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专题 21 圆中的最值问题
一、单选题
1．（2024届广东省信宜市高三上学期摸底）设O为坐标原点，A为圆C： 上一个动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如图所示，当直线 与圆相切时，A为切点，此时 最大，易得 ,
由 ，即 ，
所以 .故选C
2．（2023届天津市宁河区芦台第一中学高三上学期期末）己知直线： 被圆
截得的弦长为 ，则点 与圆上点的距离最大值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题可得，圆的半径 ，圆心 到直线 的距离为 ，
直线 被圆 截得的弦长为 ，解得 或 （舍去），则点 的坐标为 ，该点到圆心 的距离为 ，
所以点 到圆上点的距离最大值为 ，故选A.
3．（2024届浙江省嘉兴市高三上学期9月测试）已知点 是直线 ： 和 ：
的交点，点 是圆 ： 上的动点，则 的最大值
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线 ： ，即 ，
令 ，解得 ，可知直线 过定点 ，同理可知：直线 过定点 ，
又因为 ，可知 ，所以直线 与直线 的交点 的轨迹是以 的中点 ，半径
的圆，因为圆 的圆心 ，半径 ，
所以 的最大值是 .故选B.
4．（2024届广东省珠海市第二中学高三上学期10月月考）在平面直角坐标系中，过直线 上
一点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：由题意圆 的标准方程为 ， ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，
所以 ，所以不妨设 ，
则 ，
又因为 在 单调递增，所以当且仅当 即 ，即当且仅当直线 垂直已知直线
时， 有最大值 .故选A.
5．（2024届重庆市高三上学期9月月度质量检测）已知A，B是圆C： 上的两个动点，
且 ，若 ，则点P到直线AB距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】D【解析】由题意可知：圆C： 的圆心 ，半径 ，
则 ，设P、C到直线AB的距离分别为 ，
因为 ，解得 ，
分别过P、C作 ，垂足分别为 ，再过C作 ，垂足为 ，
显然当P、C位于直线AB的同侧时，点P到直线AB的距离较大，
则 ，当且仅当 ，即直线AB与直线PC垂直
时，等号成立，所以点P到直线AB距离的最大值为7.故选D.
6．（2023届河南省开封市通许县高三下学期押题）已知点 ，点 为圆 上一
动点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点 为圆 上一动点，故设 ，
则 ，
令 ，则 ，即 ，则，其中 为辅助角， ，
则 ，整理得 ，
故 的最大值为 ，故选A
7．（2023届四川省岳池中学高三上学期10月月考）已知点 是圆 上任意一点，
，则（ ）
A． 的最大值是 B． 的最小值是
C． 的最小值是 D． 的最大值是
【答案】B
【解析】圆的方程可化为 ，设 ， 且 ， 且 ，
则 ，当 ， 时， 取得最大值
，故A错误； ，
所以当 时， 取得最小值 ，故B正确；
，
所以当 时， 取得最小值 ，故C错误；
，所以当 时， 取得最大值 ，故D错误.故选B
8．（2024届THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期9月测试）已知三角形 中，
，角 的平分线交 于点 ，若 ，则三角形 面积的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在 中 ，在 中 ，
故 ， ，因为 ，故
，
又角 的平分线交 于点 ，则 ，故 .故 .
以 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为 ， ，
故 ， ，设 ，则 ，
即 ，故 ，
化简可得 ，即 ，故点 的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆（除
去 ）.故当 纵坐标最大，即 时 面积取最大值为 .
故选C
9．（2023届安徽省临泉第一中学高三下学期三模）在 中， ，D是以BC为直径的圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：
取BC，BD中点E，G，可知 ，且 ，取BE的中点O，则G为圆O上一点，所以
最大值为 ，故 的最大值为12.故选A.
