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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(45)
(与球有关的问题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称
轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥，若某直角圆锥内接于一球（圆锥的顶点和底面上各点均在该
球面上），求此圆锥侧面积和球表面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直角圆锥底面半径为 ，则其侧棱为 ，
所以顶点到底面圆圆心的距离为： ，
所以底面圆的圆心即为外接球的球心，所以外接球半径为 ，
所以 .
故选：A.
2.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的
表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，
由已知 ，可知 ，所以圆锥的轴截面为正三角形，
因为 ，所以圆锥底面圆半径 ，母线 ，
则圆锥的表面积为 ．
故选：C．3.（2022·南宁市第三中学高三模拟）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由三棱柱所有棱的长 ，可知底面为正三角形，
底面三角形的外接圆直径 ，所以 ，
设外接球的半径为 ，则有 ，
所以该球的表面积 ，
故选：D.
4.（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥 的外接球半径为2，且球心
为线段 的中点，则三棱锥 的体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先画出图形，由球心到各点距离相等可得， ，故 是直角三角形，设
，则有 ，又 ，所以 ，当且仅当
时， 取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高 ，此时
，
故选：C。
5.（2022·山东济南外国语学校高三模拟）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆
柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，关于圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比说
法正确的是（ ）
A．体积之比 B．体积之比 C．表面积之比 D．表面积之比
【答案】D
【解析】设球的半径为 ，
则圆柱的底面半径为 ，高为 ，
， ．
；
， ．
．
故选：D
6.（2023秋·湖南·高三九校联盟联考）省将一个棱长为4的正四面体同一侧面上的各棱中点两两连接，得
到一多面体，则这个多面体的内切球体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知该几何体为正八面体，且正八面体的棱为原正四面体每个侧面三角形的中位线，
故正八面体由棱长为2的两个正四棱锥构成，正四棱锥的底面是边长为2的正方形，
设正八面体内切球半径R，给正八面体标出字母如图所示，连接AC和BD交于点O，因为 ， ，所以 ， ，
又AC和BD交于点O， 平面ABCD，所以 平面ABCD，
所以O为正八面体的中心，所以O到八个面的距离相等，距离即为内切球半径，
设内切球与平面EBC切于点H，所以 平面EBC，
所以OH即为正八面体内切球半径，所以 ，
因为正八面体的棱长为2，所以 ， ， ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
所以正八面体内切球的体积为 .
故选：D.
7.（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，则 ， ,
所以 ， 所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
8.（2023秋·重庆·高三拔尖强基联盟12月联考）点 为正四面体 的内切球球面上的两个动
点， 为棱 上的一动点，则当 取最大值时， （ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】设该正四面体的棱长为 ，
设该正四面体的内切球的球心为 ，顶点 在底面的射影为 ，
显然 在线段 上，显然该正四面体内切球的半径为 ，
如图所示：由正弦定理可知： ，
由勾股定理可知： ，
由三棱锥体积的等积性可得：
，
，
由球的性质可知：当 与圆相切时， 最大，
如图所示： ，
由圆的切线长定理可知： ，
在直角三角形 中， ，
最大时， 最小，因为 ，
所以此时 为 的中点，即有 ，
正四面体的内切球的球心为 ，显然 也是该正四面体的外接球的球心，
所以 ，
因此 ，，
于是有 ，
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023 秋·重庆·高三拔尖强基联盟 12 月联考）如图，在正四棱柱 中，
，O为此正四棱柱的外接球球心，下列说法正确的是（ ）
A. B. 球 的表面积为
C. 点 到 的距离为 D. 四棱锥 的表面积为
【答案】ACD
【解析】由于四棱柱 为正四棱柱，所以底面 为正方形，故 平面 ，
因此 平面 , 平面 ,所以 ，A正确，
由正四棱柱的性质可得其外接球的球心为 的中点， 为外接球一条直径，
因为 ，
所以正四棱柱 的外接球的半径为 ，
其表面积为 ，B错误，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
在 中，由于 , 为 的中点，
所以点 到 的距离为 ,故C正确，
由于 为 的中点，所以四棱锥 为正四棱锥，且侧棱长为 ，
因此侧面上的高为 ,则侧面积为 ,
的
底面积为4，故四棱锥 表面积为 ，D正确，
故选：ACD10.（2022·湖南·长沙一中模拟预测）（多选）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内
有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等 “圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一
个圆柱容球， 为圆柱上下底面的圆心， 为球心，EF为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，
则（ ）
A．球与圆柱的表面积之比为
B．平面DEF截得球的截面面积最小值为
C．四面体CDEF的体积的取值范围为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】由球的半径为 ，可知圆柱的底面半径为 ，圆柱的高为 ，则球表面积
为 ，圆柱的表面积 ，
所以球与圆柱的表面积之比为 ，故A错误；
过 作 于 ，则由题可得 ，设 到平面DEF的距离为 ，平面DEF截得球的截面圆的半径为 ，
则 ， ，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为 ，故B正确；
由题可知四面体CDEF的体积等于 ，点 到平面 的距离 ，
又 ，所以 ，故C正确；
由题可知点 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设 在底面的射影为 ，
则 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
所以 ，故D正确.
故选：BCD.
