文档内容
2023年高考押题预测卷02【云南，安徽，黑龙江，山西，吉林
五省专用】
数学•全解全析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ， ， ，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设知 ，讨论 、 求a值，结合集合的性质确定a值
即可.
【详解】由 知： ，
当 ，即 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
当 ，即 或 ，
若 ，则 ，与集合中元素互异性有矛盾，不符合；
若 ，则 ， ，满足要求.
综上， .
故选：A
2．已知复数z满足 ，若 ，则复数z为（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据复数的模的计算求得a的值，再根据复数的除法运算即可求得答案.
【详解】由 有 ，即 ，
解得 ，当 时， ,
当 时， .
故选：C
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，令 的指数为 ，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】 的展开式通项为 ，
因为 ，
在 中，令 可得 ，
在 中，令 可得 ，
因此，展开式中 的系数为 .
故选：D.
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学参加劳动技术比赛，决出第一名到第五名的名次．
甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军，”对乙说：
“你不是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（ ）不同的排列
A．36 B．54 C．60 D．72
【答案】B
【分析】利用特殊元素特殊位置优先考虑，结合分步乘法计数原理即可求解.
【详解】分三步完成：冠军有 种可能，乙的名次有 种可能，余下 人有 种可
能，所以5人的名次排列有 种不同情况.
试卷第2页，共23页故选：B.
5．2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器在火星成功着陆.截至目
前，祝融号火星车在火星上留下1900多米的“中国脚印”，期待在2050年实现载人
登陆火星.已知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次
方与它的公转周期的二次方的比值都相等.若火星与地球的公转周期之比约为 ，则
地球运行轨道的半长轴与火星运行轨道的半长轴的比值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知先设周期再应用分数指数幂与根式的互化得出比值.
【详解】设地球的公转周期为 ，则火星的公转周期为 .
设地球､火星运行轨道的半长轴分别为 ， ，
则 ，
于是 .
故选: A.
6．如图，在已知直四棱柱 中，四边形 为平行四边形，
分别是 的中点，以下说法错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．
C． 平面
D．若 ，则平面 平面【答案】B
【分析】利用正切值相等可说明 ，由此可得 ，结合平行关
系可知A正确；由 ， 可知B错误；通过证明四边形 为
平行四边形可得 ，由线面平行判定可知C正确；根据 ， ，
由线面垂直和面面垂直的判定可知D正确.
【详解】对于A，连接 ，
， ，
，又 ， ，即 ；
， ， 四边形 为平行四边形， ，
，A正确；
对于B，连接 ，
试卷第4页，共23页分别为 中点， ，又 ， ，
， 与 不平行，B错误；
对于C，连接 ，
分别为 中点， ， ；
， ， 四边形 为平行四边形， ， ，
为 中点， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，C正确；
对于D，连接 ，
，四边形 为平行四边形， 四边形 为菱形， ；
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，D正确.
故选：B.7．若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
8．设点 ， ，圆 ： ，点 满足 ，设点
的轨迹为 ， 与 交于点 ， ， 为直线 上一点（ 为坐标原点），则
（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】求出 点的轨迹方程（得出轨迹是圆），两圆方程相减得直线 方程，由
几何法求得弦相交 的长，根据平面向量数量积的运算律与定义计算：
．
【详解】设 ，由 ，得 ，
整理得： ．即 ： ；又圆 ： ，则
,
试卷第6页，共23页∴ ，
联立 与 ，得 ： ．
∴ 点到直线 的距离 ．
则 ，
∴ ．
故选：C．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知向量 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
【答案】AC
【分析】根据向量平行的坐标表示列方程求 ，判断A，根据向量垂直的向量表示结合
数量积的坐标运算求 ，判断B，由 两边平方可得 ，结合数量积坐标运算求 ，再求 判断C，由条件可得 ，且向量 与 不共线，列
不等式 的取值范围，判断D.
【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，所以 ，A正确；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，B错误；
对于C，由 可得， ，
所以 ，所以 ，由 ， ，
可得 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，C正确；
对于D，由向量 与 的夹角为锐角，可得 ，且向量 与 不共线，
所以 ，且 ，所以实数 的取值范围是 ，D错误；
故选：AC.
