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2024 届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(22)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为集合 ，
故 ，A错误；
由于 ，但 ，故A不是B的子集，B错误，
，C错误；
，D正确，
故选：D
2．已知 是两个不共线的向量，若 与 是共线向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，设 ，又 是两个不共线的向量，
所以 ，所以 ．
故选：D
3．下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10个月的月销售量的中位数为28
B. 这10个月的月销售量的平均数为31
C. 这10个月的月销售量的第75百分位数为34.5
D. 前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差
【答案】B
【解析】将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售
量的中位数为 ，A错误；
这10个月的月销售量的平均数为 ，B正确;
根据百分位数的定义可知 ，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，C错误；
由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量
的方差小于后5个月的月销售量的方差，D错误.
故选:B．
4．设l，m是不同的直线， ， 是不同的平面，则（ ）
A．若 ， ， ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ，则 D．若 ， ， ，则
【答案】B
【解析】对于A，如图，设平面 为平面 ，平面 为平面 ， 为m， 为l满足
， ， ，但l与m不平行，A错．
对于C，设平面 为平面 ，平面 为平面 ， 为l， 为m，
满足 ， ， ，但l与m不垂直，C错．
对于D，设平面 为平面 ，平面 为平面 ， 为l， 为m，
满足 ， ， ，但l与m不平行，D错，
故选:B．
5．设各项均不相等的等比数列 的前n项和为 ，若 ，则公比 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由数列 为各项均不相等的等比数列，设公比为 ，
由 ，得 ，又因为 ，
当 时，则 ，化简得 ，解得 ，或
（舍）；
当 ，则 ，化简得 ，因 ，
所以无解；综上可得 ，故C正确.
故选：C.
6．已知点P是曲线 在第一象限内的一点，A为 的左顶点，R为PA的中点，F为 的
右焦点．若直线OR（O为原点）的斜率为 ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设 ，
所以 ，
因为直线OR的斜率为 ，所以 ，
化简得， ，与 联立解得， 或3，其中 舍去，
所以P点的坐标为 ，又 ，
所以 的面积为 ．
故选：A．
7．甲、乙、丙三个地区分别有 、 、 的人患了流感，且 、 、 构成以 为公差的等差数
列．已知这三个地区的人口数的比为 ，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条
件下，此人来自甲地区的概率最大，则 的可能取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件 、 、 分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件 、 、 分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件 为“此人患了流感”．
由题可知， ， ， ，
，
由条件概率公式可得 ，
， ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
故选：D.8．已知函数 ，若方程 有两个不同的实数解，则实数a
的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题目条件可得： .
令 ，可得： ，则 ，即 ，
.
令 ，则 ； .
因为 ，
所以 ，
则函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 .
所以方程 有两个不同的实数解等价于方程 有两个实数解，即函数
与 的图象有两个不同的交点.
因为 ，
令 ，得 ；令 ，得 .
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
则 .
又因为当 时， ；当 时， .
所以 ，解得： .
又因为 ，
所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数 的共轭复数为 ，则下列命题正确的是（ ）
A. B. 为纯虚数C. D.
【答案】ACD
【解析】设复数 ，则 ，故 ，A正确；
，当 时， 为实数，B错误；
，则 ，C正确；
，
，故 ，
则 ，D正确，
故选：ACD
10．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 中心对称
C. 的最小正周期是
D. 在 上有最大值，且最大值为
【答案】BCD
【解析】由 ，解得 ，
则函数 的定义域为 ，
令 ，则 ，令函数 ，
当 时， ， ，
且函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 在 上单调递增，因此函数 在 上单调递增，
在 上单调递减，从而函数 的图象不关于直线 对称，A错误；
在 上有最大值，且最大值为 ，D正确；显然 ，
，
因此 的图象关于点 中心对称，B正确；
由对称性可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 在 上不具有周期性，又 ，
所以 的最小正周期为 ，C正确.
故选：BCD
11．棱长为2的正方体 中，下列选项中正确的有（ ）
A. 过 的平面截此正方体所得的截面为四边形
B. 过 的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C. 四棱锥 与四棱锥 的公共部分为八面体
D. 四棱锥 与四棱锥 的公共部分体积为
【答案】ABD
【解析】连接 与线段 上任意一点 ，过 作 交 于 ，
所以过 的平面截此正方体所得的截面为四边形 ，A对；
由上分析及正方体结构特征易知：四边形 为平行四边形，
若 为各线段上的中点时，四边形 为菱形，此时截面最小面积为 ；
根据正方体 的对称性， 从中点向 或 运动时，四边形 面积都是由小变大，
当 与 重合时，截面最大面积为 ；
综上，过 的平面截此正方体所得的截面的面积范围为 ，B对；
令 交于 ， 交于 ， 交于 ，
显然 是各交线的中点，若 是 中点，连接 ，
所以四棱锥 与四棱锥 的公共部分为六面体 ，C错；
其体积 ，D对.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．从4位男同学、5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有__________种．
【答案】70
【解析】利用间接法可得男女生都要有的选法种数为 .
故答案为：70
13.若 ，x， ，则 的最小值为_________．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，即 ．
当且仅当 ， ，即 ， 时等号成立，所以 的最小值为 ．
故答案为：
14.若圆C与抛物线 在公共点B处有相同的切线，且C与y轴切于 的焦点A，则
_________．
【答案】
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线l为 ，依题意不妨令C在第一象限，
，
则圆C的半径 ，设 ，则圆C的方程为 ，
由 ，则 ，所以抛物线在点B处的切线m的斜率 ，
因为圆C与抛物线 在公共点B处有相同的切线，所以直线CB与m垂直，
所以 ，则 ①，
又点B在圆C上，所以 ，则 ②，
所以 ，整理可得 ，解得， 或
（舍去），
所以 ，所以 ，
所以 ．
故答案为：