11.（2023秋·江苏盐城·高三实验高级中学月考）如图，在正方体 中， ，点E、
F分别为 的中点，点 满足 ，则下列说法正确的是（
）A. 若 ，则四面体 的体积为定值
B. 若 ，则 平面
C. 若 ，则四面体 的外接球的表面积为
D. 平面 截正方体 所得截面的周长为
【答案】BCD
【解析】对于D，如图1，取 的中点 ，连接 ，易得 ，
取 的中点 ，连接 ，易得 ，
再取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，
则 是平面 与正方体底面 的交线，
延长 ，与 的延长线交于 ，连接 ，交 于 ，则 ，
且五边形 即平面 交正方体 的截面，
由 是 中点且 得 ，
又由 得 ，从而可计算得 ，
所以平面 截正方体 所得的截面的周长为 ，故D正确；
对于A，因为 ，
所以 三点共线，所以点 在 上，
因为 与平面 不平行，所以四面体 的体积不为定值，A错误；
对于B，如图2，以A为原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
则 ， ， ，
则 ，
，
则 ， ，
故 是平面 的一个法向量，所以 平面 ，故B正确；
对于C，若 ，则点 即点 ，
由正方体的性质可知几何体 是侧棱 垂直于底面 的三棱锥，
而底面 是直角三角形，易得 ，所以 外接圆的半径为 ，
设其外接球的半径为 ，则 ，
所以四面体 ，即三棱锥 的外接球的表面积为 ，故C正确.
故选：BCD．
12.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）如图，在多面体 中，底面 是边长为 的正
方形， 平面 ，动点 在线段 上，则下列说法正确的是（
）
A.
B. 存在点 ，使得 平面
C. 当动点 与点 重合时，直线 与平面 所成角的余弦值为
D. 三棱锥 的外接球被平面 所截取的截面面积是
【答案】ABC
【解析】令 ，连接 ，令 中点为 ，连接 ，如图所示：由底面 是正方形可得： 是 的中点，且 ；
由 平面 ， 平面 ， 平面 可得：
平面 平面 ， ；
由 ， 可得：四边形 为矩形.
对于选项 ：由 ，平面 平面 ，平面 平面 ， 平面
，可得 平面 .
又 平面 ，所以 ，故 正确；
对于选项 ：因为在矩形 中， ，所以四边形 是平行四边形，则直线
.
因为 平面 平面 ，则 平面 .故当 是线段 中点 时，直线
平面 ，故 正确；
对于选项 ：因为 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
所以 在平面 内射影在直线 上，直线 与平面 所成角为 .
在 中， ，故C正确；
对于选项D：因为在 中， ， ，
则 .
由正弦定理得： 的外接圆直径 ，
则半径 ，圆面积为 .
因为三棱锥 的外接球的球心在过点 且与平面 垂直的直线上，四边形 为矩形，所
以点F在三棱锥 的外接球上.
所以三棱锥 的外接球被平面 所截取的截面是 的外接圆，因此三棱锥 的外接球被平面 所截取的截面面积是 ，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.棱锥 的所有顶点都在球 的球面上.棱锥 的各棱长为： ，
，则球 的表面积为__________．
【答案】
【解析】由题意知： ， ， ，
∴ 两两垂直，即 为直三棱锥，
∴若 的外接圆半径为 ，则 ，又 面 ，
∴外接球心 到 的距离为 ，故外接球半径 ，
∴外接球表面积 .
故答案为： .
14.已知三棱锥 ，若 ， ， 两两垂直，且 ， ，则三棱锥
的内切球半径为 ．
【答案】
【详解】试题分析：由题意，设三棱锥 的内切球的半径为 ，球心为 ，则由等体积
可得
，∴ ．
故答案为：
15.（2023秋·辽宁·高三名校12月联考）如图，在直三棱柱 中， ， ，
， 为线段 上的一点，且二面角 的正切值为3，则三棱锥 的
外接球的体积为__________.【答案】
【解析】
如图，作 ，交 于 ，则 ，
过 作 交 于点 ，连接 .
因为 为直三棱柱，则 平面 ，且 ，
则 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，所以 ， .
可把三棱锥 补成棱长为 ， ， 的长方体，
则三棱锥 的外接球的半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的体积为 .故答案为：
16.（2023秋·江苏启东·高三期中统测）在平面四边形 中，
，将四边形沿 折起，使 ，则四面体 的
外接球 的表面积为____________；若点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所
得的截面中面积最小的圆的半径为____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】如图所示：
因为 ，
所以 ，
且 ，点 为 外接圆的圆心，
所以四面体 的外接球的球心 一定在过点 且垂直面 的直线上，
如图不妨设 面 ， 面 ，四面体 的外接球的半径
， ，
则由对称性可知点 也在直线 上且 ， ，
由题意 ， ， ，
在 中，有 ，即 ，
在 中，有 ，即 ，联立以上两式解得 ，
所以 ，
从而四面体 的外接球 的表面积为 ；
如图所示：
由题意将上述第一空中的点 用现在的点 来代替，而现在的点 为线段 的靠近点 的三等分点，
此时过点 作球 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，
设球心到截面的距离为 ，截面半径为 ，则 ，
所以只需球心到截面的距离为 最大即可，
而当且仅当 与截面垂直时，球心到截面的距离为 最大，即 ，
由以上分析可知此时 ，
，
所以 .
故答案为： ； .
