文档内容
专题10 双曲线中的最值问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，动点 在双曲线 的右支上，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为动点 在双曲线 的右支上，由双曲线定义可得： ，
所以 ，因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，将 代入 得：
.故选：B．
2．过椭圆 右焦点F的圆与圆 外切，该圆直径 的端点Q的轨迹记为曲
线C，若P为曲线C上的一动点，则 长度最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解析】椭圆 ， ，所以 .
设以 为直径的圆圆心为 ，如图所示：
因为圆 与圆 外切，所以 ，因为 ， ，所以 ，
所以 的轨迹为：以 为焦点， 的双曲线的右支.
即 ，曲线 .
所以 为曲线 上的一动点，则 长度最小值为 .故选：C
3．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 的左支上，过点 作 的一条渐近线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得 ，故 ， 如图所示：
到渐近线 的距离 ,
则 ，当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
∴ 的最小值为 .故选：D
4．已知点A在双曲线C： （b>0）上，且双曲线C的上､下焦点分别为F
1
，F
2
，点B在∠F
1
AF
2
的平分线上，BF⊥AB，若点D在直线l： ，则|BD|的最小值为（ ）
2
A． B． C． D．【解析】作出图形如图所示，
设A为双曲线C下支上的一点，延长FB与AF 交于点M，连接OB，
2 1
由BF⊥AB，且∠FAB=∠FAB，可得 ，
2 1 2
故 ，故 ，则点B落在圆 上,
因为点O到直线l： 的距离为 ，故 的最小值为 ，故选：D
5．已知双曲线 的右焦点为F， ，直线MF与y轴交于点N，点P为双曲线上一动点，
且 ，直线MP与以MN为直径的圆交于点M､Q，则 的最大值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．42
【解析】由双曲线方程知：右焦点 ， 在双曲线上，
直线 方程为 ，令 ，解得： ， ；
以 为直径的圆的圆心为 ，且 ．连接 ，
在以 为直径的圆上， ， ，
；
为双曲线上一点，且 ， ， ；故选：A6．已知直线 与双曲线 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 的最小值为
（ ）
A．20 B．22 C．24 D．25
【解析】依题意得直线 与 的斜率都存在且不为0，
不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ．
设 ， ，联立，得 ，则 ， ，
，
同理可得 ，
，
所以
即 ，当且仅当 时等号成立．故选：C
7．双曲线 右焦点为 ，离心率为 ， ，以 为圆心， 长为半
径的圆与双曲线有公共点，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，右焦点 ，又 ，则 ， ，
以 为圆心， 为半径的圆的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，
由圆与双曲线有公共点，所以 ，即 ，结合 ，
化简为 ，
由方程 两根为： ， ，
所以不等式的解为 ，或 ，由已知，得
所以 ，当 时，取得最小值 .故选：A
8．设双曲线 ： 的离心率为 ，过 左焦点 作倾斜角为 的直线 依次交 的左
右两支于 ， ，则有 ．若 ， 为 的中点，则直线 斜率的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，则 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以
，当且仅当 ，即 时取等号，即直线 斜率的最小值是 .
故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知双曲线C的方程为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为
B．双曲线C的实轴长为8
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3
D．双曲线C上的点到焦点的距离的最小值为
【解析】由双曲线C的方程为 ，得： ， ，
对于A：双曲线C的渐近线方程为 ，故A正确；
对于B：双曲线C的实轴长为 ，故B正确；
对于C：取焦点 ，则焦点 到渐近线 的距离 ，故C正确；
对于D：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为 ，故D错误；
故选：ABC.
