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2024 届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(11)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，解得 ，所以 ，
而 ，所以 ，
所以 .
故选：A
2．已知复数 ， 为z的共轭复数，则 在复平面表示的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】 ，
， ，
所以 ，对应的点为 ，在第四象限.
故选：D
3．已知非零向量 ， ， 满足 ， ，若 为 在 上的投影向量，则向量 ， 夹角
的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由 ， 为 在 上的投影向量，
所以 ，故
故选：B4．一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事
件 ，“第二次取得白球”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ， ，
．
故选：A.
5．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意 ，
所以 ， ，解得 .
故选：B.
6．为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科
研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放废水
中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 ，第
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，
为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染
物数量不超过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次
数最少要（ ）（参考数据： ）
A. 15次 B. 16次 C. 17次 D. 18次
【答案】B
【解析】由题意知 ，
当 时， ，故 ， ，
故 ，
由 得 ，即 ，则 ，而 ，故 ，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，
故选：B
7．在平面直角坐标系中， 为坐标原点， ， ，点 满足 ，则 的
最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设点 ，
由 ，得 ，
解得 ，
即点 轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，
可设 ， 为任意角，
则 ， ，
所以
，
所以当 时，
最大，且为 .
故选：A
8．设 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】 ，
设 ， ，则 ，
则 在 上单调递增，则 ，则 在 上恒成立，则
，即 ，
设 ， ，则 在 上恒成立，
则 ，则 在上恒成立，
令 ，则 ，则 ，
设 ， 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，则 ，即 ，故 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四个表述中，正确的是（ ）
A. 设有一个回归直线方程 ，变量 增加1个单位时， 平均增加5个单位
B. 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高
C. 在一个 列联表中，根据表中数据计算得到 的观测值 ，若 的值越大，则认为两个变量间
有关的把握就越大
D. 具有相关关系的两个变量 的相关系数为 ，那么 越接近于0，则 之间的线性相关程度越
高
【答案】BC
【解析】A选项，因为 ＝3－5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；
B选项，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B
正确；
C选项，观测值 越大则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；
D选项， 越接近于1，则 之间的线性相关程度越高，故D错误.
故选：BC.
10．先将函数 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，再把图象向右平移
个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数 的图象，则关于函数
，下列说法正确的是（ ）A. 最小正周期为 B. 在 上单调递增
C. 时 D. 其图象关于点 对称
【答案】ABD
【解析】将 图象上所有点的横坐标缩小到原来的 ，纵坐标不变，得到 ，
再把图象向右平移 个单位长度，得到 ，
最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到 .
对于A， ，故A正确；
对于B， 在 单调递增，
当 时， ，
在 上单调递增，故B正确；
对于C，当 时， ， ，
，故C错误；
对于D，当 时，函数 满足 ，
函数 关于点 对称，
关于点 对称，故D正确.
故选：ABD.
11．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点，要先走完总路程
的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限
个“剩下路程的三分之一”要走，这个人永远走不到终点，由于古代人们对无限认识的局限性，故芝
诺得到了错误的结论.设 ，这个人走的第n段距离为 ，这个人走的前n段距离总和为 ，
则下列结论正确的有（ ）
A. ，使得 B. ，使得C. ，使得 D. ，使得
【答案】BC
【解析】由已知得， ，
不难得到， ， ，所以A错误.
走n段距离后，由 得 ，两式相减化简得 ，当
时， 也符合，所以B正确.
由 可知 是公比为 ，首项为 的等比数列，
，所以C正确，D错误.
故选：BC
12．已知函数 的图象关于直线 对称，且对 ，有 ．当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 12是 的周期 B. 为偶函数
C. D. 在 上单调递减
【答案】ABC
【解析】函数 的图象由 向右平移1个单位得到，且其对称轴为 ，
所以函数 的对称轴为 ，即 或 ；
又 ，所以函数图象关于点 对称.
所以
，
所以函数 为周期函数，且周期为12，故A正确；
因为 ，故函数图象关于 对称，把函数图象向左平移3个单位，得函数
，图象关于 轴对称，所以 为偶函数，故B正确；
，故C正确；
又 ， ， ，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某电池厂有A，B两条生产线，现从A生产线中取出产品8件，测得它们的可充电次数的平均值为210，方差为4；从B生产线中取出产品12件，测得它们的可充电次数的平均值为200，方差为4．则
20件产品组成的总样本的方差为____________．
（参考公式：已知总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取 的样本量、样本平均数和样本方差分
别为： ， ， ； ， ， ．记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
； ）
【答案】28
【解析】总体的平均数 ，
则其方差 ．
故答案为：28．
14.已知函数 的图象过点 ，若 在 内有4个零点，则a的
取值范围为__________．
【答案】
【解析】由题意知，函数 的图象过点 ，所以 ，解得
，
因为 ，所以 ，所以 ，
当 时，可得 ，
因为 在 内有4个零点，结合正弦函数的性质可得 ，
所以 ，即实数a的取值范围是 ．
故答案为： ．
15.设双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点分别为 和 ，以 的实轴为直径的圆
记为 ，过点 作 的切线 ， 与 的两支分别交于 ， 两点，且 ，则 的离心
率的值为______.
【答案】
【解析】设直线l与圆C的切点为 ，则 ， ，由 ，得 ，
过点 作 于点Q，则 ，
由O为 的中点，得 ，
因为 为锐角，所以 ，
有 ，得 ，
所以 ，由双曲线的定义知，
，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为： .
16．在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝3 ，BC＝CD＝3，BC⊥CD，将△ABD沿BD折起，使点A到达
A′，且 ，则四面体A′BCD的外接球O的体积为______；若点E在线段BD上，且BD＝
4BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆中面积最小的圆半径为______.
【答案】①. π ②.
【解析】由题意知， ， ， ，由勾股定理可知，
， ，所以 ， ，
取 的中点O，所以 ，所以四面体A′BCD的外接球O在斜边 的中点
处，四面体A′BCD的外接球O的半径 ，
外接球O的体积 .根据题意可知，将四面体A′BCD可放在棱长为3的正方体内，如图所示，
过点E作球O的截面，若要所得的截面圆中面积最小，只需截面圆半径最小，设球O到截面的距离d,
只需球心到截面的距离d最大即可，而当且仅当OE与截面垂直时，球心到截面的距离d最大，即
，取BD的中点F， ，所以
,
所以截面圆的半径为 .
故答案为：① π，② .
