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，
销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销
售单价不得低于成本．
(1)求该商品每月的销售量 （件）与销售单价 （元）之间的函数关系式：（不需要求自变量取值范围）
(2)若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？
(3)为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
26．（22-23九年级上·河南三门峡·期中）“一人一盔安全守规，一人一带平安常在！”某商店销售一批
头盔，售价为每顶60元，每月可卖出300顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查
发现：每降价1元，每月要多卖出20件；已知头盔的进价为每顶40元，求每顶头盔的售价定为多少元时，
该商店每月可获得最大利润，最大利润是多少？
【题型4】通过一次函数与二次函数综合求最大利润
27．（2024九年级上·全国·专题练习）某商场以每件20元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价
不低于进价，又不高于36元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间符
合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商场销售这种商品要想每天获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？
(3)设商场销售这种商品每天获利w（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大
利润是多少？
28．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后
投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格
不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所
示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元 给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25
元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．【题型5】利用二次函数与最大利润求自变量取值范围或参数值
29．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出
200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的
售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
(3)若获得月利润不低于2000元，试确定销售单价x的取值范围？
30．（22-23九年级上·福建莆田·开学考试）某水果超市经销一种高档水果，售价为每千克50元．．若按
现售价销售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市
决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
(1)若超市规定每千克涨价不能超过7元，元，那么每千克应涨价多少元时，该超市每天盈利最多？
(2)为了迎接新学期，超市决定每卖出1千克捐赠a元 给贫困山区学生，设每千克涨价x元，若要保
证当 时，每天盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围．参考答案：
1．B
【分析】首先设宾馆可将标准房价格提高x个 元，以及客房的日营业收入为y，建立y与x的关系式，
并通过二次函数求解最大值．本题考查根据实际问题选择函数类型，通过实际问题，抽象出函数模型，
并通二次函数计算最大值，考查对知识的综合运用能力，属于中档题．
【详解】解：设设宾馆可将标准房价格提高x个 元，客房的日营业收入为y元，将有 间客房空出，
由题意可得：
当 ，即 时，y最大值为 ．
因此为使客房的日营业收入最大，宾馆可将标准房价格提高 元．
故选：B
2．B
【分析】二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，所以，当 时， 可以取
得最大值．
【详解】二次函数 的图象开口向下，对称轴为 ，
所以，当 时， 可以取得最大值，
即
．
所以，所获利润最多为 元．
故选：B．
【点睛】本题主要考查实际问题与二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当 时，y取最大值，即一周可
获得最大利润，即可求解．
【详解】解：∵ ，∴抛物线的开口向下，
∵对称轴为 ，
∴当 时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小，
∴当 时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查二次函数的应用，由题意得： ，即可求解，解题
的关键是熟练掌握销售问题中关于利润的相等关系及二次函数的性质．
【详解】解：设利润为w元，
由题意得： ，
则抛物线的对称轴为 ，
当 时，
抛物线的对称性 时，取得最大值为200，
当 时，w取得最小值为128，
即销售这种文具每天可得最小利润128元，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设每件需降价x元，则每件的利润为 元，每天的
销量为 件，列出每天获得的利润为y与x的二次函数关系式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设每件需降价x元，每天获得的利润为y，
则 ，
，
当 时，y取最大值，最大值为3600，
即要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，
故选A．
6．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据总利润 单件利润 数量列出函数关系式解答即可．【详解】解：设利润为 ，
由题意得： ，
化简得 ，
故当 时，每月获得最大利润．
故选B．
7．A
【分析】把x=130时，y=70，当x=150时，y=50，代入一函数解析式y=kx+b，进而得出y与x的关系式；
利用利润=销量×每件利润，进而利用配方法求出函数最值．
【详解】设y=kx+b,将(130,70),(150,50)代入得：
即 ，
解得： ，
∴y与x之间的一次函数关系式为：y=−x+200；
销售利润为S，由题意得：
S=(x−120)y=− +320x−24000=− +1600，
∴售价为160元/件时，获最大利润1600元.
故选A.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用配方法求出函数最值是解题关键.
