文档文本内容
第01 讲 导数的概念及运算
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：导数的概念...........................................................................................................................4
高频考点二：导数的运算...........................................................................................................................4
高频考点三：求切线方程（在型）............................................................................................................5
高频考点四：求切线方程（过型）............................................................................................................5
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数.........................................................................................6
高频考点六：公切线问题...........................................................................................................................6
高频考点七：与切线有关的转化问题........................................................................................................7
高频考点八：已知切线条数求参数............................................................................................................8
第四部分：典型易错题型..................................................................................................................................8
第一部分：基础知识
1、平均变化率
（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数
在区间
上的平均变化率为：
.
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出
和
②作商：对所求得的差作商，即
.
2、导数的概念
（1）定义：函数
在
处瞬时变化率是
，我们称它为函数
在
处的导数,记作
.
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量：
；
② 求平均变化率：
；
③ 求极限，得导数：
.
3、导数的几何意义
函数
在点
处的导数的几何意义，就是曲线
在点
处的切线的斜率
，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
(
为常数)
(
)
(
)
(
，
)
5、导数的运算法则
若
，
存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数
的导数和函数
，
的导数间的关系为
，即
对
的导数
等于
对
的导数与
对
的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：函数
在
或者
处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标
（方法：把
代入原函数
中），切点
.
第二步：计算切线斜率
.
第三步：计算切线方程.切线过切点
，切线斜率
。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
（2）过型求切线方程
已知：函数
的解析式.计算：过点
（无论该点是否在
上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率
；计算切线斜率
；
第三步：令：
，解出
，代入
求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴
所围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线
是曲线
的切线，则
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：导数的概念
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）已知函数
，那么
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
例题2．（24-25 高三下·四川绵阳·阶段练习）已知函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·四川广安·阶段练习）设函数
满足
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．-6e
D．
高频考点二：导数的运算
典型例题
例题1．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·北京·阶段练习）下列四个求导运算中运算结果错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东烟台·阶段练习）下列求导结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期中）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点三：求切线方程（在型）
典型例题
例题1．（2025·甘肃白银·二模）已知函数
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）
在
处的切线方程为 ．
精练高频考点
1．（2025·福建福州·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北衡水·模拟预测）曲线
在点
处的切线方程是 ．
高频考点四：求切线方程（过型）
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三下·河北邢台·阶段练习）过点
向曲线
作切线，切线方程可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）已知直线l 为曲线
过点
的切线．则直线l 的方
程为 ．
精练高频考点
1．（2025·新疆·模拟预测）曲线
过点
的切线方程为 .
2．（24-25 高三上·江西吉安·期末）过点
作曲线
的切线的斜率为 ．
高频考点五：已知切线方程（或斜率）求参数
典型例题
例题1．（2025·河南·模拟预测）已知曲线
的一条切线的方程为
，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．
例题2．（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线
在
处的切线与直线
平行，则
．
精练高频考点
1．（2025·河南许昌·三模）若直线
与曲线
相切，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数
，曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
高频考点六：公切线问题
典型例题
例题1．（2025·河南南阳·三模）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·河北石家庄·期末）若函数
与
在公共点处存在公共的切线，则
．
精练高频考点
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线
与
有公共的切线，则
的最大值为
（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
2．（2025·湖南·三模）若直线
（k 为常数）是曲线
和曲线
的公切线，则实数a
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．e
高频考点七：与切线有关的转化问题
典型例题
例题1．（24-25 高三下·海南海口·阶段练习）函数
图象上一点
到直线：
的最
短距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·辽宁·模拟预测）已知点
，点
，则
的最小值为
．
精练高频考点
1．（2025 届河南省驻马店市部分学校高二下学期六月摸底考试模拟预测数学试题）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
2．（24-25 高二下·浙江·期中）动直线分别交直线
和曲线
于
，
两点，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
高频考点八：已知切线条数求参数
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三下·山东·阶段练习）过点
的曲线
的切线有
条，则
的值
可能是 （ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·河南·模拟预测）已知对于
，过点
可作曲线
的3 条不同的切线，则
实数
的取值范围为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江西·阶段练习）若过点
可以作曲线
的两条切线，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·甘肃定西·模拟预测）若过点
只有一条直线与函数
的图象相切，则
的
取值范围为 .
第四部分：典型易错题型
易错点一：
求导时分子公式记错
1．（24-25 高二下·广东佛山·期中）函数
的导数
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·天津·期中）函数
的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点二：复合函数求导容易误用求导法则
1．（24-25 高二下·全国·课后作业）
的导数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·广东深圳·期中）
（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点三：求切线时“过型”容易误把已知点直接当切点
1．（24-25 高三下·江苏扬州·阶段练习）已知函数
，过原点作曲线
的切线，则该切
线的方程为 .
2．（24-25 高三下·北京·阶段练习）已知函数
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求曲线
过点
处的切线方程.