10．已知双曲线 ，过其右焦点 的直线 与双曲线交于两点 ， ，则（ ）
A．若 在双曲线右支上，则 的最短长度为1
B．若 ， 同在双曲线右支上，则 的斜率大于C． 的最短长度为6
D．满足 的直线 有4条
【解析】由双曲线 可得 ， ，所以 ，
对于A：若 在双曲线右支上，则 的最短长度为 ，故选项A正确；
对于B：双曲线的渐近线方程为： ，若 ， 同在双曲线右支上，则 的斜率大于 或小
于 ，故选项B不正确；
对于C：当 ， 同在双曲线右支上时， 轴时， 最短，将 代入 可得 ，此
时 ，当 ， 在双曲线两支上时， 最短为实轴长 ，所以 的最短长度为 ，故选项C
不正确；
对于D：当 ， 同在双曲线右支上时， ，当 ， 在双曲线两支上时， ，根
据双曲线对称性可知：满足 的直线 有4条，故选项D正确；
故选：AD.
11．已知 为坐标原点，双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为2，过
的直线与双曲线的右支交于 ， 两点，且 的最小值为6，则（ ）
A．该双曲线的方程为 B．若 ，则直线 的斜率为
C． 的最小值为25 D． 面积的最小值为12
【解析】对于A，依题意可知， ， ，结合 ，得 ， ，所以双曲线的方程为 ，故A正确；
对于B，易知 ，抛物线渐近线的斜率为 ，设 ， ，
直线 ，由直线 与双曲线的右支交于两点，所以 ，从而 ，
联立 ，得 ，则 ， ，
，
若 ，则 ，即 ，解得 ，不满足 ，故B错误；
对于C，由 ，则 ，
，
所以
因为 ，所以 ，故C正确；
对于D， ，
设 ，则 ， ，令 ，函数 在 上单调递
减，因此 ，故D正确，
故选：ACD．
12．已知动点 是双曲线 上的点，点 是 的左、右焦点， 是双曲线 的左、右顶点，
下列结论正确的是（ ）A．双曲线 的离心率为
B．点 在双曲线的左支时， 的最大值为
C．点 到两渐近线的距离之积为定值
D．若 是△ 的面积，则 为定值
【解析】对A：因为双曲线 ，故可得 ，则离心率 ，故A正确；
对B：因为 ，故可得 ，
则 ，因为 ，则 ，
令 ，故 ， ，故当 时， 取得最大值 .故B错误；
对C：设点 ，则 ，又双曲线渐近线为 ，
故 到两渐近线的距离之积为 .故C正确；
对D：不妨设点 在 轴上方，则 ，
则 ，
又 ， ，
故 ，又 ，
故 ；当点 在 轴下方时，同理可得 .故D正确.
故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知双曲线C的方程为 ， ， ，双曲线C上存在一点P，使得
，则实数a的最大值为 .
【解析】设点 ，由 得： ，
所以 ，化简得： ，
即满足条件的 点 在圆 上运动，
又点 存在于 上，故双曲线与圆有交点，
则 ,即实数a的最大值为2，
14．双曲线 ： 的左，右顶点分别是 ， ， 是 上任意一点，直线 ， 分别与直线 ：
交于 ， ，则 的最小值是 ．
【解析】由双曲线的对称性可知，只需研究 在右支上时， 取最小值的情况.
由上可得 ， ，根据双曲线方程 可得 ，
所以设直线 的斜率分别为 ，则 ．
的方程为 ，令 ，解得 ，
的方程为 ，令 ，解得 ，
所以 ，(当且仅当 ，即 ， 时等号成立)．
故答案为： .
15．已知点 ，若双曲线 的右支上存在两动点 ， ，使得 ，则 的最小值为 .
【解析】设 ，则 ，即 .
因为 ，所以 ，则
.
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，即 的最小值是 .
16．已知双曲线 ，过双曲线C上任意一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，则
的最小值为 .
【解析】因为双曲线 ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，
设 是双曲线上任意一点，则 ，
所以 ，则 ，
由点线距离公式得 ，
两边平方得
，
所以 ，即 的最小值为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线 的实轴长为 ，离心率为 .动点P是双曲线C上任意一点.(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，求线段 的中点Q的轨迹方程；
(3)已知点 ，求 的最小值.
【解析】（1）依题意 ， ，
又离心率为 ，即 ，则 .所以 ，
双曲线C的标准方程 .
