文档内容
专题13 双曲线中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．P为椭圆 上异于左右顶点 ， 的任意一点，则直线 与 的斜率之积为定值
，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为双曲线 上异于左右顶点 ，
的任意一点，则（ ）
A．直线 与 的斜率之和为定值 B．直线 与 的斜率之积为定值
C．直线 与 的斜率之和为定值 D．直线 与 的斜率之积为定值
2．已知直线l： 与双曲线C： 交于P，Q两点，QH⊥x轴于点H，直线PH与双曲线
C的另一个交点为T，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知A，B是双曲线Γ： ＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若
PA，PB的斜率分别为k，k，则以下总为定值的是（ ）
1 2
A．k＋k B．|k－k|
1 2 1 2
C．kk D．
1 2
4．已知双曲线 ， 为坐标原点， ， 为双曲线上两动点，且 ，则
（ ）
A．2 B．1 C． D．5．已知 ， 是双曲线 的焦点， 是过焦点 的弦，且 的倾斜角为 ，那么
的值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．随 变化而变化
6．已知双曲线 ： 的渐近线方程为 ，且焦距为 ，过双曲线 中心的
直线与双曲线 交于 两点，在双曲线 上取一点 （异于 ），直线 ， 的斜率分别为 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线 的离心率为3，斜率为 的直线 分别交F的左右两支于A，B两
点，直线 分别交F的左、右两支于C，D两点， ， 交 于点E，点E恒在直线l上，若直线l
的斜率存在，则直线的方程为（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
8．数学美的表现形式多种多样，其中美丽的黄金分割线分出的又岂止身材的绝妙配置，我们称 （其
中 ）的双曲线 为黄金双曲线，若P为黄金双曲线上除实轴端点外任意一点，以原
点O为圆心，实轴长为直径作 ，过P作 的两条切线，切点分别为A，B，直线 与x，y轴分别交
于M，N两点，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线 上，下列结论正确
的是（ ）
A． B．双曲线 的渐近线方程为
C．存在点 ，满足 D．点 到两渐近线的距离的乘积为
10．已知A，B分别为双曲线 的左、右顶点，P为该曲线上不同于A，B的任意一点设
的面积为S，则（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
11．已知点P为双曲线 上任意一点， 为其左、右焦点，O为坐标原点．过点P
向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M、N，则下列所述正确的是（ ）
A． 为定值 B．O、P、M、N四点一定共圆
C． 的最小值为 D．存在点P满足P、M、 三点共线时，P、N、 三点也共线
12．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，点P是双曲线C的右支上一点，过点P的直线
l与双曲线C的两条渐近线交于M，N，则（ ）
A． 的最小值为8
B．若直线l经过 ，且与双曲线C交于另一点Q，则 的最小值为6
C． 为定值
D．若直线l与双曲线C相切，则点M，N的纵坐标之积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．设P是双曲线 右支上任一点，过点P分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则
的值为 ．
14．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角的正切值为 .若直线 （ 且
）与双曲线交于A，B两点，直线 ， 的斜率的倒数和为 ，则直线 恒经过的定点
为 .
15．双曲线 的离心率为 ， 分别是 的左，右顶点， 是 上异于 的一动点，
直线 分别与 轴交于点 ，请写出所有满足条件 的定点 的坐标 .
16．已知双曲线 ，过点 的动直线与C交于两点P，Q，若曲线C上存在某定点A使得
为定值 ，则 的值为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从双曲线 上一点 向 轴作垂线，垂足恰为左焦点 ，点 分别是双曲线的
左、右顶点，点 ，且 ， .
(1)求双曲线的方程；
(2)过点 作直线 分别交双曲线左右两支于 两点，直线 与直线 交于点 ，证明：点
在定直线上.
18．已知双曲线 过点 ，且焦距为 .(1)求 的方程；
(2)已知过点 的动直线 交 的右支于 两点， 为线段 上的一点，且满足 ，证明：
点 总在某定直线上.
19．已知双曲线 的焦距为 ，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)点 是双曲线 上异于点 的两点，直线 与 轴分别相交于 两点，且 ，求
证：直线 过定点，并求出该定点坐标.
20．已知点 为双曲线 上一点， 的左焦点 到一条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)不过点 的直线 与双曲线 交于 两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线
过定点，并求该定点的坐标.21．已知双曲线 ： 实轴 长为4（ 在 的左侧），双曲线 上第一象限内的一点 到两渐
近线的距离之积为 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设过 的直线与双曲线交于 ， 两点，记直线 ， 的斜率为 ， ，请从下列的结论中选
择一个正确的结论，并予以证明.
① 为定值；② 为定值；③ 为定值
22．已知双曲线 的右焦点，右顶点分别为 ， ， ， ，点 在线
段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定点 ，使得
恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
