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专题08 二次函数及指、对、幂数函数的问题的探究
1、【2022年全国甲卷】已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
【答案】A
【解析】由9m=10可得m=log 10=
lg10
>1，而lg9lg11<
(lg9+lg11) 2
=
(lg99) 2
<1=(lg10) 2 ，所以
9 lg9 2 2
lg10 lg11
> ，即m>lg11，所以a=10m−11>10lg11−11=0．
lg9 lg10
又lg8lg10<
(lg8+lg10) 2
=
(lg80) 2
<(lg9) 2 ，所以
lg9
>
lg10
，即log 9>m，
2 2 lg8 lg9 8
所以b=8m−9<8log
8
9−9=0．综上，a>0>b．
故选：A.
2、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题） 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表
测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（
）
A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
3、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题） 设 ， ， ．则（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当00时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b0 ln|x−y|<0
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数， ，
， ， ，则A正确，B错误； 与 的大小不确定，故CD无法确定，故选A．
8、（2020全国Ⅲ文理4）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数
据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 （ 的单位：天）的Logisic模型： ，
其中 为最大确诊病例数．当 时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（ ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，∴ ，则 ，
∴ ，解得 ，故选C．
9、（2020全国Ⅲ文10）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，
所以 ，故选：A．
10、（2020全国Ⅲ理12）已知 ．设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：由题意可知 、 、 ，， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ．
综上所述， ．故选A．
解法二：易知 ，由 ，知
．∵ ， ，∴ ， ，即 ， 又∵ ， ，
∴ ，即 ．综上所述： ，故选A．
| 1 |
11、【2022年全国乙卷】若f (x)=ln a+ +b是奇函数，则a=_____，b=______．
1−x
1
【答案】 − ； ln2．
2
| 1 |
【解析】因为函数f (x)=ln a+ +b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
1−x
1 a+1 1
由a+ ≠0可得，(1−x)(a+1−ax)≠0，所以x= =−1，解得：a=− ，即函数的定义域为
1−x a 2
| 1 1 | |1+x|
(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，再由f (0)=0可得，b=ln2．即f (x)=ln − + +ln2=ln ，
2 1−x 1−x
在定义域内满足f (−x)=−f (x)，符合题意．
1
故答案为：− ；ln2．
2
题组一 指、对数的比较大小
1-1、（2022·湖南娄底·高三期末）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意： ， ，故 ．
又 ，即 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ．
因为 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.
1-2、（2022·江苏通州·高三期末）已知a＝log 0.02，b＝log 60，c＝ln6，则（ ）
0.2 6
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b
【答案】A
【解析】 ， ， ，
， ，
易知 ，所以 ，即 ，所以 ．
故选：A．
1-3、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）设 ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ， ，所以， .
故选：B.
1-4、（2022·山东泰安·高三期末）已知 为定义在R上的偶函数，当 时，恒有 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
因此 .
因为当 时，恒有 ，
所以当 时， ，则 在 上单调递减，
又 为偶函数， ，
故 ，
故选：B.
题组二 一元二次、指、对、幂数的运算与性质
2-1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若幂函数在y=(α2+α−1)xα在 上单调递增，则α=______.
【答案】1
【解析】幂函数在y=(α2+α−1)xα在 上单调递增
{α2+α−1=1
可得 解得α=1
α>0
故答案为：12-2、（2022·湖北·高三期末）已知函数f(x)=lg(x2−2x−8)的单调递增区间为(a,+∞)，则a=
_____________．
【答案】4
【解析】由题知x2−2x−8>0，解得x>4或x<−2，
所以函数的定义域为{x|x>4或x<−2}，
因为函数u=x2−2x−8在(4,+∞)时单调递增，在(−∞,−2)时单调递减，
函数y=lgu在 上单调递增，
所以函数f(x)=lg(x2−2x−8)的单调递增区间为(4,+∞)，
故a=4
故答案为：4
2-3、（2022·江苏通州·高三期末）函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过
实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)
2
＝（ ）
A．4097 B．4107 C．5119 D．5129
【答案】B
【解析】由题意 时， ， ，在 上奇数共有 个，
， ，
，
设 ，则 ，
相减得： ，
所以 ，
所以 ．
故选：B．
2-4、（2022·江苏如东·高三期末）已知函数 ，则不等式f(x)＋f(2x－1)＞0的
解集是（ ）A．(1，＋∞） B． C． D．(－∞，1)
【答案】B
【解析】 的定义域满足 ，由 ，
所以 在 上恒成立. 所以 的定义域为
则
所以 ，即 为奇函数.