8．B
【分析】本题考查二次函数的应用．根据生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数以及表格中的数
据，得到生产成本和销售价格的表达式，进而根据利润 每件产品的利润 生产数量，把相关数值代入可
生产利润得关于生产数量的二次函数，进而根据二次函数的性质可得生产数量为多少时，利润最大．
【详解】解：设生产数量为 万件，生产成本为 元 件，销售价格为 元 件．
生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，
设 ， ．
， 符合 ，，
解得： ．
．
， 符合 ，
．
解得： ．
．
设生产利润为 ，则
．
，
当 时，利润最大,
即为获最大利润，生产数量应为4万件．
故选：B．
9．C
【分析】第 档次产品比最低档次产品提高了 个档次，则数量在60的基础上减少了 ，每件
产品利润在8的基础上增加 ，据此可求出总利润关系，求出最值即可．
【详解】解：设总利润为y元，
∵第 档次产品比最低档次产品提高了 个档次，∴每天利润为 ，
∴当 时，产品利润最大，每天获利864元，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是本题的关键．
10．D
【分析】先根据题意得出总利润y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答．
【详解】∵出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出（8-x）个，
∴y=（8-x）x，即y=-x2+8x，
∴当 时，y取得最大值．
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题，能根据题意得出y与x的关系式是解答此题的关键．
11．6
【分析】本题考查了二次函数的应用．根据利润 数量 每件的利润建立 与 的关系式，由二次函数的
性质就可以求出结论．
【详解】解：设销售单价 元，商场每天获得的利润为 元，则
，
当 时， ，
∴当售价为21元时，每天获得的最大利润为108元．
∴该商场销售一件该种商品所获利润为6元，
故答案为：6．
12． 10240
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：由题意得：
，
，抛物线开口向下，
当 时， y 有最大值，为10240，答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为： ，10240．
13．170元
【分析】本题考查函数模型的构建，配方法求函数的最值，设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品
袋，根据利润函数表示出利润，再利用配方法求出函数的最值．
【详解】解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品 袋，
∴总利润 ，
∵ ， ，x为正整数，
∴当 或10时，y有最大值 ，
即能获得的最大利润为170元，
故答案为：170元．
14．448
【分析】设日销售量 （盏）与时间 （天）之间的函数关系式为 ，把 代入即可求
出；设日销售利润是w元，根据销售利润=售价-成本列出函数解析式， 再根据函数的性质求最值．
【详解】解：设日销售量 （盏）与时间 （天）之间的函数关系式为 ，
把 代入得： ，解得 ，
即日销售量 （盏）与时间 （天）之间的函数关系式为 ；
设日销售利润是w元，
由题意得： ，
∵ ，且 为整数，
∴当 时，w取得最大值，最大值为448，
∴在这8天中，最大日销售利润是448元，
故答案为：448．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生能否把实际问题转化成数学问题，即用所学的数学知识来解决实际问题．
15．180
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据商品单价为160
元和200元时，能获得同样多的利润，得出二次函数的对称轴为直线 ，即可得出当销售单价应定
为180元时，商品的销售利润最大．
【详解】解：∵当商品单价为160元和200元时，能获得同样多的利润，
∴二次函数的对称轴为直线 ，
∴二次函数顶点坐标的横坐标为180，
∴当销售单价应定为180元时，商品的销售利润最大．
故答案为：180．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，找准等量关系是解题的关键．根据题意列出二次函数，利用二
次函数的性质解题即可．
【详解】解：设房价定为 元，每天的利润为 元，
，
，
，
因为 ，
故当 时，获得最大利润．
故答案为： ．
17． 24 1920
【分析】本题首先通过待定系数法求解y与x的关系式，继而根据利润公式求解二次函数表达式，最后根
据二次函数性质求解本题．
【详解】由题意假设 ，将 ， 代入一次函数可得： ，
求解上述方程组得： ，则 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
又因为商品进价为16元，故 ．
销售利润 ，
整理上式可得：销售利润 ，
由二次函数性质可得：当 时，取最大值为1920．
故当销售单价为24时，每月最大毛利润为1920元．
【点睛】本题考查二次函数的利润问题，解题关键在于理清题意，按照题目要求，求解二次函数表达式，
最后根据二次函数性质求解此类型题目．
18． 450
【分析】（1）设函数关系式为： ，根据第1天销售了78盛，第2天销售了76盏，进行
求解即可；
（2）设日销售利润为 ，利用单件利润乘以销售数量等于总利润，列出二次函数关系式，最求值即可．
【详解】解：（1）设日销售量 （盏）与时间 （天）之间的一次函数关系式为 ，
由题意，得： ，解得： ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）设日销售利润为 ，
则：
；
， ，且 为整数，
当 时， 取得最大值，最大值是450；在这20天中，第10日销售利润最大，最大日销售利润是450元；
故答案为：450．
【点睛】本题考查二次函数的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用函数的性质，进行求解．
