文档文本内容
第01 讲 导数的概念及运算
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................5
高频考点一：导数的概念...........................................................................................................................5
高频考点二：导数的运算...........................................................................................................................6
高频考点三：求切线方程（在型）............................................................................................................8
高频考点四：求切线方程（过型）............................................................................................................9
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数.......................................................................................11
高频考点六：公切线问题.........................................................................................................................13
高频考点七：与切线有关的转化问题......................................................................................................16
高频考点八：已知切线条数求参数..........................................................................................................18
第四部分：典型易错题型.................................................................................................................................21
第一部分：基础知识
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数
在区间
上的平均变化率为：
.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
和
②作商：对所求得的差作商，即
.
2、导数的概念
（1）定义：函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数,记作
.
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量：
；
② 求平均变化率：
；
③ 求极限，得导数：
.
3、导数的几何意义
函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
(
为常数)
(
)
(
)
(
，
)
5、导数的运算法则
若
，
存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数
的导数和函数
，
的导数间的关系为
，即
对
的导数
等于
对
的导数与
对
的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
（2）过型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点
处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得
其面积.
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，
求出
，利用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利
用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点
与
的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于
，其导数为
，
因为直线
是曲线的切线，直线的斜率为2，
令
，即
，解得
，
将
代入切线方程
，可得
，
所以切点坐标为
，
因为切点
在曲线
上，
所以
，即
，解得
.
故答案为：
.
法二：对于
，其导数为
，
假设
与
的切点为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）已知函数
，那么
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据导数的定义求解即可．
【详解】根据题意，
，则
，
由导数的定义知，
．
故选：B．
例题2．（24-25 高三下·四川绵阳·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数的极限定义，借助于导数公式即可求解.
【详解】由
求导，可得
，
则
.
故选：D.
精练高频考点
1．（24-25 高三下·四川广安·阶段练习）设函数
满足
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数的定义可求
.
【详解】
,
故
，
故选：D.
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．-6e
D．
【答案】B
【分析】利用导数的运算法则求出
，再利用导数的定义即可求出.
【详解】由题意得
，
则
.
故选：B
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据求导公式和求导法则逐项判断即可.
【详解】对于A，
，故A 错误；对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：C.
例题2．（24-25 高三下·北京·阶段练习）下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：B
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东烟台·阶段练习）下列求导结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的求导法则及复合函数的求导法则逐项求导即可.
【详解】
，A 错误；
，B 错误；
，C 正确；
，D 错误.
故选：C.
2．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复合函数的求导逐项判断即可.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误．
故选：C.
高频考点三：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求
，进而求
，即切线方程为
即可求解.
【详解】由题意有
，
所以切线方程为
，即
，
故选：C.
例题2．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）
在
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】首先对原函数求导，然后将切点的横坐标代入求出切线的斜率，进而可求出切线方程.
【详解】对函数求导得：
，
则
，因为切线过点
，
故切线方程为
．
故答案为：
.
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线斜率与切线方程.
【详解】由已知
，
则
，
即切线斜率
，
又
，
所以切线方程为
，
即
，
故选：D.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程是 ．
【答案】
【分析】利用导数的几何意义先计算
，结合点斜式计算即可.
【详解】易知
，所以
，
故在点
处的切线方程是
.
故答案为：
.
高频考点四：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三下·河北邢台·阶段练习）过点
向曲线
作切线，切线方程可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】设切点为
，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到
，解得
或
，即可求解.
【详解】令
，则
，设切点为
，
则切线方程为
，
将点
代入，整理得
，
即
，解得
或
，
当
时，切线方程为
；当
时，切线方程为
．
故答案为：AC.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知直线l 为曲线
过点
的切线．则直线l 的方
程为 ．
【答案】
或
【分析】设切点为
，由导数的几何意义求得切线方程，代入
点坐标求出
，再回代得切线方
程．
【详解】∵
，∴
.
设直线与曲线
相切于点
，则直线的斜率为
，
∴过点
的切线方程为
，
即
，又点
在切线上，
∴
，整理得
，
∴
，
解得
或
；
∴所求的切线方程为
或
.
故答案为：
或
.
精练高频考点
1．（2025·新疆·模拟预测）曲线
过点
的切线方程为 .
【答案】
【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入
即可求解
，进而可求解.