设 ，由上可知 为奇函数.
当 时， ， 均为增函数，则 在 上为增函数.
所以 在 上为增函数.
又 为奇函数，则 在 上为增函数，且
所以 在 上为增函数.
又 在 上为增函数， 在 上为减函数
所以 在 上为增函数，故 在 上为增函数
由不等式 ，即
所以 ，则
故选：Bf x f 1xf 1x
2-5、（2021·山东济宁市·高三二模）(多选题)已知 是定义在R上的偶函数， ，
x0,1 f x x2 x2
且当 时， ，则下列说法正确的是（ ）
f x
A． 是以4为周期的周期函数
f 2018 f 20212
B．
y log x1 f x
3
C．函数 2 的图象与函数 的图象有且仅有 个交点
x3,4 f x x2 9x18
D．当 时，
【答案】ACD
f x1f 1xf x1 f x3
【解析】对于A选项，由已知条件可得 ，
f x
所以，函数 是以4为周期的周期函数，A选项正确；
f 2018 f 2f 02 f 2021 f 10 f 2018 f 20212
对于B选项， ， ，则 ，B选
项错误；
y log x1 f x
对于C选项，作出函数 2 与函数 的图象如下图所示：
2
1 9
f x x2 x2 x 2,0
当x0,1时， 2 4 ，结合图象可知，2 f x2.
log x12 y log x1 f x 3,
x3
当 时， 2 ，即函数 2 与函数 在 上的图象无交点，y log x1 f x
3
由图可知，函数 2 与函数 的图象有 个交点，C选项正确；
x3,4 x41,0 4x0,1
对于D选项，当 时， ，则 ，
f x f x4 f 4x4x2 4x2 x29x18
所以， ，D选项正确.
故选：ACD.
题组三 指、对数函数的情景问题
3-1、（2022·广东清远·高三期末）果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果的新
鲜度F与其采摘后时间t（天）近似满足的函数关系式为 ，若采摘后10天，这种水果失去的新
鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．若要这种水果的新鲜度不能低于60%，则采
摘下来的这种水果最多可以保存的天数为（ ）
A．30 B．35 C．40 D．45
【答案】A
【解析】由题设， ，解得： ，
所以 ，故 ．
故选：A.
3-2、（2022·山东泰安·高三期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型： ，其中
为时间（单位： ）， 为环境温度， 为物体初始温度， 为冷却后温度），假设在室内温度为
的情况下，一桶咖啡由 降低到 需要 .则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，把 ， ， ， 代入 中得 ，可得 ，
所以， ，因此， .
故选：A.
3-3、（2022·广东佛山·高三期末）某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，
计划每年投入的研发资金比上一年增加10%.则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（
）（参考数据： ）
A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年
【答案】C
【解析】设 （ ）年后公司全年投入的研发资金为 ，则 ，令 ，
解得： ，将 ， 代入后，解得： ，故 的最小值为8，即2029
年后，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元.
故选：C
3-4、（2022·山东枣庄·高三期末）良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区瓶窑镇、良渚街道境内.1936年浙江省
立西湖博物馆的施昕更先生首先在浙江省杭州市良渚镇一带发现．这里的巨型城址，面积近630万平方米，
包括古城、水坝和多处高等级建筑．国际学术界曾长期认为中华文明只始于距今3500年前后的殷商时期，
2019年7月6日，中国良渚古城遗址被列入世界遗产名录，这意味着中国文明起源形成于距今五千年前，
终于得到了国际承认！2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裏泥）上提取的
草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的 ．已知经过x年后，碳14的残
余量 ，碳14的半衰期为5730年，则以此推断此水坝大概的建成年
代是（ ）．（参考数据： ）
A．公元前2893年 B．公元前2903年
C．公元前2913年 D．公元前2923年
【答案】B
【解析】 碳14的半衰期为5730年， ，当时， ， ， 2010年之前的
4912年是公元前2902年， 以此推断此水坝大概的建成年代是公元前2903年.
