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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(47)
(圆与方程)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.经过三个点 的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知得， 分别在原点、 轴、 轴上，
，
经过三点圆的半径为 ，
圆心坐标为 的中点 ，即 ，
圆的标准方程为 .
故选：C.
2.（2023·重庆·拔尖强基联盟2024届高三12月月考）已知圆 ，圆
，则这两圆的位置关系为（ ）
A. 内含 B. 相切 C. 相交 D. 外离
【答案】A
【解析】由题设， ： ， ： ，
∴ ，半径 ； ，半径 ； ，
∴ ，即两圆内含.
故选：A
3.若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】由题设，将点坐标代入圆方程的左侧有 ，可得 .
故选：C
4.若圆 的弦MN的中点为 ，则直线MN的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆方程可知圆心 ，则 ，由题可知 ，所以 ，又MN过点 ，
根据点斜式公式可知直线MN的方程是 .
故选：B.
5.(2021高考北京)已知直线 ( 为常数)与圆 交于点 ，当 变化时，若
的最小值为2，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得圆心为 ，半径为2， 则圆心到直线的距离 ，
则弦长为 ，
则当 时，弦长 取得最小值为 ，解得 ．
故选：C．
6.（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知圆
和两点 ， ，若圆C上至少存在一点P，使得 ，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆C： 的圆心 ，半径 ，
∵圆C上至少存在一点P，使得 ，
∴圆 ： 与圆O： 位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O： 的圆心 ，半径 ，
则 ，即 ，∴ ．
故选：B．7.(2020年高考课标Ⅰ卷)已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动
点，过点 作⊙M的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所
以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D．
8.（北京市通州区2023届高三模拟考试数学试题）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满
足 ， ，A为线段 中点，P为圆 任意一点，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，则 ，又 ，且A为线段 中点，则 ，
所以A为圆 任意一点，
设圆 的圆心为M，则 ，
又 ，所以圆O与圆M相离，
所以 的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以 ，
，
所以 的取值范围为 ．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2024届湖南省高三九校联盟第一次联考）已知 ，则（ ）
A. 与 均有公共点的直线斜率最大为
B. 与 均有公共点的圆的半径最大为4
C. 向 引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D. 向 引两切线的夹角与向 引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
【答案】AD
【解析】由题意知，与两圆均有公共点，且斜率最大的直线恰为那条两圆斜率为正的内公切线，
由两圆半径之比为 ， ，可知切线与 轴交于 ，设切线的倾斜角为 ，选项 正确.
与 均有公共点的圆的圆心不确定，所以半径可以任意大（无最大值），选项B错误.
向 引切线，设切线长相等的点为 ,则 ，
所以 ，化简得直线 ，选项 错误.
设 的圆心分别为 ，点 对 切线的夹角等于点 对 切线的夹角，
于是由相似三角形知 ，
设 ，则 ，
可得到点 的轨迹是一个圆，选项D正确.
故选：AD
10.（2023秋·广东省汕头·高三期中统测）已知圆 ，点 是直线 上一动
点，过点 作直线 分别与圆 相切于点 ，则（ ）
A. 圆 上恰有一个点到 的距离为 B. 直线 恒过定点
C. 的最小值是 D. 四边形 面积的最小值为2
【答案】BC
【解析】圆心 ，半径 ，
对A，圆心 到直线 的距离为 ，
所以圆上的点到直线 距离得最小值为 ，
圆上的点到直线 距离得最大值为 ，
所以圆 上恰有两个点到 的距离为 ，A错误；
对B，设 ，由题意可知， 都在以 为直径的圆上，
又 ，所以 为直径的圆的方程为 ，
整理得， ，
联立 可得，
，即为直线 的方程，
即
令 ，解得 ，所以直线 恒过定点 ，B正确；
对C，因为直线 恒过定点 ，
当定点 与圆心 的连线垂直于 时，圆心 到直线 的距离最大，则 最小，
定点 与圆心 之间的距离为 ，
所以 ，C正确；
对D，四边形 的面积为 ,
根据切线长公式可得， ，
当 最小时， 最小， ，
所以 最小值为1，即四边形 面积的最小值为1，D错误；
故选:BC.