10．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）已知抛物线 ，圆 ，若点 、
分别在 、 上运动，且设点 ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设圆心为 ，则 为抛物线 的焦点，
该抛物线的准线方程为 ，设 ，
由抛物线的定义得 ，要使 最小，则 需最大，如图， 最大时，经过圆心 ，且圆 的半径为1，
，且 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，由 ，
而 ，
得 ， 取得最小值 ，则 的最小值为 ．故选B．
11．（2023届福建师范大学附属中学高三上学期12月月考）已知实数 满足 ，
， ，则 的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】D
【解析】如图：
设 ， ，则原题等价于点 ， 是圆 上两点，
并且 ，所以 ，，
所以所求最大值就是 两点到直线 的距离之和 的 倍，
设AB的中点为M，由上图可知： ，就是M点到直线 的距离的 倍，
由于 是直角三角形， ，设 的中点为 ，所以 在圆 上
运动，所以本题等价于求 到直线 的距离 倍的最大值，
显然，最大值=原点O到直线 的距离与圆 的半径之和的 倍
；故选D.
12.圆 内一点 作倾斜角互补的直线 和 ，分别与圆交于 、 和 、 ，则四边
形 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设直线 的方程为 ，其中 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ， ，
易知四边形 为等腰梯形，所以，四边形 的面积为
，令 ，其中 ，则 ，当 时， ，此时函
数 单调递增，当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，因此，四边形 面积的最大值为 .故选D.
二、多选题
13．（2023届福建省厦门双十中学高三上学期10月考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿
基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值 的点的轨迹是圆．”后来人们
将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系 中， ， ，
点 满足 ，点 的轨迹为曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．直线 与曲线 有公共点
C．曲线 被 轴截得的弦长为
D． 面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】设 ，对于选项A，因为 ，所以 ，化简得 ，故
A正确；对于选项B，因为曲线C为 ，所以圆心为 ，半径为 ，计算圆心
到直线 的距离为 ，所以直线 与曲线C没有公共点，故B错误；
对于选项C，曲线 的圆心在 轴上，所以被 轴截得的弦即为直径，所以曲线 被 轴截得的弦长为，故C正确；对于选项D，因为 ， ，所以 ,故 ，
而曲线C为 ，所以 ，即 的最大值为 ，故D正确.
故选ACD
14．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已加点P是圆 上的一点．直线
与直线 交于点M．则下列说法正确的是（ ）
A． B．直线 与圆O相切
C．直线 被圆O截得的弦长为 D． 的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意可知：圆 的圆心 ，半径为3，因为 ，所
以 ，故A正确；圆心O到 的距离为 ，所以 与圆O相切，故B正确；
圆心O到直线 的距离为 ，所以弦长为 ，故C错误；
由 ，得 ，即 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，故D正确．
故选ABD．
15．（2023届河北省秦皇岛市联考高三冲刺）已知圆 ，直线 ，则下列结
论正确的是（ ）
A．存在实数k，使得直线l与圆C相切
B．若直线l与圆C交于A，B两点，则 的最大值为4C．当 时，圆C上存在4个点到直线l的距离为
D．当 时，对任意 ，曲线 恒过直线 与圆C的交点
【答案】BCD
【解析】 ，圆心 且半径为 ，
因为直线 过定点 ，且点 在圆上，若直线l与圆C相切，则直线l的斜率不存在，即 ，
故A不正确；当直线l经过圆心时， 取最大值即圆的直径 ，故B正确；
当 时，直线 ，因为圆心C到直线l的距离 ，所以 ，
所以圆C上有4个点到直线的距离为 ，故C正确；当 时，直线 ，曲线
，即 一定过直线 与圆 的
交点，故D正确．故选BCD．
16．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期3月测试）已知曲线 上的动点满足 ， 为坐标
原点，直线 过 和 两点， 为直线 上一动点，过点 作曲线 的两条切线 为切点，
则（ ）
A．点 与曲线 上点的最小距离为
B．线段 长度的最小值为
C． 的最小值为
D．存在点 ，使得 的面积为
【答案】CD
【解析】对于A，因为 ，设 ，则 ，可得曲线 的轨迹为圆.方程为直线 ： ，圆心 到直线 的距离为 ，
则点 与曲线 上点的最小距离为 ，故A错误；
对于B，由图可知，在直角三角形 中， ，要使得线段 的长度最
小，则 取最小值，由选项A可知， 长度的最小值为 ，故B错误；
对于C，设 ，则 ，
在直角三角形 中， ， ，
所以 ，
所以
令 ，又 ，所以 ，又函数 在区间 上单调递增，
所以 ，即 的最小值为3，故C正确；
对于D，由切线长定理知，直线 垂直平分线段 ，得
，
当且仅当 与直线 垂直时取等号，即弦 长度的最小值为 .
