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第 04 讲 数列的通项公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，满足 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列 的前n项和是 ，则 （ ）
A．9 B．16 C．31 D．33
3．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1， ， ， ，3， ，…， ，…，则7是这
个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，
， （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形
状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，若满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和，， ，若 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
8．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列 中， ，则 的前 项
和 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
9．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则下列
正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图
所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二
层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且
满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的前n项和为
B．数列 的通项公式为
C．数列 不是递增数列
D．数列 为递增数列
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等
差数列的为（ ）
A．当 时， B．当 时，C．当 时， D．当 时，
13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ”
是“ ”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中的一种）
14．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为 ．
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列 满足 ，则数列 的通
项公式为 .
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 的前n项和 满足 ，则 ．
17．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若数列 的前 项的和为 ，且
，
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值.
18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列 中，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .20．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列 对任意的 ， ，则称 为
“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列 为“速增数列”，且任意项 ， ， ， ，求正整数 的最大值.
21．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求出数列 的前 项和 ．
22．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 .
(1)若 ， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，数列 的前n项和为 ，求证
1．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；
（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
3．（2023•全国）已知 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
4．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
5．（2022•天津）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；（2）设 的前 项和为 ，求证： ；
6．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
7．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
9．（2021•乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．10．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围．
11．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
