文档文本内容
决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(51)
(圆锥曲线的综合问题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 在双曲线 的一条渐近线 上， 故可得
；
因为抛物线 的准线为 ，故 ，
又 ；解得 ，
故双曲线方程为： .
故选：D.
2.（江苏省常州市联盟学校2024届高三上学期12月学情调研数学试题）设 为坐标原点， 为椭圆
的焦点，点 在 上， ，则 （ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】如下图所示：不妨设 ，根据椭圆定义可得 ， ；
由余弦定理可知 ；
又因为 ，所以 ，又 ，
即可得 ，解得 ；
又 ，即 ；
所以可得 ；
故选：C
3.过抛物线 焦点F的直线，与抛物线交于A、B两点，设 ， ，则 （
）
A．-4 B．4 C．4 D．-4
【答案】A
【解析】设直线 的方程为 ，设 ，联立 ，消去 化为
，所以 ，所以
，所以 ，
故选：A.4.(江苏省盐城中学等四校联考2024届高三上学期12月阶段检测数学试题)已知椭圆 和双曲线
的公共焦点为 ，在第一象限内的交点为 ，则 （ ）
A. -4 B. -6 C. -8 D. -9
【答案】B
【解析】已知椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ，在第一象限内的交点为
，
由椭圆和双曲线的定义，有 ，解得 ，
由椭圆方程 ，得 ，
.
故选：B.
5.（2023·广东广州·高三三校（铁一、广外、广大附中）11月期中联考）双曲线E： 的一条渐
近线与圆 相交于 若 的面积为2，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】双曲线 的一条渐近线： ，
与圆 相交于 两点，圆的圆心 ，半径为2，
圆心到直线的距离为： ，弦长|
可得： ，
整理得： ，即 ，解得双曲线 的离心率为 ．
故选：C．
6.(北京朝阳区六校联考2024届高三12月阶段性诊断数学试题)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制
作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板
（图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形 卷后为圆柱 的侧面．为准确画出裁
剪曲线，建立如图所示的以 为坐标原点的平面直角坐标系，设 为裁剪曲线上的点，作
轴，垂足为 ．图乙中线段 卷后形成的圆弧 （图甲），通过同学们的计算发现 与 之间满足关
系式 ，现在另外一个纸板上画出曲线 ，如图丙所
示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数 的最小正周期为 ，
所以相应圆柱的底面圆的周长为 ，故其直径为4，
故根据题意可知该椭圆的短轴长为 ，即 ；
又 的最大值为2，
故椭圆的长轴长为 ，故 ，故椭圆的离心率为 ，
故选：B
7.（山东2024届高三12月全省大联考数学试题）已知双曲线 的右焦点到其一条渐近
线的距离等于 ，抛物线 的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线
和 的距离之和的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线 的渐近线 ，右焦点 ，
依题意， ，解得 ，因此抛物线的焦点为 ，方程为 ，其准线为
，
由 消去x并整理得： ， ，即直线 与抛物线 相
离，
过点F作 于点P，交抛物线于点M，过M作 于点Q，交直线 于点N，
则有 ，
在抛物线 上任取点 ，过 作 于点 ，作 于点 ，交准线于点 ，连
，如图，显然 ，当且仅当点 与点
重合时取等号，
所以抛物线上一动点M到直线 和 的距离之和的最小值为 .
故选：D
8.设F为椭圆 的右焦点，过点 的直线与椭圆C交于 两点,设直线 的斜率分
别为 ， ，则 为（ ）
A．-1 B．1 C．4 D．-4
【答案】B
【解析】设 ，设直线 ，代入椭圆方程可得： .
所以 .故
.又 均不为0，故 ，即 为定值
故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（湘豫名校联考2024届高三上学期一轮复习诊断考试数学试题）双曲线 的一
条渐近线方程为 ，半焦距为 ，则下列论述错误的是（ ）
A. 双曲线 的离心率为3
B. 顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C. 直线 与双曲线 有两个不同的交点
D. 过点 有两条直线与双曲线 相切
【答案】ABD
【解析】由题易得 ，所以 错误；
顶点到渐近线的距离为 与焦点到渐近线的距离 ，距离之比为 ，B错误；
因为直线 与渐近线 平行，所以直线 与双曲线 的左支仅有1个交点，与右支
没有交点.又直线 与直线 都过点 ，
且直线 的倾斜角比直线 的倾斜角小，直线 与双曲线 有两个不同的交点， 正
确；
因为 ，所以点 位于双曲线 右支的右侧位置，显然过点 的直线
不可能与双曲线 相切，D错误.