11.（2023·重庆·拔尖强基联盟 2024 届高三 12 月月考）已知圆 ，直线
（ 且 不同时为0），下列说法正确的是（ ）
A. 当直线 经过 时，直线 与圆 相交所得弦长为
B. 当 时，直线 与 关于点 对称，则 的方程为：
C. 当 时，圆 上存在4个点到直线 的距离为
D. 过点 与 平行的直线方程为：
【答案】AB
【解析】因为圆 ，所以圆心为 ，半径 ，
对于A选项：因为直线 经过 ，所以 ， ，
所以圆心到直线的距离为 ，
直线 与圆 相交所得弦长为 ，故A选项正确；
对于B选项：当 时，直线 ，因为直线 与 关于点 对称，所以直线 与 平行, 由于
到 的距离为2，所以 到 的距离也为2，所以 的方程为： ，故B选项正确；
对于C选项：当 时，直线 ,此时圆心 到直线的距离为 ，
由于半径 ，
所以在直线 的右侧： ，所以在直线 的右侧不存在满足条件的点；
在直线 的左侧： ，所以在直线 的左侧存在满足条件的点有2个；
所以圆 上只存在2个点到直线 的距离为 ，故C选项错误;
对于D选项：过点 与 平行的直线方程可设为: ，
将点 代入，所以 ，即 ,
所以过点 与 平行的直线方程为: ，故D选项错误.
故选：AB.
12.（2023秋·江苏启东·高三期中质量检测）已知点 满足 ，点 ， ，
，则（ ）
A. 当 最小时， B. 当 最大时，
C. 当 面积最大时， D. 当 最大时， 面积为
【答案】ABD
【解析】设点 ， ， ，
又 ，
得 ，
化简可得 ，即点 在以 为圆心， 为半径 的圆，又点 和点 均在圆外，
所以当 与圆相切时， 取最值，
设切点为 ，则 ，故A，B选项正确；
又 的面积 ，
所以当 最大时， 取最大值，
此时 ， ，C选项错误；
由 ，所以 ，
当且仅当 为 延长线与圆 的交点时，等号成立，
又 延长线方程为 ， ，
联立方程组 ，解得 （舍）， ，
所以 ，
此时 的面积为 ，D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13. （ 广 东 省 2024 届 普 通 高 中 毕 业 班 第 二 次 调 研 考 试 数 学 试 题 ） 写 出 满 足 “ 直 线 ：
与圆： 相切”的一个 的值_________.
【答案】 （或 ，答案不唯一）
【解析】由已知圆： 的圆心为 ，半径 ，
又直线： 与圆： 相切，
所以圆心到直线的距离 ，
解得 或 ，故答案为： （或 ，答案不唯一）.
14.（广东省2024届普通高中毕业班第二次调研考试数学试题）已知 是坐标原点，点 ，且点
是圆 ： 上的一点，则向量 在向量 上的投影向量的模的取值范围是
_________.
【答案】
【解析】设直线 倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，即
由圆 ： ，即 ，
所以圆心 ，半径 ，
又点 在圆上，
所以点 到直线 距离 ，解得 ，即 ，
的
当直线 的斜率不存在时， 方程为 与圆 相切，成立，此时 ，
综上 ， ，
则 ，
所以 ，即
所以 ，
即 ，
又所以向量 在向量 上的投影向量的模为 ，
故答案为： .
15.(2020江苏高考)在平面直角坐标系 中，已知 ， ， 是圆 上的两个
动点，满足 ，则 面积的最大值是__________．
【答案】
【解析】
设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 (负值舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为
，
故答案为：
16.(2022新高考全国II卷·第15题)设点 ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】 关于 对称的点的坐标为 ， 在直线 上，
所以 所在直线即为直线 ，所以直线 为 ，即 ；
圆 ，圆心 ，半径 ，
依题意圆心到直线 的距离 ，
即 ，解得 ，即 ；故答案为：