10．已知 为坐标原点，椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ，椭圆的上
顶点和右顶点分别为A、B，点P、Q都在 上，且 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 周长的最小值为14
B．四边形 可能是矩形
C．直线 ， 的斜率之积为定值
试卷第8页，共23页D． 的面积最大值为
【答案】ACD
【分析】对四个选项一一判断：对于A：利用椭圆的对称性，判断出PQ为椭圆的短轴
时， 周长最小.即可判断；对于B：判断出 ，从而四边形 不
可能是矩形.即可判断；对于C：设 ，直接计算出 .即可判断；对
于D.由 的面积为 .即可判断.
【详解】由 ，可知P，Q关于原点对称.
对于A.根据椭圆的对称性， ，当PQ为
椭圆的短轴时， 有最小值6，所以 周长的最小值为14.故A正确；
对于B.因为 ，所以 ，
则 ，故椭圆上不存在点 ，使得 ，
又四边形 是平行四边形，所以四边形 不可能是矩形.故B不正确.
对于C.由题意得 ，设 ，则 ，
所以 .故C正确；
对于D.设 的面积为 ，所以当PQ为椭圆的短轴时，
最大，所以 .故D正确.
故选：ACD.
11．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）A． 在区间 上单调递增
B． 的最小正周期为
C． 的值域为
D． 的图象可以由函数 的图象，先向左平移 个单位，再向上平移
个单位得到
【答案】ABD
【分析】对于A：整理可得 ，结合正弦函数单调性分析判断；对
于B、D：整理可得 ，进而可求周期判断选项B，根据图形变换分
析运算，可判断选项D；对于C： ，换元
，可得 ，
构建 ， ，利用导数求其最值.
【详解】对于A：由题意可得： ，
∵ ，则 ，且 在 上单调递增，
∴ 在区间 上单调递增，故A正确；
对于B、D：由题意可得：
试卷第10页，共23页，
故 的最小正周期为 ，故B正确；
函数 的图象，先向左平移 个单位，得到
，
再向上平移 个单位，得到 ，故D正确；
对于C：由题意可得：
，
令 ，则 ，
可得 ，
构建 ， ，则 ，
由于 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
显然 ，
故 在 上的值域为 ，
所以 的值域为 ，故C错误；
故选：ABD.12．如图，已知四棱锥 的外接球的直径为4，四边形ABCD为正方形，平面
平面APB，G为棱PC的中点， ，则（ ）
A． 平面PCD
B．
C．AC与平面PBC所成角的正弦值为
D．四棱锥 的体积为
【答案】ABC
【分析】A.由 ，利用线面平行的判定定理判断；B.易得 平面PBC，再
利用线面垂直的性质定理判断；C.易知 为AC与平面PBC所成的角求解判断；D.
根据平面 平面APB，过P作 ，由面面垂直的性质定理，得到
平面ABCD，再由 求解判断.
【详解】解： 因为 ， 平面PCD， 平面PCD，所以 平面
PCD，故A正确；
平面 平面APB，且 ，所以 ，又 ，从
而 平面PBC，所以 ，故B正确；
易知 ，所以四棱锥 的外接球的直径为AC，所以 ，所以
，所以 ，因为 平面PBC，所以 为AC与平面PBC所成
的角，所以 ，故C正确；
试卷第12页，共23页如图所示：
因为平面 平面APB，过P作 ，根据面面垂直的性质定理，可知
平面ABCD，因为 ，所以 ，所以
，故D错误．
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若“ ”为假命题，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由“ ”为真命题，利用判别式法求解.
【详解】解：由条件可知“ ”为真命题，
则 ，即 .
故答案为：
14．已知在等比数列 中， 、 分别是函数 的两个驻点，则
_____________．
【答案】【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得 ， 的关系，后利用等比数列的性质可
得答案.
【详解】由题意可得： ，
则 、 是函数 的零点，则 ，
且 为等比数列，设公比为 ，
可得 ，解得 ，
注意到 ，可得 .
故答案为： .
