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成都七中高 2024 届零诊模拟考试数学试题（文科）
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：共12道小题，每题5分，共60分．
1. 直线 ： 与直线 ： 平行，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行得到方程和不等式，求出答案.
【详解】由题意得 ，解得 .
故选：A
2. 设 ，则 的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的除法及加减运算求解作答.
【详解】依题意， ，
的
所以复数 虚部为1.
故选：C
3. 一组数据包括47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为（ ）
A. B. C. 10 D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】根据平均数、方差公式计算可得.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】依题意这组数据的平均数为 ，
所以方差为 ，
则标准差为 .
故选：A
4. 已知函数 在其定义域 上的导函数为 ，当 时，“ ”是“ 单调递增”的（
）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数 在其定义域 上的导函数为 ，
若当 时， ，则 单调递增，故充分性成立；
若 在 上单调递增，则 ，
如 ，显然函数 在 上单调递增，但是 ，故必要性不成立；
故“ ”是“ 单调递增”的充分不必要条件.
故选：D
5. 圆 ： 与直线 ： 的位置关系为（ ）
A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心坐标与半径，再将直线方程化为一般式，根据圆心到直线的距离即可判断.
【详解】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】直线 ： 即 ，则圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相切.
故选：A
6. 如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若
输入的 、 分别为 、 ，则输出的 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
.
根据题意，由程序框图，逐步运算，即可得出结果
【详解】第一步：初始值 ， ；此时 ；进入循环；
第二步： ，计算 ，此时 ，进入循环；
第三步： ，计算 ，此时 ，进入循环；
第四步： ，计算 ，此时 ，进入循环；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第五步： ，计算 ，此时 ，结束循环，输出 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查循环程序框图求输出值，属于基础题型.
7. 直线 与抛物线 交于 、 两点，若 ，其中 为坐标原点，则
的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点 、 的坐标，根据 求出 的值，即可得出抛物线 的准线方程.
【详解】不妨设点 在第一象限，则点 在第四象限，
联立 可得 ，则点 、 ，
所以， ，解得 ，因此， 的准线方程为 .
故选：B.
8. 函数 的图象经过变换 后得到函数 的图象，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知可得出 ，代入 可得出 的表达式，即可得出 的表达式.
【详解】由已知可得 ，代入 可得 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，因此， .
故选：B.
9. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或是丙
获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖了．”四位歌手的话只有两句是对
的，则获奖歌手是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】逐一验证即可.
【详解】若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意
故获奖的歌手是丙
故选：C
10. 点 、 在以 为直径的球 的表面上，且 ， ，已知球 的表面积是 ，
下列说法中正确的个数是（ ）
① 平面 ；②平面 平面 ；③ ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断命题①；取线段 的中点 ，连接 ，利用球体的几何性
质可得出 平面 ，再利用中位线的性质结合面面垂直的判定定理可判断②；利用反证法可判断
③.
【详解】对于①，因为 为球 的直径， 为球 上异于 、 的一点，所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，①对；
对于②，取线段 的中点 ，连接 ，
因为 ，则 为 外接圆的圆心，
由球的几何性质可知 平面 ，
因为 、 分别为 、 的中点，则 ，则 平面 ，
又因为 平面 ，因此，平面 平面 ，②对；
对于③，因为 平面 ， 平面 ，所以， ，
若 ，且 ， 、 平面 ，则 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
事实上，因为 ，且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，这与 矛盾，假设不成立，故 与 不垂直，③错.
故正确命题为①②.
故选：C.
11. 关于圆周率 ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启
发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 的值：先请100名同学每人随机写下一个 ， 都小于1的
正实数对 ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 的个数 ；最后再根据统计数 估计
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的值，假如某次统计结果是 ，那么本次实验可以估计 的值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据约束条件 画出可行域，得到面积，根据几何概型得到答案.
【详解】
∵ 而满足构成钝角三角形，则需 画出图像：
弓形面积： ，∴ ．
故选
【点睛】本题考查了几何概型，画出图像是解题的关键，意在考查学生的综合应用能力.
