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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(54)
(计数原理)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.若 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由 和组合数公式得 ,化简得
,解之得 .
故选：C
2.（江苏省八市2023届高三下学期第二次调研测试数学试题）已知 的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（ ）
A. 60 B. 80 C. D.
【答案】B
【解析】当 时， ，解得 ，
则 的展开式第 项 ，
令 ，解得 ，所以 ，
故选：B
3.(江苏省盐城中学等四校联考2024届高三上学期12月阶段检测数学试题)将甲，乙，丙，丁，戊五名志
愿者安排到 四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被
安排在 社区的不同安排方法数为（ ）
A. 24 B. 36 C. 60 D. 96
【答案】C
【解析】分两种情形：① 社区只有甲，则另4人在3个社区，此时有 ；
② 社区还有另一个志愿者，此时有 ，
，甲恰好被安排在 A 社区有60种不同安排方法.故选：C.
4.若多项式 ，则 （ ）
A. 9 B. 10 C. -9 D. -10
【答案】D
【解析】多项式 ，
等号右侧只有最后一项 的展开式中含有 ，并且 的系数为 ，等号左侧 的系数是1，
∴ ;又 的系数在右侧后两项中， 的系数为 ，左侧 的系数是0，
∴ ， ∴ .
故选：D．
5.(江苏省新高考基地学校2024届高三上学期第三次大联考数学试题改编)若一个五位数的各个数位上的数
字之和为3，则这样的五位数共有（ ）个．
A. B. 20 C. 10 D.1
【答案】A
【解析】若一个五位数的各个数位上的数字之和为3，则这样的五位数可分为 类：
第一类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 在首位，其余各位为 ，即 ，仅有 种方法；
第二类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 或 在首位，选 个放在首位，另 个则从其它 个位选 个位放上，其余各位为
，
共有 种方法；
第三类，五位数的各个数位上的数字是 个 ， 个 组成，
则由首位不为 可知， 在首位，在其它 个位中选 个位为 ，其余各位为 ，共有 种方法；
所以由分类计数原理可得共有 个这样的五位数.
故选：A
6.(安徽省皖豫名校联盟2024届高中毕业班第二次联考数学试题)有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每
人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用，则不同的录用
情况种数是（ ）
A. 60 B. 114 C. 278 D. 336
【答案】D
【解析】分三类情况，第一类情况，只录用 3人，有 种情况；第二类情况，只录用 4人，有
种情况；
第三类情况，录用5人有两种情况： 或 ，有 种情况．
所以根据分类加法计数原理共有 种．
故选：D.
7.（江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024届高三12月联考数学试题）若 的展开式
中所有项的二项式系数之和为16，则 的展开式中的常数项为（ ）
A. 6 B. 8 C. 28 D. 56
【答案】C
【解析】由 的展开式中所有项的二项式系数之和为16，得 ，所以 ，
则二项式 的展开式的通项公式为 （ 且 ），
令 ，解得 ，
所以 ，故 的展开式中的常数项为28，
故选：C．
8.某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、化学、生物、历史、地理、
政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学科分别进行学法指导，每天
依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、政治排在同-天．化学、地理
排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先将语文、数学、英语排在第二节，有 种排法，
将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有 种排法，
将捆绑后的三个元素排在三天，有 种排法，
则不同的排课方案的种数为 种.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
A. 展开式中二项式系数之和为32 B. 展开式中各项系数之和为1C. 展开式中二项式系数最大的项为第4项 D. 展开式中系数最大的项为第4项
【答案】BC
【解析】关于 的展开式，根据二项式的展开式的应用： ，
对于选项A：展开式中二项式系数之和 ，故错误．
对于选项B：利用赋值法的应用，当 时，各项的系数的和为 ，故正确．
对于选项C：展开式中二项式系数最大的项为第4项 ，故正确．
对于选项D：展开式中系数最大的项为第2项，系数为 ．故错误．
故选：BC．
10.下列说法正确的为（ ）
A. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 种不同的分法；
B. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法；
C. 6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法；
D. 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有540种不同的分法．
【答案】ACD
【解析】对于A，6本不同的书中，先取 本给甲，再从剩余的 本中取 本给乙，
最后 本给丙，共有 种不同的分法，故A正确；
对于B，6本不同的书中，先取 本作为一组，再从剩余的 本中取 作为一组，
最后 本 作为一组，共有 种，再将 分给甲、乙、丙三人，
共有 种，故B不正确；
对于C，6本相同的书分给甲、乙、丙三人，利用挡板法 种；
对于D， 6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，分 种情况讨论：
①一人 本，其他两人各 本，共有 ；
②一人1本，一人2本，一人3本，共有 种，
③每人2本，共有 ，
故共有 种.
故选：ACD11.设常数 ， ，对于二项式 的展开式，下列结论中，正确的是（ ）
A．若 ，则各项系数随着项数增加而减小
B．若各项系数随着项数增加而增大，则
C．若 ， ，则第7项的系数最大
D．若 ， ，则所有奇数项系数和为239
【答案】BCD
【解析】二项式 的展开式的通项为 ，
对于A，当 时，则任意项的系数均为0（除常数项），故A错误；
对于B，若 ，则最后两项为 ，有 ，与已知矛盾，故 ，故B正
确；
对于C，若 ， ，则各项系数为 ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，故第7项的系数最大，故C正确.
对于D，若 ， ，则所有奇数项系数和为
，故D正确，
故选：BCD.
12.在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要
求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目
中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政
治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】BD
【解析】若任意选科，选法总数为 ，A错；若化学必选，选法总数为 ，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为 ，C错；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
，D正确．
故选:BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考） 的展开式中 的系数是__________（用数
字作答）．
【答案】
【解析】 的通项为 ，
令 ，得 的展开式中 的系数是 ．
故答案为：80
14.（江苏省南通市如皋市2024届高三上学期教学质量调研（三）数学试题）某校将8个足球赛志愿者名
额分配到高一年级的四个班级，每班至少一个名额，则不同的分配方法共有_________种（用数字作
答）．
【答案】
【解析】根据题意，将8个名额排成一列，有7个间隔，
在这7个间隔中插入3个隔板，可将8个名额分成4组，依次对应4个班级，
则有 种分配方法，
故答案为： .
15.（江苏省扬州市仪征中学、江都中学2024届高三12月联考数学试题）某医院安排王医生、李医生、赵
医生、张医生、孙医生5人到三个社区开展主题为“提高免疫力，预防传染病”的知识宣传活动，要求每人
只能参加一个社区的活动，每个社区必须有人宣传，若李医生、张医生不安排在同一个社区，孙医生不单
独安排在一个社区，则不同的安排方法有______种．
【答案】
【解析】由题意知可分为两类：
第一类：一个社区3人，剩下两个社区各1人，
当李医生、张医生2人都单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
第二类：一个社区1人，剩下两个社区各2人，
当李医生、张医生中有1人单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
当李医生、张医生都不单独安排到一个社区时，有 种不同的安排方法；
综上可知，共有 （种），
故答案为：
16.二项式定理(Binomialtheorcm)，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出：该定理给出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式.二项式 的展开式中系数最大的项是
_______；系数之和是_______.
【答案】 4096
【解析】由题意二项式 的展开式的通项公式为： ，
假设第 项的系数最大，即 最大，
则 ，结合 ，解得当 时，即第6项的系数最大，
所以系数最大的项是： ，
因为当 时，二项式为 ，所以二项式系数之和为4096.
故答案为： ，4096