15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点
是 上一点，点 是直线 与 轴的交点， 的内切圆与
相切于点 ，若 ，则椭圆 的离心率 __________．
【答案】
【分析】设内切圆与AM切于Q，与 切于P，由切线性质知 ，结合椭圆
定义建立 的关系求得 .
试卷第14页，共23页【详解】
设内切圆与AM切于Q，与 切于P，由切线性质知 ，
， ，
由对称性知 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
16．已知曲线 过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于
点P， ．记A，B两点的横坐标分别为 ,则 ______．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义，结合图象及垂直的斜率关系计算即可.
【详解】当x>0时， ；当x<0时， ，
根据导数的几何意义结合图象，不妨设 ， ．
因为曲线 在点A，B处的两条切线互相垂直，所以 ，整理得，所以是 ．
故答案为：-1
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．设数列 的前 项和为 ， ， 是等比数列， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 之间的关系，可得数列 的通项公式；
（2）利用等比数列的通项公式可得 ，利用裂项相消法与分组求和法可得 .
【详解】（1） ，
当 时， ，
当 时， ，
，
试卷第16页，共23页当 时， 符合上式，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由（1）得 ，则 ，
， ，
在等比数列 中，公比 ， ，
，
数列 的前 项和
.
18．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 边上的中线 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过三角恒等变换和正弦定理化简即可.
（2）将中线 转化为向量 的模长，从而求出 的最大值，即可
求出面积的最大值.
【详解】（1）依题意有
，又 ，，又 ，
解得 ， ，
；
（2）因为
所以 ，
当且仅当 时成立，
故 面积的最大值为 .
19．如图，四棱锥 中，侧面 底面ABCD， ， ，
， ，E，F分别是SC和AB的中点， ．
(1)证明： 平面SAD；
(2)点P在棱SA上，当 与底面 所成角为 时，求二面角 的正弦
值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设M为SD的中点，证明 ，根据线面平行判定定理证明结论；
（2）设N是DC的中点，由面面垂直判定定理证明 平面 ，再证明
，以点 为原点，建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量和平面
试卷第18页，共23页的法向量，由向量夹角公式求点 的坐标，再求平面 和平面 的法向量，
利用向量夹角公式求结论.
【详解】（1）设M为SD的中点，连接ME，MA，
因为ME是 的中位线，所以 ，
又因为 ，且 ，所以底面ABCD为平行四边形．
所以 ，又 ，且 ，故 ，
且 ，所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 ，又 ，
所以 ，故 ．
设N是DC的中点，连接SN，因为 ，
所以 ，又平面 平面 ，
平面SDC，平面 底面 ，
所以 平面 ．
连接 ，在 中， ，
所以 是正三角形，
在 中， ，所以 ，
所以 ，即 ．
因为 两两互相垂直，故以 为坐标原点，
以向量 为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系 ．在 中，由余弦定理得 ．
过点P作 ， ，
因为 平面 ，所以 底面 ，
因为 ，所以 与 相似，
因为 ，所以 ．
设P的坐标为 ，
则 ， ，
故 ，
设底面ABCD的法向量为 ，
当PF与底面ABCD所成角为 时， 与 所成角为 ．
故 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
试卷第20页，共23页设平面 的法向量为 ，
则 ，即
取 ，可得 ，
所以 为平面 的一个法向量，
设平面PAF的法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，可得 ，
所以 为平面 的一个法向量，
故 ．
所以二面角 的正弦值为 ．
20．为进一步巩固提升全国文明城市，加速推行垃圾分类制度，铜川市推出了两套方
案，并分别在 、 两个大型居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，向小区
居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，
定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：在小区内设立智能化分类垃圾
桶，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操
作.并建立激励机制，比如，垃圾分类换积分兑换礼品等，以激发带动居民参与垃圾分
类的热情.经过一段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷
调查，记录他们对试行方案的满意度得分（满分100分），将数据分成6组： ，
， ， ， ， ，并整理得到如下频率分布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾
分类推广措施更受居民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分认为居民赞成推行此方案，低于
70分认为居民不赞成推行此方案，规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续
推行该方案，判断两小区哪个小区可继续推行方案？
(3)根据（2）中结果，从可继续推行方案的小区所抽取100人中再按居民态度是否赞成
分层抽取一8人样本作为代表团，从代表团中选取两人做汇总发言，求至少有一个不
赞成的居民被选到发言的概率.
