专题1.1 集合与常用逻辑用语（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、集合
集合是高考数学中的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合
有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般
出现在高考的单选题的前3 题中，以基础题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学中的重要内容，常见于考查真、假命题的判断；全称量
词命题、存在量词命题以及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述
进行逻辑推理等，中等偏易难度；但一般很少单独考查，常常与其他知识结合考查。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
集合
I 卷：第1 题，5 分
卷
Ⅱ
：第2 题，5 分
新课标I 卷：第1
题，5 分
全国一卷：第2 题，5
分
全国二卷：第3 题，5
分
北京卷：第1 题，4 分
天津卷：第1 题，5 分
常用逻辑
用语
I 卷：第7 题，5 分
新课标
卷
Ⅱ
：第2
题，5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年的高考数学中，集合依旧是必考的基础考点，大概率出现在高考的
单选题的前3 题中，分值为5 分，主要考查集合的交、并、补集等运算，是基础题。
预测常用逻辑用语主要考查真、假命题的判断，命题的否定，充分、必要条件的
判断，会与其他知识结合考查，大概率在单选题中考查，难度不大。
知识点
1
集合
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
【常用结论】
(1)若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集
有
个．
(2)空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
(3)
．
(4)
,
．
知识点
2
常用逻辑用语
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出
q，记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p
既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
4．存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看充分、必要条件
设
.
(1)若
，则
是
的充分条件(
)，
是
的必要条件；若
，则
是
的充分不必要条
件，
是
的必要不充分条件，即
且
；
(2)若
，则
是
的必要条件，
是
的充分条件；
(3)若
，则
与
互为充要条件.
2．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 证明其成立；要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量
词命题就是假命题.
【题型1 元素与集合的关系】
【例1】（2025·辽宁·二模）设集合A = {x|2 x−1>m).若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m≥3
C．m<3
D．m>3
【变式1-1】（2025·辽宁·三模）已知集合A = {1,2),B ={x
2−y
2∣x , y ∈A)，则下列判断错误的是（ ）
A．1∈B
B．0∈B
C．3∈B
D．−3∈B
【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合A ={2m+ ❑√3n|m∈Z ,n∈N ))，则（ ）
A．❑√3∉A
B．−2+5 ❑√3∉A
C．4∈A
D．−1+2❑√3∈A
【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合{1,2,m,4)的最大元素等于该集合的所有元素之和，
则实数m=（ ）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
【题型2 集合中元素的个数问题】
【例2】（2024·四川乐山·三模）已知集合A ={(x , y)|x
2+ y
2≤10), x∈N
∗, y ∈N
∗)，则集合A 的元素个
数为（ ）
A．9
B．8
C．6
D．5
【变式2-1】（2025·宁夏银川·一模）已知集合A = {0,1,2)，则集合B ={(x , y)∣x ≤y , x∈A , y ∈A)中元
素的个数是（ ）
A．1
B．3
C．6
D．9
【变式2-2】（2025·广东揭阳·二模）已知集合A ={(x , y)|
x
2
4 + y
2
3 ≤1), x∈Z, y ∈Z)
，则A 中元素的个
数为（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合A = {−1,0,1),B = {1,2),C = {x∣x =a+b,a∈A ,b∈B)，
则集合C的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【题型3 集合间的基本关系】
