专题2.10 对数与对数函数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 对数的运算】..............................................................................................................................................1
【题型2 对数函数的图象及应用】..........................................................................................................................2
【题型3 比较指对幂数的大小】..............................................................................................................................3
【题型4 解对数不等式】..........................................................................................................................................3
【题型5 对数（型）函数的单调性问题】..............................................................................................................4
【题型6 对数函数性质的综合应用】......................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 对数的运算】
1．（2026·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
2．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知2
x=3
y = 4
z=6，则1
x + 3
y + 1
z =（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，
t min后的温度是T，则T −T a
T 0−T a
=2
−t
h，其中T a
表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯88
∘C的咖啡放在
24
∘C的房间中，如果咖啡降温到40
∘C大约需要20min，那么降温到30
∘C大约需要（ ）（参考数据；
lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．33min
B．34 min
C．35min
D．36min
4．（2026·北京海淀·三模）历史上，在5 月27 日曾有多次地震记录．例如：2006 年5 月27 日，印尼爪哇
发生里氏6.3 级地震，2024 年5 月27 日，四川木里县发生里氏5.0 级地震，经过科学家的研究发现，地震
时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E = 4.8+1.5 M．印尼爪哇地震所
释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：
lg87.5≈1.942,lg88.5≈1.947,lg89.5≈1.952,lg90.5≈1.957）
A．87
B．88
C．89
D．90
【题型2 对数函数的图象及应用】
5．（25-26 高一上·广东中山·阶段检测）函数f (x)=ln|x)
x
2
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三·全国·一轮复习）函数y = x
2与函数y =|lg x|图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
7．（25-26 高一·全国·寒假作业）函数y = loga x , y = logb x , y = logc x , y = logd x的图象如图所示，则a，
b，c，d 的大小顺序是（ ）
A．c<d <1<b<aB．d <c<1<a<b
C．1<d <c<a<b D．0<c<d <1<a<b
8．（25-26 高一上·浙江舟山·阶段检测）函数f (x)=ln|
e−x
e+ x )（其中e是自然对数的底数）的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型3 比较指对幂数的大小】
9．（2026·湖南·一模）若a= log7
7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
10．（2026·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
11．（2026·上海宝山·二模）已知a>b>0，则（ ）
A．a
2>b
2
B．2
a<2
b
C．a
1
2 <b
1
2
D．log1
2
a>log1
2
b
12．（2026·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【题型4 解对数不等式】
13．（2026·四川成都·一模）已知集合A ={x| x
2−x−2<0)，B ={x |log2( x +2)≥0)，则A ∩B =（ ）
A．{x|−1< x<2)
B．{x|−1≤x<2)
C．{x| x<2}
D．{x| x ≥−1)
14．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤0,
log3(x +1), x>0,)
则不等式f (x)≤1的解集为（ ）
A．[0,2)
B．[0,1)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
15．（2026·海南·模拟预测）若集合A = {−1,0,1,2,3),B ={x|log3(x
2−2 x)≤1)，则A ∩B =（ ）
A．{3)
B．{−1,3)
C．{−1,0,2,3)
D．{−1,0,1,2,3)
16．（25-26 高二上·浙江杭州·开学考试）设函数f (x)= x|x)，则不等式f (2log3 x)+ f (3−log3 x)<0的解
集是（ ）
A．(
1
27 ,27)
B．(0, 1
27)
C．(0,27)
D．(27,+∞)
【题型5 对数（型）函数的单调性问题】
17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4)
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数f (x)= log2(x
2−2 x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
19．（2026·江苏南通·二模）已知函数f ( x)=lg( x
2−ax +2)，则“a≥2
是
函数
”
“
f ( x)在(−∞,1]上单
调递减
的（
”
）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
20．（2026·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【题型6 对数函数性质的综合应用】
21．（25-26 高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数f (x)= loga(x +1)+ loga(1−x)，则下列说法正确的是
（ ）
A．若a>1，则f (x)在(−∞, 0)上单调递增
B．若a>1，则f (x)的值域为(−1, 0)
C．若0<a<1，则f (x)在(0, 1)上单调递减
D．若0<a<1，则f (x)的值域为[0,+∞)
22．（2026·河北·模拟预测）已知函数f (x)={
4−2
x , x ≤1
1+loga(x +1), x>1)
，若f (x)的值域为[2,+∞)，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(1,❑√2)
B．(❑√2,2)
C．(1,
3√2)
D．(
3√2,2)
23．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知f (x)=loga(1+ x)+loga(1−x)（a>0，且a≠1）．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)若f (x)在区间[
1
4 , 1
2)内的最大值为2，求a．
24．（25-26 高一下·海南海口·期中）已知函数f (x)=(log2 x)
2−mlog2 x
2+1.
