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2024年高考全国甲卷数学（理）
一、单选题
1．设 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】根据 ，则 .
故选A
2．集合 ，则∁ (A∩B)=（ ）
A
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
则A∩B={1,4,9}，∁ (A∩B)={2,3,5}
A
故选D
3．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】实数 满足 ，作出可行域如图：
根据 可得 ，即 的几何意义为 的截距的 ，
则该直线截距取最大值时， 有最小值，此时直线 过点 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 .故选D.
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由 结合等差中项的性质可得 ，即可计算出公差，即可得 的值.
【解析】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选B.
5．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该
双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 ，结合双曲线定义计算可得 ，即可得离心率.
【解析】根据题意， 、 、 ，则 ， ，
，则 ，则 .
故选C.
6．设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点 处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.
【解析】 ，则 ，即该切
线方程为 ，即 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形面积 .
故选A.
7．函数 在区间 的大致图像为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入 可得 ，可排除D.
【解析】 ，
又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，故A、C错误，
又 ，
故D错误.
故选B.
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以 ，
故选B.
9．已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解析】A，当 时，则 ，所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，A错误；B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，B错误；
C，当 时， ，故 ，所以 ，即充分性成立，C正确；
D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，D错误.
故选C.
10．设 是两个平面， 是两条直线，且 .下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.
【解析】①，当 ，因为 ， ，则 ，当 ，因为 ， ，则 ，
当 既不在 也不在 内，因为 ， ，则 且 ，①正确；
②，若 ，则 与 不一定垂直，②错误；
③，过直线 分别作两平面与 分别相交于直线 和直线 ，因为 ，过直线 的平面与平面 的交线为直线
，则根据线面平行的性质定理知 ，同理可得 ，则 ，因为 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ， ，则 ，又因为 ，则 ，③正确；
④，若 与 和 所成的角相等，如果 ，则 ，④错误；
①③正确，
故选A.
11．在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理得 ，再利用余弦定理有 ，再利用正弦定理得到 的
值，最后代入计算即可.【解析】因为 ，由正弦定理得 .
由余弦定理可得: ，即: ，根据正弦定理得 ，
所以 ，
因为 为三角形内角，则 ，则 .
故选C.
12．已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【详解】因为 成等差数列，所以 ， ，代入直线方程 得
，即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时， 最小，
，此时 .
故选C
二、填空题
13． 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
【答案】5
【分析】先设展开式中第 项系数最大，则根据通项公式有 ，进而求出 即可求解.【解析】根据题展开式通项公式为 ， 且 ，
设展开式中第 项系数最大，则 ， ，即 ，又 ，故 ，所
以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为 .
答案为：5.
14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 和 ，母线长分别为 和 ，则两个圆台的体积之
比 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.
【解析】根据题可得两个圆台的高分别为 ，
，所以 .
答案为： .
15．已知 ， ，则 ．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【解析】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，所以 ，故
答案为：64.
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记 为前两
次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 差的绝对值不超过 的概率是 ．
【答案】
【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则
，就 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有 种，
设前两个球的号码为 ，第三个球的号码为 ，则 ，
故 ，故 ，故 ，
若 ，则 ，则 为： ，因此有2种，
若 ，则 ，则 为： ，
，因此有10种，
当 ，则 ，则 为：
，
，
因此有16种，当 ，则 ，同理有16种，当 ，则 ，同理有10种，当 ，则
，同理有2种，
共 与 的差的绝对值不超过 时不同的抽取方法总数为 ，因此所求概率为 .
答案为：
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检
验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产品的优级
品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算 ，并与临界值对比分析；
（2）用频率估计概率可得 ，根据题意计算 ，结合题意分析判断.
【解析】（1）根据题意可得列联表：
优级品 非优级品
甲车
26 24
间
乙车
70 30
间
可得 ，因为 ，
所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有 的把握认为甲，乙两车间产品的优级品
率存在差异.
（2）根据题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 ，
用频率估计概率可得 ，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，则
，可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
18．记 为数列 的前 项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求 的通项公式．（2）利用错位相减法可求 .
【解析】（1）当 时， ，解得 ．当 时， ，所以
即 ，而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故 所以
，
.
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)见详解；
(2)
【分析】（1）结合已知易证四边形 为平行四边形，可证 ，进而得证；
（2）作 交 于 ，连接 ，易证 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【解析】（1）因为 为 的中点，所以 ，
四边形 为平行四边形，所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ；
（2）如图所示，作 交 于 ，连接 ，
因为四边形 为等腰梯形， ，所以 ，
结合（1） 为平行四边形，可得 ，又 ，所以 为等边三角形， 为 中点，所以 ，
又因为四边形 为等腰梯形， 为 中点，所以 ，
四边形 为平行四边形， ，
所以 为等腰三角形， 与 底边上中点 重合， ， ，
因为 ，所以 ，所以 互相垂直，
以 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立 空间直角坐标系，
， ， ，
，设平面 的法向量为 ，
平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，即 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
即 ， ，则 ，
故二面角 的正弦值为 .
20．设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明： 轴．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设 ，根据 的坐标及 轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设 ， ， ，联立直线方程和椭圆方程，用 的坐标表示 ，结合韦达定理化简前者可得 ，故可证 轴.
【解析】（1）设 ，由题设有 且 ，故 ，故 ，故 ，
故椭圆方程为 .
（2）直线 的斜率必定存在，设 ， ， ，
由 可得 ，故 ，故 ，
又 ，
而 ，故直线 ，故 ，
所以
，
故 ，即 轴.
21．已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就 、 、 分类讨论后可得参数的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，故 在 上为增函数，而 ，故当
时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，错误.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，错误；
综上， .
22．在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 .
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)设直线l： （ 为参数），若 与l相交于 两点，若 ，求 的值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据 可得 的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入 的直角方程，
法1：结合参数 的几何意义可得关于 的方程，从而可求参数 的值；
法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求 的值.
【解析】（1）由 ，将 代入 ，
故可得 ，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为 .
（2）对于直线 的参数方程消去参数 ，得直线的普通方程为 .
法1：直线 的斜率为 ，故倾斜角为 ，
故直线的参数方程可设为 ， .
将其代入 中得
设 两点对应的参数分别为 ，则 ，
且 ，故 ，
，解得 .
法2：联立 ，得 ， ，解得 ，设
, ，
则 ，
解得
23．实数 满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用 即可证明.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为 ，
当 时等号成立，则 ，因为 ，所以 ;
（2）