19．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，注意 为正整数所包含的意义，找出所求问
题需要的条件．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】解：设未来30天每天获得的利润为y，
化简，得
∵ ，当 时， 随着 的增大而增大，
∴
解得， ，
又∵ ，
即a的取值范围是： ．
20． 16 9＜x＜
【分析】（1）根据题意可得 ，即可求得 的值；
（2）根据y=-（x-h）+k，得出 ，然后根据当月中旬日销售额达到最大值得出 ，取解集即
可．
【详解】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则： ，
解得： ，
∴第 天的销售额最大，
故答案为： ；
（2）∵y=-（x-h）+k，
则 ， 随 增大而增大，， 随 增大而减小，且 为整数，
则 ，解得 ，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则 ，
综上： ．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
21．(1)
(2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．
【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可．
（2）利用每天的利润 每支雪糕的利润 每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次
函数的性质即可得出结果．
【详解】（1）解：售量 （支）与售价 （元）之间存在一次函数关系为 ：
将 ， 代入可得：
解得： ，
故y与x之间的函数关系式为 ．
（2）根据题意有：
∵ ，且x为整数，
∴当 时，w有最大值，最大值为605，
答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元．22．(1) 元
(2) 元
(3)最大值 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，
（1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得；
（2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利 元，平均每天可售出 件，
根据题意得： ，进行计算即可得；
（3）设每件新款春装应降价 元，每天销售这款春装盈利 元，根据题意得，
，利用二次函数的性质即可得；
理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得： （元）．
（2）解：设每件新款春装应降价 元，则每件盈利 元，平均每天可售出 件，
根据题意得： ，
整理得： ，
，
解得： ， ，
∵要尽量减少库存，
．
（3）解：设每件新款春装应降价 元，每天销售这款春装盈利 元，根据题意得，
即最大值 元，
答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是 元．
23．(1)每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为 ；
(2)①2023年该特产的售价为28元；②该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，学会
构建方程或函数解决问题是关键．
（1）用待定系数法求出一次函数关系式即可；
（2）①由题意列出一元二次方程 ，并求解即可；②设2024年售价定为 元，
工厂利润为 元，根据题意列出二次函数 ，并求解即可．
【详解】（1）设该产品每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为 ，
由题意得：
，解得 ，
每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间的函数关系式为 ，
（2）①由题意得： ，
解得： ，
销售单价定为25元到30元之间，
，
2023年该特产的售价为28元；
②设2024年售价定为 元，工厂利润为 元，根据题意得：
，
且 ，
当 或30时， 的值最大，最大值为 （万元），
该产品2024年售价定为29或30元时，工厂利润最大，最大利润是108万元．
24．(1)50元(2)8640元
【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程及不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并
熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）设该玩具销售单价应定为x元（ ），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，由题意得w关
于x的二次函数，根据商场获得了10000元销售利润，可得关于的一元二次方程，求得方程的解并根据问
题的实际意义作出取舍即可．
（2）由玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，可得关于
x的一元一次不等式组，解得x的取值范围；再将（1）中所得的二次函数写成顶点式，按照二次函数的
性质可得符合题意的x值，进而得出最大利润．
【详解】（1）解：设该玩具销售单价应定为x元（ ），商场销售该品牌玩具获得的利润为w元，
由题意得：
，
若商场获得了10000元销售利润，则 ，
整理得： ，
解得： ，
尽量减少库存，
该玩具销售单价应定为50元；
（2）由题意得： ，
解得： ，
，
，对称轴为直线 ，
时，w随x的增大而增大，
当 时， （元）．
商场销售该品牌玩具获得的最大利润是8640元．25．(1)
(2)销售单价应定为70元
(3)80元
【分析】本题二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