此时 ，设 的中点为 ，则 ，
所以 ，
所以 的面积的最小值为 ，又 ， ，的面积所以存在点 ，使得 的面积为3，故D正确.故选CD.
17．（2024届福建省泉州市高三高中毕业班质量监测）已知 的顶点 在圆 上，
顶点 在圆 上.若 ，则（ ）
A． 的面积的最大值为
B．直线 被圆 截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点 ，使得 为等边三角形
D．有且仅有一个点 ，使得直线 ， 都是圆 的切线
【答案】ACD
【解析】设线段 的中点为 ，因为圆 的半径为2， ，
所以 ，且 ，
对于A选项，设点 到直线 的距离为 ，则 ，
所以当且仅当 四点共线时，点 到直线 距离的最大值为15，所以 的面积的最大值为
，故A正确；对于B选项，点 到直线 的距离小于等于 ，当 时，等号成立，又
的最大值为7，所以点 到直线 的距离的最大值为7，这时直线 被圆 截得的弦长的最小值为
，故B错误；对于C选项，若 为等边三角形，则需 ， ，因为
，所以点 的轨迹是以 为圆心的单位圆，所以 ，又 的最小值为4，所以 ，
当且仅当 四点共线时成立，因此有且仅有一个点 ，使得 为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线 ， 都是圆 的切线，则 ，由射影定理，可得 ，
同上，当且仅当 三点共线时， ，因此有且仅有一个点 ，使得直线 ， 都是圆 的
切线，故D正确；故选ACD
三、填空题
18．（2024届山东省临沂市高三上学期联考）已知A，B为圆 上的两点， ，M为
的中点，则M到直线 距离的最小值为 ．
【答案】
【解析】由垂径定理可知 ，∴ ，∴M的轨迹是以O为圆心， 为半径的圆，
O到l的距离 ，∴M到直线 距离的最小值为 ．
19．（2023届江西省九江市高三一模）已知点 分别是抛物线 和圆
上的动点，点 到直线 的距离为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：由圆 的标准方程为 可知圆心 ，半径为 ，抛物线 的焦点为 ，准
线方程为 ，由抛物线定义可知 ，
圆外一点到圆上点的距离满足 ，即 ；
所以 ，
当且仅当 三点共线时，等号成立；即 的最小值为 ．
20．（2024届福建省厦门第一中学高三上学期9月月考）已知 ，
，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当 取到最
小值时，点P坐标为 .
【答案】
【解析】 的圆心为 ，半径 ，
的圆心为 ，半径 ，
设 ，则 ，
所以 ，
取 ， ，则 ，
当 三点共线时取等号，此时 直线：
令 ，则 ，21．（2023届海南省海口市海南华侨中学高三模拟测试）已知圆 ： 的图象在第四象
限，直线 ： ， ： .若 上存在点 ，过点 作圆 的切线 ， ，切点分
别为A， ，使得 为等边三角形，则 被圆 截得的弦长的最大值为 .
【答案】
【解析】
由已知可得，圆 的圆心 ，半径 ，且有 .则圆心到直线 ： 的距离
.又直线 方程可化为 ，可知 ， ，
所以直线 过一、二、三象限，不过第四象限，直线 与圆相离.
由题意易知 ，则 ， ，
所以有 ，即 ，所以 .
又 ， ，所以 ， ，所以 .所以圆心 到直线 的距离 ，
所以，直线 与圆 总相交，
又 ，所以 被圆 截得的弦长为 .
22．（2023届河北省盐山中学高三模拟）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥曲线有深刻而系统
的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的
是“如果动点 与两定点 的距离之比为( ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我
们来研究与此相关的一个问题，已知点 为圆 上的动点， ，则
的最小值为.
【答案】
【解析】
假设存在这样的点 ，使得 ，则 ，设点 ，则
，
即 ，
该圆对照 ，所以 ，所以点 ，
所以 .