12. 函数 零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数 、 的图象，观察两个函数图象的公共点个数，可得出结论.
【详解】令 可得 ，作出函数 、 的图象如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
又因为 ，所以，函数 、 在 上的图象没有交点，
观察图象可知，函数 、 的图象有三个交点，
因此，函数 的零点个数为 .
为
故答案 ：B.
二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分．
13. 命题“ ， ”的否定为________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，即可得解.
【详解】命题“ ， ”为全称量词命题，
其否定为： ， .
故答案为： ，
14. 函数 的图象在 处的切线方程为________．
【答案】
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程.
【详解】因为 ，则 ， ，
则 ，
所以切线方程为 ，整理得 .
故答案为：
15. 某区为了解全区 名高二学生的体能素质情况，在全区高二学生中随机抽取了 名学生进行体
能测试，并将这 名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．根据此频率分布直方图，这 名
学生平均成绩的估计值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据所有矩形面积之和为 求出 的值，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可
得这 名学生平均成绩.
【详解】由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为 ，
可得 ，解得 ，
由频率分布直方图可知，这 名学生平均成绩的估计值为
分.
故答案为： .
16. 双曲线 ： 其左、右焦点分别为 、 ，倾斜角为 的直线 与双曲线 在
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第一象限交于点 ，设双曲线 右顶点为 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围为
________．
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ，然后在 中利用余弦定理列方程可表示出 ，再由
可求出离心率的范围
【详解】设 ，则 ，
因为直线 的倾斜角为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
得 ，
因为 ，所以
得 ， ，
所以 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 ，
即双曲线 的离心率的取值范围为
故答案为：
【点睛】关键点睛：此题考查求双曲线的离心率的范围，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是根
据题意在 中利用余弦定理表示出 ，然后代入已知条件中可求得结果，考查数学转化思想，
属于较难题.
三、解答题：共5道大题，共70分．
17. 设函数 ，
（1）求 、 的值；
（2）求 在 上的最值．
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，令 求出 ，再令 求出 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可得 ，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极值，再
由区间端点的函数值，即可得解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，取 ，则有 ，即 ；
所以 ，取 ，则有 ，即 ．
故 ， ．
【
小问2详解】
由（1）知 ， ，
则 ，
所以 、 与 ， 的关系如下表：
0 1 2
0
单调递增 极大值 单调递减
故 ， ．
18. 如图1， 、 、 分别是边长为 的正方形的三边 、 、 的中点，先沿着虚线段 将
等腰直角三角形 裁掉，再将剩下的五边形 沿着线段 折起，连接 、 就得到了一个
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】空间五面体，如图2．
（1）若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在图2中取线段 中点 ，连接 、 ，证明出四边形 是平行四边形，可得
出 ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出 平面 ，计算出 的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥 的体积．
【小问1详解】
证明：在图2中取线段 中点 ，连接 、 ，如图所示：
由图1可知，四边形 是矩形，且 ，
因为 是线段 与 的中点，所以， 且 ，
在图1中， 且 ，而 且 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以在图2中， 且 ，
所以， 且 ，
所以，四边形 平是行四边形，则 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以， 平面 ．
【小问2详解】
解：翻折前， ， ，
翻折后，则 ， ， 、 面 ， ，
所以， 平面 ，
因为 ，
所以 ，
即三棱锥 的体积为 ．
19. 信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，是数字经济的重要抓手之
一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．
下表为2018—2022年中国信创产业规模（单位：千亿元），其中2018—2022年对应的代码依次为1~5．
年份代码x 1 2 3 4 5
中国信创产业规模y/千亿元 8.1 9.6 11.5 13.8 16.7
（1）从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据，求这2个数据都大于10的概率．
（2）由上表数据可知，可用指数型函数模型 拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程
（a，b的值精确到0.01），并预测2023年中国信创产业规模能否超过20千亿元．
参考数据：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.45 38.52 6.81 1.19 2.84
其中 ， ．
参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最
小二乘估计公式分别为 ， ．
【答案】（1）
（2） ，不会超过20千亿元．
【解析】
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，利用列举法可得 2个数据都大于10的概率为 ；（2）将指
数型函数模型 两边取对数可得 ，即 ，再利用参考数据可得回
归方程为 ，将2023年的年份代码6代入可得 ，即可得出结论.