（1）根据销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，列出函数关系式即可；
（2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出一元二次方程进行求解即可；
（3）设总利润为 ，根据总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即
可．
【详解】（1）解：由题意，得： ；
（2）由题意，得：
解得： 或 ；
∵使顾客获得更多的实惠，
∴ ；
答：销售单价应定为70元．
（3）设总利润为 ，由题意，得： ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值为 元；
答：为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
26．每顶头盔的售价定为57.5元时，利润最大，最大利润为6125元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．设每顶头盔降价 元，利润为y元，则每月多卖出 顶，
实际卖出 顶，月销售额为 元，买进商品需付 元，根据题意，
列出y关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：设每顶头盔降价 元，利润为y元，则每月多卖出 顶，实际卖出 顶，月销售
额为 元，买进商品需付 元，根据题意得：，
当 时， 最大，
即售价57.5元时，利润最大，最大利润为6125元．
答：每顶头盔的售价定为57.5元时，利润最大，最大利润为6125元．
27．(1)
(2)每件商品的销售价应定为30元
(3)售价定38元/件时，每天最大利润为768元
【分析】本题主要考查一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析
式，理解题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
（1）设y与x之间的函数关系式为 ，利用待定系数法即可求解；
（2）根据等量关系得 ，解方程即可求解；
（3）根据题意得 ，进而可得抛物线的对称轴为 ，且开口向下，则当 时，
y随x的增大而增大，当 时，w有最大值，代入函数即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，
由所给函数图象可知： ，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：根据题意得： ，
整理，得： ，
解得： 或 （舍去），答：每件商品的销售价应定为30元；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴抛物线的对称轴为 ，且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为 ，
∴售价定38元/件时，每天最大利润为768元．
28．(1)
(2) 万元
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得 ；
（2）由年利润 总售价 总成本 研发费用可得 ，根据二次函数性质可得
答案；
（3）依题意，记扣除捐赠后的利润为 ，则 ，则 ，开口向
下，对称轴 ，结合题意，列式 ，即可作答．
本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：设 （万件）与销售价格 （元 件）之间的函数关系式是 ，将 ，
代入得：
，
解得 ，；
（2）解：根据题意得： ，
，
时， 取最大值，最大值为 ，
答： ，第一年年利润的最大值时 万元；
（3）解：由（2）得出
依题意，记扣除捐赠后的利润为
则
∴ ，开口向下，对称轴
∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元 给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25
元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，
∴
∴
29．(1) （ 且x为正整数）
(2)65元，最大月利润为2250元
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与不等式的实际应用，依据题意建立等式是解题关
键．
（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为： 元，每月的销售量
为 ，根据利润 （售价 进价） 销售量，即可解答；
（2）由（1）知函数关系式，利用二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为： 元，总销量为： 件，
商品利润为：
，
．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴ 且x为正整数；
（2）解： ，
，
当 时，最大月利润2250元．
这时售价为 （元）．
（3）解：当 时，即
解得： ，
，
当 时，
则 ．
30．(1)每千克应涨价7元
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）设每千克应涨价m多少元，盈利为w元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即
可求解；
（2）设捐赠a元 给贫困山区学生后，设每千克涨价x元，每天盈利为S元，根据题意，列出函数
关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设每千克应涨价m多少元，盈利为w元，根据题意得：
，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，∵ ，
∴当 时，w取得最大值，
答：每千克应涨价7元时，该超市每天盈利最多．
（2）解：设捐赠a元 给贫困山区学生后，设每千克涨价x元，每天盈利为S元，根据题意得：
，
∵当 时，每天盈利随着x的增加而增大，且 ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴a的取值范围为 ．