故选：B.
题组四 指对数函数的综合性问题
4-1、（2022·湖南郴州·高三期末）已知函数 是偶函数，则 的
最小值是（ ）
A．6 B． C．8 D．
【答案】D
【解析】因为函数 是偶函数，
所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
，当且仅当 时取等.
故选:D.
4-2、（2022·湖北武昌·高三期末）已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
4-3、（2022·广东东莞·高三期末）（多选题）已知函数 ，则下列结论正确的是（
）
A． B．
C．关于 的方程 的所有根之和为 D．关于 的方程 的所有根
之积小于
【答案】ACD
【解析】 ， ，A正确；
当 时， ，关于 ，
当 时， ，
（ ， 表示不超过 的整数）
所以B错，
的根为 ， ，
的根为 ， ，的根为 ， ，
所有根的和为： ，C正确；
由 ，累加可得
所以所有根之积小于 ，D正确.
故选:ACD.
{ 2x,x>0
1、（2022·山东青岛·高三期末）已知函数 f (x)= ，则f [f (0)]=___________.
log (x+3),x≤0
3
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
【详解】
{ 2x,x>0
解：因为
f (x)=
，
log (x+3),x≤0
3
所以f (0)=log 3=1，所以f [f (0)]=f (1)=2
3
故答案为：
2、（2022·江苏海门·高三期末）已知 ，c＝sin1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．a＜c＜b
【答案】D
【解析】由题意， ， ， ，则
.
故选：D.3、（2022·山东烟台·高三期末）在生活中，人们常用声强级y（单位：dB）来表示声强度I（单位：
）的相对大小，具体关系式为 ，其中基准值 .若声强度为 时的声强级为
60dB，那么当声强度变为 时的声强级约为（ ）（参考数据： ）
A．63dB B．66dB C．72dB D．76dB
【答案】B
【解析】因为若声强度为 时的声强级为60dB，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以当声强度变为 时，
声强级约为 ，
，
故选：B
4、（2022·山东泰安·高三期末）若函数 （ 且 ）在 上为减函数，则函数
的图象可以是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】由函数 在 上为减函数，可知
函数 的定义域为 或 ，故排除A，B
又 ，可知 在 单调递减，故排除D
故选：C
5、（2022·湖南郴州·高三期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称
号.设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数.已知数列 满足 ，且
，若 数列 的前n项和为 ，则 （ ）
A．4950 B．4953 C．4956 D．4959
【答案】C
【解析】由 ， 可得 ，
根据累加法可得
所以 ，
故 ，当 时， ；当 时， ；当 时， ；当
时， ，
因此 .
故选：C.6、（2022·湖北襄阳·高三期末）（多选题）已知f (x)=|lgx|，当ab时，f (a)=f (b)，则（ ）
A．0a1，b>1 B．ab=10
1 1
C． −b2< D．2a+2b>4
a 4
【答案】ACD
【解析】因为f (a)=f (b)，且ab，可得−lga=lgb⇒lga+lgb=0，从而得到ab=1，
因为02 ⋅b=2，（b>1，等号不成立）
b b
所以 2a+2b>2√2a ⋅2b=2√2a+b=2 √ 2b 1 +b >2√22=4 .
从而可知选项ACD正确.
故选：ACD
{ x+1,x≤0
7、（2022·江苏海安·高三期末）已知函数 f (x)= 若f (a)=f (b)，则|a−b|的最大值为
(x−1) 2,x>0
_________．
9
【答案】
4
【解析】令f (a)=f (b)=t，
{ x+1,x≤0
作出 f (x)= 的图象和y=t的图象如图所示：
(x−1) 2,x>0ab
由图知：01；
综上：函数f (x)=|2ex−1|−2x的最小值为1.
故答案为：1