【小问1详解】
从2018—2022年中国信创产业规模中任取2个数据有
， ， ， ， ， ，
， ， ， ，共10种情况．
其中这2个数据都大于10的有 ， ， ，共3种情况，
所以2个数据都大于10的概率 ．
【小问2详解】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两边同时取自然对数，
得 ，则 ．
因为 ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
即 ，所以 ，
即y关于x的回归方程为 ．
2023年的年份代码为6，把 代入 ，
得 ，
所以预测2023年中国信创产业规模不会超过20千亿元．
20. 椭圆 上顶点为 ，左焦点为 ，中心为 ．已知 为 轴上动点，直线
与椭圆 交于另一点 ；而 为定点，坐标为 ，直线 与 轴交于点 ．当 与 重合
时，有 ，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 的横坐标为 ，且 ，当 面积等于 时，求 的取值．
【答案】（1）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
【解析】
【分析】（1）由 结合平面向量的坐标运算可求得 的值，由 结合平面内两点
间的距离公式可求出 的值，进而可求得 的值，由此可得出椭圆 的标准方程；
（2）将直线 的方程与椭圆 的方程联立，求出点 的纵坐标，写出直线 的方程，可得出点 的
纵坐标，由 可得出 ，再结合 面积等于 可求得 的值.
【小问1详解】
解：设 ，由 知 ，即 ，
由 知 ，即 ，则 ，
故椭圆 的标准方程为 ．
【小问2详解】
解：直线 的方程为 ，
联立 联立可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ，，
所以， ，即 ，
直线 的方程为 ，令 ，可得 ，
由 知 ，
即 ， ，
而 ，解得 ，或 （舍去），故 的取值为 ．
21. 设函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 在 上的极值；
（2）若 ，设 为 的导函数，当 时，有 ，求正实数 的取值
范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函
数的极值；
（2）依题意可得 ，整理得 ，令 ，
，求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，结合函数的单调性，即可得解.
【小问1详解】
由 知 ，
①当 时，且有 ， ， 单调递增，故无极值；
②当 时，有 ， ， 单调递减，
而 ， ， 单调递增，故 ， 无极大值．
综上，当 时， 无极值；
当 时， 极小值为 ， 无极大值．
【小问2详解】
当 时由（1）可知 ，即有 ，
由 整理可得 ，令 ， ，
所以 ，
①当 时，且 ，有 ， 单调递增， ，满足题设；
②当 时，且当 ，有 ， 单调递减， ，不满足题设；
综上， 的取值范围为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】22. 在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 和直线 的极
坐标方程分别为 和： ．且二者交于 ， 两个不同点．
（1）写出曲线 和直线 的直角坐标方程；
（2）若点 的极坐标为 ， ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）2或
【解析】
【分析】（1）利用极坐标与平面直角坐标方程互化公式进行求解；
（2）先判断出 的直角坐标为 ，在直线 上，写出直线 的标准参数方程，代入曲线的普通方程中，
得到 ，分 且 ， 两种情况，列出方程，求出答案.
【小问1详解】
由 ，得 ，
故曲线 的直角坐标方程为 ，即 ；
由 ，得 ，
故直线 的直角坐标方程为 ．
【小问2详解】
因为 ，
所以点 的直角坐标为 ，在直线 上，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】而直线 的标准参数方程为 （ 为参数），
将其代入 ，整理可得 ．
由题设知 ，解得 ．
又 ， ．
当 ，且 时，有 ， ，则 ，
解得 ，满足要求；
当 时，有 ，
则 ，
解得 ，满足要求．
故 的值为2或 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
