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专题07 椭圆中的向量问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．点 为椭圆 的右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），若 （
是坐标原点），则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，上顶点为A，直线 与椭圆E的另一
个交点为B，若 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交椭圆于A，B两点，
，且 ，椭圆 的离心率为 ，则实数 （ ）
A． B．2 C． D．3
4．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点 满足 ，则 的最大
值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 ： 的左､右焦点分别为 ､ ，点 与椭圆 的焦点不重合，分别延长 ､
到 ､ .使 ， . 是椭圆 上一点，延长 到 ，使得 ，则（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
6．已知椭圆 为椭圆的左．右焦点， 是椭圆上任一点，若 的取值范
围为 ，则椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其一个公共点，且 ， ，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆 内有一点 ，过 的两条直线 、 分别与椭圆 交于 、 和
、 两点，且满足 ， （其中 且 ），若 变化时直线 的斜率总为 ，
则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知椭圆 的左、右两个焦点分别是 ， ，过点 且斜率为 的直线 与椭圆
交于 ， 两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当 时， 的周长为
B．若 的中点为 ，则 （ 为坐标原点， 与 不重合）
C．若 ，则椭圆的离心率的取值范围是D．若 的最小值为 ，则椭圆的离心率
10．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上不同于左右顶点的任意一点，则下
列说法正确的是（ ）
A． 的周长为8 B． 面积的最大值为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
11．一般地，若 ， （ ，且 ），则称 ， ， ， 四点构成调和点列.已知
椭圆 ： ，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点.动点 满足 ， ， ， 四点构
成调和点列，则下列结论正确的是（ ）
A． ， ， ， 四点共线 B．
C．动点 的轨迹方程为 D． 既有最小值又有最大值
12．已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 ，则下列结论正
确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点 ，则
B．若 ，则直线AB方程为
C．若 ，则直线AB方程为
D．若动点 满足 ，则点 的轨迹方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知椭圆 的焦点为 ，点 在椭圆上且 ，则点 到 轴的距离为
.14．已知过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足
，则 的最小值为 ．
15．已知椭圆 的两个焦点为 和 ，直线l过点 ，点 关于l的对称点A在C
上，且 ，则C的方程为 ．
16．已知椭圆 ，在椭圆 上存在两点 ， ，点 在直线 上，点 ，满
足 ， ，则 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 ， ， 分别是椭圆 的左、右、上顶点，
是 的左焦点，坐标原点 到直线 的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 交椭圆 于 ， 两点，求 的取值范围.
18．己知椭圆 的上、下顶点分别为 ，已知点 在直线 ： 上，且椭圆的离心
率 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设 是椭圆上异于 的任意一点， 轴， 为垂足， 为线段 的中点，直线 交直线 于
点 ， 为线段 的中点，求 的值．19．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的右顶点为A，上顶点为B， 的面
积为 ，离心率 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若斜率为k的直线 与圆 相切，且l与椭圆C相交于 两点，若弦长 的取值范围为
，求 的取值范围．
20．已知椭圆C： 的离心率 ，点 ， 为椭圆C的左、右焦点且经过点
的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 分别作两条互相垂直的直线 ， ，且 与椭圆交于不同两点A，B， 与直线 交于点P，若
，且点Q满足 ，求 的最小值．
21．在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，动点P满足： .
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足
，求原点O到直线l距离的最大值.22．已知椭圆 ： 的右焦点为 ，且点 在椭圆上．斜率为 的直线
交椭圆 于 ， 两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为坐标原点，当直线 的纵截距不为零时，试问是否存在实数 ，使得 为定值？若
存在，求出此时 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
