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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(49)
(双曲线方程与几何性质)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023秋·江苏南通如皋·高三如皋中学数学综合练习（一））已知双曲线 的一条渐近线
方程为 ，则该双曲线的实轴长为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
2.（2022内江期末）“ ”是“ 为双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.（2022宁波期末）已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线， 且它们的离心率不相
同， 则下列方程中有可能为双曲线 的标准方程的是（ ）
A． B． C． D．
4.已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦
长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
5.（2022高三下·安徽期中）已知 ， 是双曲线 的左､右焦点，点P在
双曲线的右支上，且 ， ，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6.（2021常州期中）已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点 ，则
周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．7.（2023·广东佛山·2024届高三上学期教育教学质量检测）已知双曲线C： 的
左，右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点， ，且 的面积
为4，则实数 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
8.（2024届湖南省高三九校联盟第一次联考）如图，已知双曲线 的左､右焦点分
别为 ， ，过 的直线与 分别在第一､二象限交于 两点， 内切圆半径为 ，若
，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2022·广东）（多选）下列曲线中与直线 有交点的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2023秋·江苏南通如皋·高三如皋中学数学综合练习（一））已知双曲线
的一条渐近线过点 ， 为 的右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的离心率为
B. 的渐近线方程为
C. 若 到 的渐近线的距离为 ，则 的方程为D. 设 为坐标原点，若 ,则
11.（2023·江苏·2024届高三百校大联考第二次检测）双曲线 ： ，左、右顶
点分别为 ， ， 为坐标原点，如图，已知动直线 与双曲线 左、右两支分别交于 ， 两点,与其
两条渐近线分别交于 ， 两点,则下列命题正确的是（ ）
A. 存在直线 ，使得
B. 在运动的过程中，始终有
C. 若直线 的方程为 ，存在 ，使得 取到最大值
D. 若直线 的方程为 ， ，则双曲线 的离心率为
12. （2022·重庆十八中两江实验中学高三阶段练习）已知双曲线 的一条渐近线方程为
，过点 作直线 交该双曲线于 和 两点，则下列结论中正确的有（ ）
A．该双曲线的焦点在哪个轴不能确定
B．该双曲线的离心率为
C．若 和 在双曲线的同一支上，则
D．若 和 分别在双曲线的两支上，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2022·德阳三模）设双曲线 的右焦点是F，左､右顶点分别是 ，
过 作 轴的垂线与双曲线交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为__________.
14.若双曲线 上存在两个点关于直线 对称，则实数 的取值范围为__________.15.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学第四次月考）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ，过 作一条直线与双曲线右支交于 两点，坐标原点为 ，若
，则该双曲线的离心率为___________.
16.（2023秋·广东省汕头·高三期中统测）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍
不能解决这个问题．古希腊数学家Pappus（约300~350前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方
法：如图，以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A，B两点；取线段AB的三等分点O，D；以B为焦点，
A，D为顶点作双曲线H．双曲线H与弧AB的交点记为E，连接CE，则 ．
①双曲线H的离心率为________；
②若 ， ，CE交AB于点P，则 ________．