【答案】(1) 小区平均分为 ， 小区平均分为 ，方案二的垃圾分类推行措施
更受居民欢迎
(2) 小区可继续推行方案二
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的求法分别计算，即可得出结论；
（2）分别求出 小区即方案一中，满意度不低于70分的频率和 小区即方案二中，
满意度不低于70分的频率，由此即可得出结论；
（3）结合（2）的结论，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）设 小区方案一的满意度平均分为 ，则
设
小区方案二的满意度平均分为 ，则
试卷第22页，共23页∵
.∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.
（2）由题意可知：
小区即方案一中，满意度不低于70分的频率为 ，以
频率估计概率，赞成率为62%
小区即方案二中，满意度不低于70分的频率为 ，以
频率估计概率，赞成率为75%.
∴ 小区可继续推行方案二.
（3）由（2）中结果，在 小区不赞成25人中，取 人，赞成的75人中取
人组成代表团，设至少有一个不赞成居民做汇总发言的概率为 ，记不赞
成的两人为 ，赞成的6人为 ，从中任选两人，则有以下情况：
共28种情况，其中至少有一个不赞成的居民被选到发言的有，
共13种，
由古典概型的概率计算公式可得 .
21．已知抛物线 的焦点为 ， 分别为 上两个不同的动点，
为坐标原点，当 为等边三角形时， .
(1)求 的标准方程；
(2)抛物线 在第一象限的部分是否存在点 ，使得点 满足 ，且点 到
直线 的距离为2？若存在，求出点 的坐标及直线 的方程；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)
(2)存在，点 ，直线 的方程为 .【分析】（1）由对称性可知当 为等边三角形时， 两点关于 轴对称，可得
点 在 上，代入 ，解得 ，即得 的标准方程；
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线联立，结合韦达定理和条件
，得 ，由点 到直线 的距离为2，可得 ，联
立可解得答案．
【详解】（1）由对称性可知当 为等边三角形时， 两点关于 轴对称，
当 为等边三角形时， 的高为 ，
由题意知点 在 上，代入 ，得 ，解得 ，
所以 的标准方程为 .
（2）由（1）知 ，根据题意可知直线 的斜率不为0，
设直线 的方程为 ， ， ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，即 ，且 ， ，
所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又点 在 上，所以 ，即 ，①
试卷第24页，共23页所以 ，解得 ，
又点 在第一象限，所以 ，所以 .
又点 到直线 的距离 ，化简得 ，
②
联立①②解得 ，或 （舍去），或 （舍去）.
此时点 ，直线 的方程为 .
22．已知函数 ， ，其中 为自然对数的底数．
(1)若 有两个极值点，求 的取值范围；
(2)记 有两个极值点为 、 ，试证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得 ，令 ，分析可知 有 个变号
零点，对实数 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，结合已知条
件可得出关于 的不等式，解之即可；
（2）欲证 ，即证 ，由已知条件得出 ，
令 ，解得 ， ，将所证不等式变形为
，然后令 ，其中 ，利用导数证得 即可.【详解】（1）解：因为 ， ， ，
设 ，则 ，
若 有两个极值点，则 有 个变号零点．
当 时， ， 在 上递增， 至多有一个零点，不符合题意，舍去；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
若使得 有 个变号零点，则 ，即 ，即 ，
解得 ，此时， ，
，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，
所以， ，故 ，
由零点存在定理可知，函数 在 、 上各有一个变号的零点，
设函数 在 、 上的零点分别为 、 ，
当 或 时， ；当 时， .
此时函数 有两个极值点，合乎题意.
综上所述， .
（2）证明：欲证 ，即证 ，
试卷第26页，共23页由于 、 为 的零点，
则 ，可得 ，
令 ，则 ，
解得 ， ，
所以只需证明： ，即证： ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上单调递减，则 ，
所以 ，即 得证，故 .
【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：
（1）证明 （或 ）：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的
单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应
问题；
（2）证明 （或 ）（ 、 都为正数）：①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单
调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，得
与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问
题；
（3）应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
试卷第28页，共23页
