文档文本内容
第06 讲 对数与对数函数
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·山西临汾·三模）已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】B
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由
，
可得
，
，
则
，
故选：B
2．（2025·山东临沂·二模）已知实数
满足
，则
（ ）
A．11
B．12
C．16
D．17
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化
【分析】由指对互化公式即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故选：D.
3．（24-25 高三下·河北沧州·阶段练习）假定风力等级与风速的关系满足方程：
（其中v 为风速，单位：
为风力等级），2025 年4 月12 日，河北省
气象部门发布大风预瞥，某地区风速达到
，则该地区此次大风的风力等级约为
（注：
）（ ）
A．2 级
B．3 级
C．4 级
D．5 级
【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
【分析】代入
,根据指对互化即可求解.
【详解】将
代入公式
得
，
所以
，即该地区此次大风的风力等级约为5 级，
故选:D．
4．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以
神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示
每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮
数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为
12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）
所需的训练选代轮数至少为（参考数据：
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
【答案】C
【知识点】对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）、指数式与对数式的互化、
运用换底公式化简计算
【分析】根据已知条件列方程，可得
，再由
，结合指对数关系和对数
函数的性质求解即可．
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
则
，
由
，即
，
所以
，
所以所需的训练迭代轮数至少为
次．
故选：C.
5．（2025·天津红桥·二模）若
则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用
【分析】根据指数对数转化，再应用对数运算律计算求解.
【详解】因为
所以
则
.
故选：A.
6．（2025·天津·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】化简式子，然后借用中间值0 和1 来进行比较即可.
【详解】
，
，
，
所以
，
故选：A
7．（24-25 高三下·天津南开·阶段练习）关于函数
，下列说法正确的是
（ ）
A．
在
上单调递增，且曲线
存在对称轴
B．
在
上单调递增，且曲线
存在对称中心
C．
在
上单调递减，且曲线
存在对称轴
D．
在
上单调递减，且曲线
存在对称中心
【答案】B
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数函数的定义域
【分析】根据复合函数的单调性、函数的奇偶性等知识确定正确答案.
【详解】令
，得
，解得
，可知
的定义域是
，
因为
，
且
在
上单调递增，
在
上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知
在
上是增函数，
又因为
，即
，
所以
是奇函数，曲线
存在对称中心，即B 选项正确.
故选：B.
二、多选题
8．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知实数a，b 满足
，则
的可能取值是（ ）
A．9
B．3
C．2
D．6
【答案】ABD
【知识点】对数的运算性质的应用
【详解】由
得
，
变形得
．因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
．
9．（24-25 高一下·湖南·期中）已知
，令
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的定义域是
B．
的解集为
C．
是奇函数
D．
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减
【答案】ABC
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性、求对数型复合函数的定
义域、由对数函数的单调性解不等式
【分析】A 选项，根据真数大于0 得到不等式，求出定义域；B 选项，根据函数单调性和定
义域得到不等式，求出不等式解集；C 选项，先求出函数定义域，再得到
，C 正确；D 选项，
在
上单调递增，
在
上单调递减，从而得到D 错
误.
【详解】A 选项，由已知，
，故
，
解得
，所以
的定义域为
，A 正确；
B 选项，由
，得
解得
正确；
C 选项，
的定义域为
，
又
，
∴
为奇函数，C 正确；
D 选项，
在
上单调递增，
在
上单调递减，
在
上单调递增，D 错误．
故选：ABC
三、填空题
10．（2025·安徽·三模）已知
，则
.
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
【分析】根据对数的运算公式,解对数方程,依据对数的性质求答案.
【详解】由题意得，
，故
.
故答案为:
.
11．（2025·湖南长沙·一模）已知
为奇函数，则实数a 的值是
．
【答案】4
【知识点】求对数函数的定义域、由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义域关于原点对称得出
，再检验即可求解．
【详解】由题意知
，得
，
令
，解得
或
，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以
，解得
，即
，
令
，其定义域为
，
，满足题意，
故答案为：4．
四、解答题
12．（24-25 高一下·山西大同·阶段练习）化简下列各式：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)4
(2)
【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据对数的运算分析求解；
（2）根据指数幂运算分析求解.
【详解】（1）原式
.
（2）根据分数指数幂的定义，得
，
，
，
原式
.
13．（22-23 高一上·陕西商洛·期末）（1）求
的值；
（2）若
，用
表示
.
【答案】（1）
；（2）
.
【知识点】运用换底公式化简计算、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据指数及对数的运算性质，即可求值；
（2）根据对数的运算和换底公式，即可求解.
