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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(48)
(椭圆方程与几何性质)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知椭圆 的一个焦点为 ，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 椭圆 的一个焦点为 ， ， ， ，
椭圆方程为 ．
故选:C
2.（2022·日照模拟）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若曲线 表示椭圆，则 ，
故“ ”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．
故选:C
3.（2022·秦皇岛二模）椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上一点，若
的周长为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 .
因为 的周长为 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆 的离心率为 ，
故选:B
4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ､ ，过 且斜率为 的直线
与椭圆交于 ， 两点，若 为钝角，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线方程为 ，
联立方程组 得 ，
则 .
因为 为钝角，所以 .
因为
，所以 .
因为当 时， 三点共线，不符合题意，所以 .
故选:D
5.（2022·江阴模拟）设 是椭圆 的左，右焦点，过 的直接l交椭圆于A，B两点，则 的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】A
【解析】由椭圆的定义，知 ， ，
所以 的周长为 ，
所以当 最小时， 最大.又当 时， 最小，此时 ，所以
的最大值为 .
故选:A
6.（2023·江苏·高三淮阴中学、姜堰中学等三校12月联考）设 ， 分别是椭圆
的左、右焦点，过 作 轴的垂线与椭圆 交于 ， 两点，若 为钝
角三角形，则离心率 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 作 轴的垂线与椭圆 交于 两
点，
可得 ，即 ，
因为 为钝角三角形，则 ，可得 ，即 ，即 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
即 ，且 ，解得 ，
即椭圆 的离心率的取值范围为 .
故选：A.
7.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学第四次月考）已知椭圆 ： 的右焦点为，过点 的直线交椭圆 于 两点，若 的中点坐标为 ，则椭圆 的方程为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意设 ，代入椭圆方程可得 ；
两式相减可得 ，整理可得 ；
又因为 的中点坐标为 ，可得 ；
因此过 两点的直线斜率为 ，
又 和 的中点 在直线上，所以 ，
即 ，可得 ；
又易知 ，且 ，计算可得 ；
所以椭圆 的方程为 ，代入 的中点坐标为 ，得 ，则其在椭圆
内部，则此时直线 与椭圆相交两点.
故选：A
8.（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知交于点 的直线 ， 相互垂直，且均与椭圆
相切，若 为 的上顶点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当椭圆的切线斜率存在时，设 ，且过 与椭圆相切的直线方程为： ，联立直线与椭圆方程 ，
消去 可得，
所以 ，
即 ，
设 为方程的两个根，由两切线相互垂直，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
当椭圆的切线斜率不存在时，此时， ，也满足上式，
所以 ，其轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
又因为A为椭圆上顶点，所以 ，
当点 位于圆的上顶点时， ，
当点 位于圆的下顶点时， ，
所以 ，
故选:D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， 两点都在 上，且 ， 关于坐标原点对
称，下列说法错误的是（ ）
A． 的最大值为
B． 为定值
C． 的焦距是短轴长的2倍
D．存在点 ，使得
【答案】C
【解析】由题意， ， ， ，所以 ， ， ，
而 ， ，所以A正确，C错误；由椭圆的对称性知， ，所以B正确；
当 在 轴上时， ，则 为锐角，
所以存在点 ，使得 ，所以D正确.
故选：C
10.（2023·江苏·统考二模）在平面直角坐标系 中，已知直线 ： ，椭圆 ：
，则下列说法正确的有（ ）
A． 恒过点
B．若 恒过 的焦点，则
C．对任意实数 ， 与 总有两个互异公共点，则
D．若 ，则一定存在实数 ，使得 与 有且只有一个公共点
【答案】ACD
【解析】方程 可化为 ，
所以直线 恒过点 ，A正确；
设椭圆的半焦距为 ，则点 的坐标可能为 或 ，
若直线恒过点 ，则 ，故 ，矛盾，
直线恒过点 ，则 ，故 ，所以 ，B错误；
联立 ，消 可得，，
由对任意实数 ， 与 总有两个互异公共点，
可得方程 有 个不相等的实数解，
所以 ，
所以 ，
所以 ，C正确；
因为 ，
所以 时，则 ，即 时，
可得 ，此时方程组有且只有一组解，
故 与 有且只有一个公共点，D正确.
故选：ACD.
11.（2023·广东佛山·2024届高三上学期教育教学质量检测）伟大的古希腊哲学家､百科式科学家阿基米
德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的 倍，这种方法已具有积分计
算的雏形.已知椭圆 的面积为 ，离心率为 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的动
点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆 的标准方程可以为
B. 若 ，则
C. 存在点 ，使得
D. 的最小值为
【答案】AD【解析】对于A：由 ，解得 ，则椭圆 的标准方程为 ，故A
正确；
对于B：由定义可知 ，由余弦定理可得
，解得 ，
则 ，故B错误；
对于C：当点 为短轴的一个端点时， 最大，
此时 ， 为锐角，
则不存在点 ，使得 ，故C错误；
对于D：
，当且仅当 ，
即 时，等号成立，故D正确；
故选：AD
12.椭圆 : 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，点 在以 为圆心， 的
长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆 的离心率为
B. 的最大值为
C. 过点 的直线与椭圆 只有一个公共点，此时直线方程为D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】对于选项 ，由椭圆 的方程知 ，
所以离心率 ，故选项 不正确；
对于选项B， 由椭圆的定义可得 ，
所以 ，
即当且仅当 时， 的最大值为 ，故选项B正确；
对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为 ，满足条件，故选项C错误；
对于选项D， 圆 ： ，
所以 ，
故选项D正确；
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为______．
【答案】
【解析】由椭圆知， ，所以 ，
所以右焦点坐标为 ，则直线 的方程为 ，
设 ，
联立 ，消y得， ，
则 ，
所以 .
即弦AB长为 .故答案为：
14.（2023·重庆·拔尖强基联盟2024届高三12月月考）设椭圆 的两个焦点是 ，过点 的直线
与椭圆 交于点 ，若 ，且 ，则椭圆 的离心率是______．
【答案】
【解析】不妨设椭圆方程为 ，
则 ， ，
由于 ,所以由余弦定理可得
，
化简得 ，
由于 ，所以 ，故
故答案为：
15.（2023·河北·高三部分学校12月大联考）已知椭圆 的左焦点为F，离心率为
，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且 ，则直线l的斜率为_________________.【答案】 或
【解析】设 ， ，因为 ，
又A，F，B三点共线，所以 ，
所以 ，所以 ， .
又 ， 在椭圆上，
所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，
当 时，直线l的斜率 ；
当 时，直线l的斜率 ，所以直线l的斜率为 或 .
故答案为： 或
16.（2023·陕西商洛·统考二模）已知椭圆 ， ， ，斜率为 的直线
与C交于P，Q两点，若直线 与 的斜率之积为 ，且 为钝角，则k的取值范围为 ．
【答案】【解析】设 ， ， ，
联立方程组 ，消去y得 ，
由 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，解得 （舍去）或 ．
由 为钝角，得 ，即 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ．
故答案为： ．