【详解】设切点为
，则
，
故切线方程为
，
将
代入可得
，解得
，
故切线方程为
，即
，
故答案为：
2．（24-25 高三上·江西吉安·期末）过点
作曲线
的切线的斜率为 ．
【答案】2
【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入
即可求解；
【详解】
，设切点横坐标为
，
故曲线
在
处的切线方程为l：
，
将
，
代入，得
，
解得
，∴
，
故答案为：2
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线
的一条切线的方程为
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．
【答案】B
【分析】首先对函数求导，根据切线斜率1 和切点坐标即可求出
的值.
【详解】
与
的图象相切，设切点为
，
则
，故
，
由
，即
，将
代入上式，得
，故
.
故选：B.
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线
在
处的切线与直线
平行，则
．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果.
【详解】函数
的定义域为
，由已知
，故
，
函数
的导函数
，所以
，
因为函数
在
处的切线与直线
平行，
所以
，所以
，经验证，此时满足题意．
故答案为：1
精练高频考点
1．（2025·河南许昌·三模）若直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】设切点为
，根据导数的几何意义求得
，再由切点在直线和曲线上有
，即可求.
【详解】设直线
与曲线
的切点为
，
对
求导，得
，直线
的斜率为1，
导数的几何意义知，在切点处
，即
．
又切点
既在直线上又在曲线上，
且
，即
．
将
代入
，得：
，即
．
故选：A
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】求导可得
，结合导数的几何意义代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
则
，
因为曲线
在点
处的切线与直线
平行，
且直线
的斜率为
，即
，解得
.
故选：A
高频考点六：公切线问题
典型例题
例题1．（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去
后构造函数
，求
导分析单调性可得最值.
【详解】设公切线与函数
及函数
的切点分别为
，
，且
，
，
故两切线方程为
，
，
即
，
，
与
存在公切线，所以
有解，消去
后得：
，
令
，
，
易得
在
上单调递增，且
时，
；
时，
，
故
在区间
上递减，在
上递增．
所以
，
的最小值为
，即
的最小值为
，即实数
的最小值为
．
故选：B．
例题2．（24-25 高三上·河北石家庄·期末）若函数
与
在公共点处存在公共的切线，则
．
【答案】
【分析】设公共点坐标为
，由题意可得
，进而可得.
【详解】函数
与
的导数分别为
与
，
设公共点坐标为
，则
，
所以
，又因为
，故
，
，所以
．
故答案为：
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【答案】D
【分析】设直线与
相切于
求出切线方程，直线与
相切于
求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得
.令
，构造函数
，利用导数
求出最小值可得答案.
【详解】设直线与
相切于
，
则直线：
，
直线与
相切于
，
则直线：
，
因为曲线
与
有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，
故
，
则
.
令
，
，
则
在
单调递增，且
，
所以当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，于是有
，
即
.
故选：D.
2．（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
【答案】B
【分析】解法一：先对
求导得
，设与直线
切点为
，写出切线方
程，根据直线
得到关于
和
的方程组，求出
.
再对
求导，设其与直线
切点为
，根据导数等于切线斜率以及切点在切
线上列方程，求出
.
解法二：设两条曲线的切点分别为
，
，分别根据切点在曲线上、在切线上以及切线斜率
列出方程组，求解得到
，
，再同理求出
，进而得到
.
【详解】解法一：令
，
，则
，
设直线
与
的切点为
，
则切线方程为
，即
，
又因为
，所以
，解得
，
，所以切线方程为
，
令
，则
，
设直线
与
的切点为
，所以
①，
又因为切点
在直线
上，所以
，即
②，
由①和②可得
，所以
，解得
．
解法二：设切点分别为
，
，
．∴
，
．
同理
．∴
，∴
，∴
．
故选：B．
高频考点七：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）函数
图象上一点
到直线：
的最
短距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，点
是函数
上与直线平行的切线的切点，根据斜率求出
点坐标，再由点到直
线距离公式求得最短距离.
【详解】函数
，导数为
，
设
，则
，所以
，
带入原函数得
，此时
到直线：
的距离最短，
最短距离
.
故选：D.
例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】根据函数关系，找出
得轨迹,根据轨迹分析最小值的情况,列出表达式,通过函数导数判断表达
式单调性,求出最小值.
【详解】易知点
在函数
上,
设
,化简得
,即
则点
在以
为圆心,半径为1 的圆周上,
如图所示,可知
两点间的最小值,即为点
到圆心
得最小值减去半径即可.
设圆心为
,可知
,
设函数
,求导得
易知
为单调增函数,且
,
所以当
时，
,
在
单调递减, 当
时，
,
在
单调
递增,
在
上有最小值,最小值
,
所以
的最小值为
.
故答案为:
.
