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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(24)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设复数 ，则复数 （其中 表示 的共轭复数）表示的点在（ ）上
A. x轴 B. y轴 C. D.
【答案】C
【解析】复数 ，
所以对应的点 在直线 上.
故选：C
2．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
.
A 144 B. 120 C. 100 D. 80
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，
故选：B.
3．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的
距离为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】因为双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，
所以该渐近线的方程为 ，所以 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
此双曲线的右焦点坐标为 ，到一条渐近线 的距离为 .
故选：A
4． 展开式中 项的系数为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 的展开式通项为 ，
因为 ，
在 中，令 ，可得 项的系数为 ；
在 中，令 ，得 ，可得 项的系数为 .
所以， 展开式中 项的系数为 .
故选：A.
5．设 ， 为不同的平面， ， ， 为三条不同的直线，则下列命题中为真命题的是（ ）
A. 若 ， ， ， ，则
B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 与 异面
D. 若 ， ， ，则 与 相交
【答案】A
【解析】对于A，根据面面垂直的性质定理可得A正确；
对于B，若 ， ， ，则 ，或 与 异面，故B错误；
对于C，若 ， ，则 ，或 与 异面，故C错误；
对于D，若 ， ， ，则 ，或 与 异面，或 与 相交，故D错误．
故选：A.
6．甲､乙､丙､丁4位同学报名参加学校举办的数学建模､物理探究､英语演讲､劳动实践四项活动，每人
只能报其中一项，则在甲同学报的活动其他同学不报的情况下，4位同学所报活动各不相同的概率为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 “甲同学报的活动其他同学不报”， “4位同学所报活动各不相同”，由题得
，
所以 .
故选：C.
7．已知 为锐角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 或 ， 为锐角，，
故选：D.
8．已知函数 ，若关于 的方程 有五个不等的实数解，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 ，
当 时 ，函数在 上单调递减，且 ， ，当 时
，
当 时 ，则 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
可得 的大致图象如下所示：
令 ，则 化为 ，
当 时 无解，则 无解；
当 时 ，解得 ，由图可知 有两解，即 有两解；
当 时 有一解且 ，又 有一个解，即 有一解；
当 时 有两个解，即 、 ，
又 有一个解， 有两个解，所以 共有三个解；
当 时 有三个解，即 ， ， ，
无解， 有三个解， 有两个解，所以 共有五个解；
当 时 有两个解，即 ， ，
有三个解， 有两个解，
所以 共有五个解；
综上可得 的取值范围是 .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解
程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数
据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据 的平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1
【答案】ACD
【解析】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．
对于A，该组数据的众数为1，故A正确；
对于B，极差为 ，故B错误；
对于C，平均数为 ，故C正确；
对于D， ， 这组数据的 分位数为第4个数1，故D正确．
故选：ACD.
10．已知函数 ，则（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移 个单位长度后得到的函数是偶函数
C. 在区间 上单调递减
D. 若 在区间 上与 有且只有6个交点，则
【答案】AC
【解析】对A，由 0，故A正确；
对B， 的图象向右平移 个单位长度后得
，显然其为奇函数，故
B错误；对C，当 时，则 ，
由余弦函数单调性知， 区间 上单调递减，故C正确；
在
对于D，由 ，得 ，解得 或 ， ，
在区间 上与 有且只有6个交点，
其横坐标从小到大依次为： ， ， ， ， ， ，
而第7个交点的横坐标为 ， ，故D错误．
故选：AC.
11．在正四棱台 中， ， ，点 在四边形
内，且正四棱台 的各个顶点均在球 的表面上， ，则（ ）
A. 该正四棱台的高为3
B. 该正四棱台的侧面面积是
C. 球心 到正四棱台底面 的距离为
D. 动点 的轨迹长度是
【答案】BCD
【解析】对于A，取正方形 的中心 ，正方形 的中心 ，连接 ， ， ，
则 平面 ，过点 作 于点 ，则 平面 ，
， ， ， ， ， ，
故 ， ， ，
，由勾股定理得 ，故A错误；
对于B，过点 作 于点 ，则 ，
故 ，正四棱台 的侧面面积是
，故B正确；
对于C，正四棱台 的外接球球心 在直线 上，连接 ， ，则
，如图所示．设 ，则 ，
由勾股定理得 ， ，
，解得 ，故C正确；
对于D，由勾股定理得 ，故点 的轨迹为以 为圆心，
以 为半径的圆在正方形内部部分，如图，
其中 ，故 ，又 ，
由勾股定理得 ，
由于 ， ，故 ，
故动点 的轨迹长度是 ，故D正确．
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】由 ，得 ,解得 ，
所以 .
因为 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
13.如图，在等腰梯形 中， ， ， ， ，点 是线段 上一点，且满足 ，动点 在以 为圆心 的半径为 的圆上运动，则 的最大值为
__________.
【答案】
【解析】
如图，以 为原点，建立直角坐标系.
由题意，梯形 的高长为 ，则 .
因为以 为圆心的半径为 的圆的方程为： ，可设点 ， .
则
其中， ，
故当 时， .
故答案为：
14.已知点 ，定义 为 的“镜像距离”.若点
在曲线 上，且 的最小值为2，则实数 的值为__________.
【答案】 ##
【解析】由函数 可得 ，即 ；
所以 的反函数为 ；
由点 在曲线 上可知点 在其反函数 上，
所以 相当于 上的点 到曲线 上
点 的距离，
即 ，
利用反函数性质可得 与 关于 对称，
所以可得当 与 垂直时， 取得最小值为2，因此 两点到 的距离都为1，
过点 的切线平行于直线 ，斜率为1，即 ，
可得 ，即 ；
点到 的距离 ，解得 ；
当 时， 与 相交，不合题意；
因此 .
故答案为：