（2）设动点 ，点 ，由线段 的中点为Q，
则 ，代入双曲线C的方程得 ，所以Q的轨迹方程 .
（3）动点P是双曲线C上任意一点，设 ，则 ，
则 ， ，或 ，
，
当 时， 取最小值，最小值为 .
18．在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线 的距离比是常数2.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若直线 与动点 的轨迹交于P，Q两点，且 （ 为坐标原点），求 的最小值.
【解析】（1）由已知可得： ，整理化简可得： ，即 ,所以动点 的轨迹方程为： ；
（2）由 可设直线OP的方程为 ，直线OQ的方程为 ，
由 ，可得 ，所以 ，同理可得 ，
又由 且 ，可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为6.
19．已知双曲线 过点 ，左､右顶点分别是 ，右焦点 到渐近线的距离为 ，
动直线 与以 为直径的圆相切，且 与 的左､右两支分别交于 两点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记直线 的斜率分别为 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为点 在双曲线 上，故 ，即 ，
而双曲线 的渐近线方程为 ， 到一条渐近线的距离为 ，
所以 ，解得 ，又 ， 所以 ，故所求双曲线 的方程为 ；（2）因为双曲线 的方程为 ，所以 ，故以 为直径的圆为
，而直线 是其切线，所以应满足 ，得 ，
而 坐标满足 ，消去 得 ，
求得 ，而 ，故 ，由此可得 （*），
由于 分别在 的左､右两支，故 ，因此 ，
所以 ，将 代入整理得 ，
又 ，故 ，显然 ，
由题意得 ，故 ，
所以 ，
将 及 代入，求得 ，而 ，
故 ，又 ，故 ，
即 .20．设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，且E的渐近线方程为
．
(1)求E的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积
的最小值．
【解析】（1）由题意，得 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，则 ，故 的方程为 ．
（2）根据题意，直线 ， 的斜率都存在且不为0，
设直线 ， ，其中 ，
因为 ， 均与 的右支有两个交点，所以 ， ，所以 ，
将 的方程与 联立，可得 ，
设 ，则 ， ，
所以
，
用 替换 ，可得 ，
所以 ．令 ，所以 ，
则 ，当 ，即 时，等号成立，
故四边形 面积的最小值为 ．
21．已知双曲线 ，（ ， ）的实轴长为2，且过点 ，其中 为双曲线 的离心率．
(1)求 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线 与 的左、右两支分别交于点 ，点 在线段 上，且
， 为线段 的中点，记直线 ， （ 为坐标原点）的斜率分别为 ， ，求
的最小值．
【解析】（1）因为双曲线 的实轴长为2，则 ，
由双曲线过点 ，且 ，则 ，即 ，解得 ，
故双曲线 的标准方程为 ．
（2）设直线 ， ， ，
由题意可知 ，联立方程 ，整理得 ，由题意可得 ，解得 或 ，
则 ， ．可得 ， ，
则 ，所以 ．
因为 ，则 ，整理得 ，
则 ，即 ，则 ．
所以 ，即 ．
∴ ，当且仅当 ，即 或 时，等号成立，
此时 或 ，均满足 与 的左、右两支分别相交．∴ 的最小值为6．
22．已知双曲线Γ： 经过点 ，且其中一焦点 到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.【解析】（1）不妨设 ，到双曲线的一条渐近线 的距离为 .
双曲线 过 ，所以 ，所以双曲线方程为 .
（2）当直线 的斜率不存在时，设 ，则 ，
，依题意 ，
，即 ，
由 解得 或 （舍去），
所以 ，此时 到直线 的距离为 .
当直线 的斜率存在时，设 ，设直线 的方程为 .
由 消去 并化简得： ，
①，
，依题意 ，
所以
，
整理得 ，
即 ，由于 直线 ， ，所以 ，
函数 的开口向上，判别式为 ，故①成立.
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以 到 的距离 ， ，
当 时， ；当 时 ，
当且仅当 时等号成立.所以 .
综上所述，点 到直线 的距离的最大值为 .