精练高频考点
1．（2025 届河南省驻马店市部分学校高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试题）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距
离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，
由
，得
，则
或
，
则动点
到直线
的距离的最小值为
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
，
故选：B.
2．（24-25 高二下·浙江·期中）动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线
平行的切线方程，再将
的最小值转化为
两平行直线的距离，即可得到结果.
【详解】设过曲线
上的点
的切线方程与直线
平行，
则
，所以
，解得
或
（舍），
即
，则切点为
，
切线方程为
，化简可得
，
则
的最小值即为切线与直线
的距离，
所以
.
故选：C
高频考点八：已知切线条数求参数
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三下·山东·阶段练习）过点
的曲线
的切线有
条，则
的值
可能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】设切点为
，利用导数求出函数
在
处的切线方程，再将点
的
坐标代入切线方程，可得
，根据题意得出
，求出实数
的取值范围，即可得出合
适的选项.
【详解】设切点为
，对函数
求导，得
，则切线的斜率
，
即切线方程为
.
因为切线过点
，所以
，化简得
，
因为切线有
条，所以
，解得
或
.
故选：AD.
例题2．（2025·河南·模拟预测）已知对于
，过点
可作曲线
的3 条不同的切线，则
实数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出函数的导数，设出切点坐标
，求出切线方程
，构造函数并利用
函数有3 个零点求解即可.
【详解】设切点坐标为
，则
，即
，
整理得
，令
，
依题意，函数
有3 个不同的零点，求导得
，当
时，
，
在
上单调递减，值域为
；
当
时，
，
在
是单调递增，值域为
；
当
时，
在
上单调递减，值域为
，
由函数
有3 个零点，得
，即
，
解得
，又
，则
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江西·阶段练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】切点为P
，通过导数的几何意义求得过点
的切线方程，代入点
得
，令
，由题意得
有两个不同的解，结合函数的图像可求得
t 的范围.
【详解】若过点
可以作曲线
的两条切线，则
，
设切点为P
，则切线方程
，
由切线过过
，得
，即
，
令
，则
有两个不同的解，
对称轴为
，
，
由
的图像得t 的范围
.
故答案为：D.
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
【答案】
【分析】由导数的几何意义可得切线方程，代入点
的坐标可得
，然后利用导数研究
其图像，结合图像即可得到结果.
【详解】
设过点
的切线与
的切点为
，
因为
，则切线的斜率为
，
所以切线的方程为
，
代入
得
，
即
.
设
，则
，
由
，得
或
，
当
或
时，
，
在
，
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
，
，
因为
，所以
，
，
作出
的大致图象如图所示，
由图象可知只有一条直线与
的图象相切时，
或
.
故答案为：
第四部分：典型易错题型
易错点一：
求导时分子公式记错
1．（24-25 高二下·广东佛山·期中）函数
的导数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】直接根据诱导公式、函数的求导法则和商的求导公式可得所求.
【详解】
，
所以
，
故选：B
2．（24-25 高二下·天津·期中）函数
的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数的运算法则计算可得.
【详解】因为
，所以
.
故选：D
易错点二：复合函数求导容易误用求导法则
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）
的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复合函数的求导法法则求解即可.
【详解】由
，求导得
.
故选：A
2．（24-25 高二下·广东深圳·期中）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复合函数的求导公式计算即可.
【详解】
，
故选：B.
易错点三：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点
1．（24-25 高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数
，过原点作曲线
的切线，则该切
线的方程为 .
【答案】
【分析】设所求切线切点为
，利用导数几何意义结合两点间斜率公式求得方程
，解方程求出
即可求解.
【详解】设所求切线切点为
，由题
，
所以所求切线斜率为
，又切线过原点，
所以
，故切点为
，切线斜率为
，
所以切线方程为
.
故答案为：
2．（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求曲线
过点
处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由导数的几何意义可知在点
处的切线的斜率为
，利用导数的运算法则求得
，
再利用直线的点斜式即可求得在点
处切线方程；
（2）注意是过点，所以首先要设切点坐标，利用直线的点斜式写出切线方程，再结合过点
求出
切点坐标，
代入即可得过点
处的切线方程.
【详解】（1）函数
的导函数为
，则
，
由导数的几何意义可知在点
处的切线的斜率为
，又
，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
，即
；
（2）设切点坐标为
，且
，由（1）知
，
由直线的点斜式方程可得切线方程为
，
由切线经过点
，代入可得
，
化简得
解得
或
，又
，
结合切线过点
可得切线的方程为
或
.
