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专题10 双曲线中的最值问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，动点 在双曲线 的右支上，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．过椭圆 右焦点F的圆与圆 外切，该圆直径 的端点Q的轨迹记为曲
线C，若P为曲线C上的一动点，则 长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 的左支上，过点 作 的一条渐近线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点A在双曲线C： （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F
1
，F
2
，点B在∠F
1
AF
2
的平分线上，BF⊥AB，若点D在直线l： ，则|BD|的最小值为（ ）
2
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，
且 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．426．已知直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
7．双曲线 右焦点为 ，离心率为 ， ，以 为圆心， 长为半
径的圆与双曲线有公共点，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设双曲线 ： 的离心率为 ，过 左焦点 作倾斜角为 的直线 依次交 的左
右两支于 ， ，则有 ．若 ， 为 的中点，则直线 斜率的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线C的方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
10．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 ， ，则（ ）
A．若 在双曲线右支上，则 的最短长度为1
B．若 ， 同在双曲线右支上，则 的斜率大于
C． 的最短长度为6D．满足 的直线 有4条
11．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为 B．若 ，则直线 的斜率为
C． 的最小值为25 D． 面积的最小值为12
12．已知动点 是双曲线 上的点，点 是 的左、右焦点， 是双曲线 的左、右顶点，
下列结论正确的是（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．点 在双曲线的左支时， 的最大值为
C．点 到两渐近线的距离之积为定值
D．若 是△ 的面积，则 为定值
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线C的方程为 ， ， ，双曲线C上存在一点P，使得
，则实数a的最大值为 .
14．双曲线 ： 的左，右顶点分别是 ， ， 是 上任意一点，直线 ， 分别与直线 ：
交于 ， ，则 的最小值是 ．
15．已知点 ，若双曲线 的右支上存在两动点 ， ，使得 ，则 的
最小值为 .16．已知双曲线 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则
的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 的实轴长为 ，离心率为 .动点P是双曲线C上任意一点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，求线段 的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点 ，求 的最小值.
18．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 的距离比是常数2.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若直线 与动点 的轨迹交于P，Q两点，且 （ 为坐标原点），求 的最小值.
19．已知双曲线 过点 ，左､右顶点分别是 ，右焦点 到渐近线的距离为 ，
动直线 与以 为直径的圆相切，且 与 的左､右两支分别交于 两点.(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求 的最小值.
20．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且E的渐近线方程为
．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
21．已知双曲线 ，（ ， ）的实轴长为2，且过点 ，其中 为双曲线 的离心率．
(1)求 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 的左、右两支分别交于点 ，点 在线段 上，且
， 为线段 的中点，记直线 ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ，求
的最小值．22．已知双曲线Γ： 经过点 ，且其中一焦点 到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