【详解】（1）
（2）
.
14．（24-25 高一下·江西·期中）已知函数
是偶函数．
(1)求
的值；
(2)若关于
的不等式
在
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)
【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调
性、对数函数最值与不等式的综合问题
【分析】（1）根据偶函数的性质
求出参数
的值，即可得到函数解析式，再
代入计算可得；
（2）依题意关于
的不等式
在
上有解，令
，
，利用作差法证明函数的单调性，即可得到
在
上的
单调性，从而求出
，即可得解.
【详解】（1）因为函数
为偶函数，所以
，
即
，
所以
，整理得
恒成立，
所以
，解得
，所以
，故
．
（2）由（1）可得，关于x 的不等式
在
上有解，
令
，
，取
，
则
．
因为
，所以
，
，
，
，
所以
，
，即
，
所以
在
上单调递增，
又
在定义域上单调递增，因此
在
上单调递增．
令
，
，
因为函数
与函数
在
上均单调递增，
所以
在
上单调递增，且
，
所以
，故实数
的取值范围为
．
B 相遇高考
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则
a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参
数
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
且
，则
．
【答案】64
【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
3．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【知识点】求函数值、指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据给定条件，把
代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
C 素养提升
1．（天津市河西区2024-2025 学年高三下学期总复习质量调查（三）数学试题）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小
【分析】
，结合指数函数单调性得到
，又
，得到结论.
【详解】
，
，
，
，故
，所以
，
，所以
.
故选：D
2．（24-25 高一下·云南昆明·期中）Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的
实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D 表示衰减系
数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习
率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10 时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到
0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．14
B．15
C．16
D．17
【答案】C
【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用、指数函数模型的应用（2）
【分析】根据已知条件列方程，可得
，再由
，结合指对数关系和
对数函数的性质求解即可．
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
则
，由
，
所以，即
，
所以所需的训练迭代轮数至少为16 次．
故选：C.
3．（24-25 高一上·安徽合肥·阶段练习）已知函数
(1)求
的定义域；
(2)当
，
①求证:
在区间
上是减函数；
②求使关系式
成立的实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求对数型复合函数的定义域、根据函数的单
调性解不等式
【分析】（1）根据对数的性质求函数的定义域；
（2）①由单调性的定义证明区间单调性即可；②利用函数单调性解不等式求参数范围.
【详解】（1）由
，得
或
，所以函数
的定义域为
，
（2）①设
，
，
因为
，则
，
所以
，
所以
，
，所以
，
故
在区间
上是减函数.
②由①知
在区间
上是减函数，
由
，可得
，解得
4．（24-25 高一下·湖北·期中）已知函数
，
(1)若
，
，求
和
（结果用m，n 表示）．
(2)求不等式
的解集．
(3)若
，都有
成立，求实数t 的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)
【知识点】运用换底公式化简计算、解分段函数不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）利用对数的运算性质可得.
（2）解分段函数不等式，先利用指数和对数的性质分段求解，最后求并集；
（3）参变分离，现设
，求
，
.
【详解】（1）已知
，所以
，
，
所以
，
.
（2）当
时，
，所以
，解得
，所以
；
当
时，
，所以
，解得
，所以
；
综上可得，不等式
的解集为
.
（3）
，所以
，设
，
则
，令
，
则
，
即
，
，所以
，
所以
，即
，
因为
，都有
成立，所以
，所以
，
综上实数t 的取值范围为
.
5．（24-25 高一下·陕西西安·期中）已知函数
(1)当
时，求
的最小值；
(2)若
为偶函数，求
的值；
(3)设
，若对于任意
，存在
，使得不等式
成
立，求
的取值范围．
【答案】(1)
的最小值为
(2)
(3)的取值范围是
【知识点】求对数型复合函数的值域、由奇偶性求参数、函数不等式能成立（有解）问题
【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数
的单调性即可得最值；
（2）根据函数的奇偶性求参数即可；
（3）由题意可得
恒成立，利用换元法可得
，则
在
上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得
在
上恒成立，利用基本不等式可得
的最小值，从而可得
的取值范围．
【详解】（1）
，由于
恒成立，
所以函数
的定义域为
，
又函数
在
上单调递减，在
上单调递增，函数
为增函
数，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
的最小值为
；
（2）若
为偶函数，则
，
所以
，
即
恒成立，所以
；
当
时，函数
定义域为
，满足
，
故若
为偶函数，则
；
（3）若对于任意
，存在
，使得不等式
成立，
则
恒成立，
令
，当
时，
，
所以
，所以当
时，
，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，则
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
因为
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
的取值范围是
．