【例3】（2025·广东·模拟预测）已知集合A = {2,4 ,a),B = {a,2a)，若B⊆A，则a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式3-1】（2025·河南许昌·模拟预测）已知集合A ={−2,0,1}，B ={x|4)−ax>0}，若A ⊆B，则a 的
取值范围是（ ）
A．(−2,+∞)
B．(−∞,4)
C．(−∞,−2)∪(4 ,+∞) D．(−2,4)
【变式3-2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合M = {1,2a+3), N ={1,a
2)，若M = N，则实数a的值为
（ ）
A．−1或3
B．0 或−1
C．3
D．−1
【变式3-3】（2025·山东青岛·三模）若集合A ={x|x = k
2),k ∈Z)
，B ={x|x = k
4),k ∈Z)
，则（ ）
A．A ⊆B
B．B⊆A
C．A = B
D．A ∩B =∅
【题型4 集合的交、并、补运算及其求参问题】
【例4】（2025·吉林松原·模拟预测）若集合A = {x|−2≤x ≤0)，B = {x|−1≤x ≤2)，则A ∩B =（ ）
A．[−2,2)
B．[−1,0)
C．[−2,0)
D．[−1,2)
【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）若全集U ={x∈N ∣0< x<7}，集合A = {1,3,4,5,6),B = {1,2,4,5)，
则B∩(∁U A)=（ ）
A．{1,2)
B．{2)
C．{2,3)
D．{6)
【变式4-2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知集合A ={x|2< x<5},B ={ x| x<3}，则A ∪B =（ ）
A．(−∞,3)
B．(2,+∞)
C．(2,3)
D．(−∞,5)
【变式4-3】（2025·浙江丽水·一模）已知集合A ={x∣−2≤x<1},B = {m,3)，且A ∩B的元素个数是一
个，则实数m的取值范围是（ ）
A．(−2,1)
B．[−2,1]
C．[−2,1)
D．(−2,1]
【题型5 集合的新定义问题】
【例5】（2025·陕西宝鸡·模拟预测）定义集合运算：A ⊕B ={(x , y)|
x
2 ∈A , 2
y ∈B))
.若集合
A = B ={x ∈N|1< x <4))， C ={(x , y)|y =−1
6 x + 5
3))
，则( A ⊕B)∩C =（ ）
A．∅
B．{(4,1))
C．{(1, 2
3))
D．{(4,1),(6, 2
3))
【变式5-1】（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合A ⊗B为阴
影部分表示的集合.若集合A =[0,2]，集合B ={x| x>1}，则集合A ⊗B =（ ）
A．{x|0< x<2}
B．{x|1< x ≤2}
C．{x| x ≤1或x ≥2}
D．{x|0≤x ≤1或x>2}
【变式5-2】（2025·北京·模拟预测）集合A ={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为
B1,B2,⋯,Bn(n∈N
*).记bi
为集合Bi(i=1,2,3,⋯,n)中的最大元素，则b1+b2+b3+⋯+b10=（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔
积现象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人
员需要了解笛卡尔积．两个集合A和B，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这
样的有序对组成的集合叫作A与B的笛卡尔积，又称直积，记为A ×B．即A ×B =¿且y ∈B)．关于任意
非空集合M ，N ，T，下列说法一定正确的是（ ）
A．M × N = N × M
B．(M × N )×T = M ×(N ×T )
C．M ×(N ∪T )(M × N )∪(M ×T ) D．M ×(N ∩T )=(M × N )∩(M ×T )
【题型6 充分条件与必要条件】
【例6】（2025·海南三亚·一模）已知a<b，则“c<d”是“a+c<b+d”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式6-1】（2025·浙江宁波·一模）下面四个条件中，使a>b成立的必要不充分条件是（ ）
A．a−1≥b
B．a+1≥b
C．|a|>|b|
D．a
3>b
3
【变式6-2】（2025·辽宁大连·一模）已知函数f (x)=a
x(a>)1，x∈R)，对于m,n∈R，若命题
p:a
m>a
n， 命题q:m>n，则p 是q 的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-3】（2025·浙江绍兴·二模）已知集合A，B，C 均为非空集合．若a∈B是a∈A的充分不必要条
件，a∈A是a∈C的充分不必要条件，则a∈B是a∈C的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型7 全称量词与存在量词】
【例7】（2025·甘肃武威·模拟预测）命题“∃x∈(0,+∞)，x
2−2 x +a≤0”的否定为（ ）
A．∃x∈(0,+ ∞)，x
2−2 x +a>0
B．∃x∈[0,+∞)，x
2−2 x +a≤0
C．∀x∈(0,+∞)，x
2−2 x +a>0
D．∀x∈(0,+ ∞)，x
2−2 x +a≤0