(1)设m=−1.
（i）计算f (4)的值，并求f (x)的最小值；
（ii）求f (x)的单调递减区间.
(2)对任意x1, x2∈[1,16),|f (x1)−f (x2))≤8恒成立，求m的取值范围.
一、单选题
1．（2026·江西·模拟预测）若log2a+loga2=2，则a=（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合A ={x | x
2−3 x <0},B ={x |log2 x >1)，则A ∩B =（ ）
A．(0,2)
B．(2,3)
C．(0,3)
D．(1,3)
3．（2026·陕西西安·模拟预测）函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x|x>−1))
B．{x|x≠1))
C．{x|x>1))
D．{x| x>−1且x≠1).
4．（2026·云南·模拟预测）已知函数f (x)=loga|2 x−m)（a>0且a≠1）的图象关于y轴对称，且
f (−2)=2，则a=（ ）
A．1
2
B．2
C．3
D．4
5．（2026·浙江·一模）已知函数f (x)=log2(2+
a
x +1)+b是奇函数，则a+b=（ ）
A．−3
B．−1
C．−5
D．1
6．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
B．f (x)=ln(❑√x
2+1−x)
C．f (x)=ln
❑√x
2+1+ x
D．f (x)=ln
❑√x
2+1−x
7．（2026·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
8．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z 满足1+2
x =3
y =5
z，则x、y、z 的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．x> z> y
D．y > x> z
二、填空题
9．（2026·河南开封·模拟预测）设a、b为正数，若ab=32，且log2a=logb64，则a+b=__________．
10．（2026·湖南永州·模拟预测）已知正数a满足log8(log9a)=5，则log2(log3a)=__________.
11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数f ( x)= log2( x
2−2ax)在区间[2,4 ]上单调递增，则实数a的取
值范围为___________．
12．（2026·上海嘉定·一模）已知f (x)=ln 1−x
3
1+ x
3
，且f (1−a)+ f (1−a
2)>0
，则实数a的取值范围是
___________.
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）若c⋅2
a=c⋅log2b=1，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c<b<a
B．a<b=c
C．a=b<c
D．b<c<a
2．（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规
定：100 mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某天，
驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数
据：（ ）lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·广东深圳·模拟预测）若正实数a，b 满足a>b，且ln a⋅ln b>0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．logab<0
B．a−1
b >b−1
a
C．2
ab+1<3
a+b
D．a
b−1<b
a−1
4．（2026·四川资阳·一模）已知函数f ( x)=2
x⋅log2(2 x−2)−1，g( x)=3
x⋅log3(3 x−3)−1，
h( x)= log5(5 x−5)−5
−x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>b>a
二、解答题
5．（2026·上海闵行·一模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=log3 x.
(1)求f (−3)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
9), x∈[1,9)，求函数y = g(x)的值域.
6．（2026·上海浦东新·三模）已知f (x)= loga x（a>0且a≠1）．
(1)若a=3，解方程f(
27
x )f (3 x)=−5，求x的值；
(2)若f (3a−1)>f (a)，求a的取值范围．
7．（25-26 高三上·江苏·阶段检测）已知函数f (x)= loga x (a>0 且a≠1).
(1)若f (x)在区间[ 1
4 ,16]上的最大值是2，求实数a 的值；
(2)若函数g(x)=2
x
2−2 x +a的值域为[2,+ ∞)，求不等式loga(1−t )≤1的实数t 的取值范围．
8．（25-26 高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数f (x)= ln(−x
2+ax +b).
(1)若f (x)的定义域为(1,2)，求a，b的值.
(2)当b=0时，是否存在a，使得f (x)在(0,2)内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出a的值；若不存
在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,1)上单调，求
(a+2)
2+b
2的最小值.
一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）已知函数f ( x)=|ln x)，若a= f (2
0.3)，b= f (3
0.3)，c = f (3
−0.5)，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
4．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数f ( x)={
−x
2−2ax−a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0)
在R 上单调递增，则a 的取值范
围是（ ）
A．(−∞,0]
B．[−1,0]
C．[−1,1]
D．[0,+ ∞)
5．（2024·北京·高考真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N
是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
7．（2024·天津·高考真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
二、填空题
8．（2024·上海·高考真题）函数y =log2 x的定义域为___________.
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知a>1且
1
log8a −
1
loga4 =−5
2，则a=___________．
三、解答题
10．（2024·上海·高考真题）已知函数f (x)=loga x (a>0,a≠1)．
(1)若函数y = f (x)的图象经过点(4,2)，求解不等式f (2 x−2)<f (x)；
(2)若存在x，使得f (x +1)、f (ax)、f (x +2)依次成等差数列，求a的取值范围．