故选:ABD.
10.（湖北省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题）在椭圆 中， 为
椭圆 的右焦点， 为椭圆 的左顶点， 为椭圆 短轴上的顶点，若椭圆 的离心率为 ，则（
）
A. B.
C. 大于 D.【答案】ACD
【解析】因为 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， .
因为 ，所以 ，即 大于 .
故选：ACD
11.（2023春·河北衡水·高三衡水中学期初检测）圆 与双曲线 交于
， ， ， 四点，则（ ）
A. 的取值范围是
B. 若 ，矩形 的面积为
C. 若 ，矩形 的对角线所在直线是 的渐近线
D. 存在 ，使四边形 为正方形
【答案】BD
【解析】双曲线 的顶点坐标为 ，渐近线方程为 ，
因为圆 与双曲线 交于 ， ， ， 四点，
所以 ，故A错误；当 时圆 ，由 ，解得 ，
所以 或 或 或 ，
不妨令 ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，
则 ，所以 ，故不是双曲线的渐近线，即B正确，C错误；
若四边形 为正方形，不妨设 为第一象限内的交点，设 ， ，
则 且 ，解得 ，所以 ，
所以当 时，使四边形 为正方形，故D正确；
故选：BD
12.过抛物线 的焦点 的直线 交抛物线 于 两点（点 在第一象限）， 为
线段 的中点.若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线 的准线方程为
B. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以 为直径的圆上
C. 若 为坐标原点，则
D. 若过点 且与直线 垂直的直线 交抛物线于 ， 两点，则
【答案】BD【解析】对于A：由已知设过点 的直线方程为 ， ，
联立方程 ，消去 得 ，
可得 ，
又因为 ，所以 ，
则 ，解得 ,
所以抛物线方程为 ，准线方程为 ，A错误；
对于B：抛物线 ，即 ， ，
易得 ，
所以 ，
故直线 垂直，所以点 在以 为直径的圆上，B正确；
对于C：由A项知，抛物线 ，直线 的方程为 ，
，
联立方程 ，消去 得 ，可得 ， ，
，
解得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，C错误；
对于D：由C选项知 ， ，
因为直线 垂直于直线 ，
所以
则 ，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（江苏省八市2023届高三下学期第二次调研测试数学试题）已知点 在抛物线
上，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，点 为 的焦点．若 ，点 的横坐标为 ，则
_______.
【答案】
【解析】如下图所示：不妨设点 在第一象限，联立 可得 ，即点
易知 轴，则 轴，则 ，
所以，直线 的倾斜角为 ，易知点 ，
所以， ，整理可得 ，且有 ，故 ，
等式 两边平方可得 ，即 ，
解得 （6舍去）
故答案为： .
14.已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 的最大值为
，则椭圆 的方程为________．
【答案】
【解析】设 ， ，联立直线 与椭圆方程得 ，消去y得 ，又 ， 是这个方程的两个实根，
所以 ，由弦长公式得
，
所以当 时， 取到最大值，即 ，解得 ．
所以椭圆C的方程为 ．
故答案为：
15.（2023 秋·湖北·高三部分重点中学第一次联考）已知圆 与双曲线
，若在双曲线 上存在一点 ，使得过点 所作的圆 的两条切线，切点
为 、 ，且 ，则双曲线 的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】连接 、 、 ，则 ， ，由切线长定理可知， ，
又因为 ， ，所以， ，
所以， ，则 ，
设点 ，则 ，且 ，
所以， ，
所以， ，故 ，
故答案为：
16.（湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考）已知椭圆 的左､右焦点分
别为 ，离心率为 ，点 在椭圆上，连接 并延长交 于点 ，连接 ，若存在点 使
成立，则 的取值范围为___________.
【答案】【解析】
设 ，则 .显然当 靠近右顶点时， ，
所以存在点 使 等价于 ，
在 中由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，
同理可得 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
由 得 ，所以 .
故答案为：