【变式7-1】（2025·陕西榆林·一模）已知命题p：∀x∈R,|x +1)>1；命题q：∃x>0, x
2> x，则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
【变式7-2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知命题p:∀x∈(0,+ ∞)，3 x
2−2ln x−5>0，则¬ p为
（ ）
A．∀x∈(0,+∞)，3 x
2−2ln x−5≤0B．∃x∈(0,+∞)，3 x
2−2ln x−5>0
C．∃x∉(0,+∞)，3 x
2−2ln x−5≤0 D．∃x∈(0,+∞)，3 x
2−2ln x−5≤0
【变式7-3】（2025·陕西延安·模拟预测）已知命题p:∀x∈R ,( x +1)
2>0；命题q:∃x>0, x
3= x
2，则
（ ）
A．p和q都是真命题
B．¬ p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
点
集合
考
一
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知集合M ={x∣2 x−1>5}, N ={1,2,3}，则M ∩N =（ ）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
2．（2025·天津·高考真题）已知集合U = {1,2,3,4,5), A = {1,3),B = {2,3,5)，则∁U ( A ∪B)=（ ）
A．{1,2,3,4)
B．{2,3,4)
C．{2,4)
D．{4)
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A ={−4,0,1,2,8},B ={x∣x
3= x),
则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合U ={x|x 是小于9 的正整数)}，A ={1,3,5}，则∁U A中元素
个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
5．（2024·北京·高考真题）已知集合M ={x|−3< x<1}，N ={x|−1≤x<4 }，则M ∪N =（ ）
A．{x|−1≤x <1))
B．{x|x >−3))
C．{x|−3< x<4)
D．{x|x <4))
6．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合A = {1,2,3,4,5,9)，B ={x|x +1∈A))，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3)
B．{3,4,9)
C．{1,2,3,4)
D．{2,3,4,5)
7．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,9),B ={x|❑√x∈A))，则∁A ( A ∩B)=（ ）
A．{1,4,9)
B．{3,4,9)
C．{1,2,3)
D．{2,3,5)
8．（2024·天津·高考真题）集合A = {1,2,3,4)，B = {2,3,4,5)，则A ∩B =（ ）
A．{1,2,3,4)
B．{2,3,4)
C．{2,4)
D．{1)
9．（2023·上海·高考真题）已知P = {1,2)，Q = {2,3)，若M ={x| x∈P且x∉Q}，则M =（ ）
A．{1}
B．{2}
C．{1,2}
D．{1,2,3}
二、解答题
10．（2025·北京·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,6,7,8), M ={(x , y)∣x ∈A , y ∈A)，从M 中选取n
个不同的元素组成一个序列：(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn)，其中(xi, yi)称为该序列的第i 项(i=1,2,…,n)
，若该序列的相邻项(xi, yi),(xi+1, yi+1)满足：{
|xi+1−xi)=3,
|yi+1−yi)= 4)
或{
|xi+1−xi)= 4 ,
|yi+1−yi)=3)
(i=1,2,…,n−1)，则称
该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项(xi, yi)(i=1,2,…,n)满足：当i 为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，
xi∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
点
常用逻辑用语
考
二
一、单选题
1．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知命题p：∀x∈R，| x +1|>1；命题q：∃x>0，x
3= x，则
（ ）
A．p 和q 都是真命题
B．¬ p和q 都是真命题
C．p 和¬q都是真命题
D．¬ p和¬q都是真命题
2．（2023·北京·高考真题）若xy ≠0，则“x + y =0”是“ y
x + x
y =−2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2023·天津·高考真题）已知a,b∈R，“a
2=b
2”是“a
2+b
2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
