专题2.10 对数与对数函数（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 对数的运算】..............................................................................................................................................1
【题型2 对数函数的图象及应用】..........................................................................................................................3
【题型3 比较指对幂数的大小】..............................................................................................................................5
【题型4 解对数不等式】..........................................................................................................................................7
【题型5 对数（型）函数的单调性问题】..............................................................................................................9
【题型6 对数函数性质的综合应用】....................................................................................................................10
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 对数的运算】
1．（2026·北京大兴·三模）已知2
a=3,log25=b，则2
a−b的值为（ ）
A．15
B．5
3
C．3
5
D．−2
【答案】C
【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【解答过程】因为log25=b，所以2
b=5，
又2
a=3，所以2
a−b= 2
a
2
b = 3
5.
故选：C.
2．（2026 高一上·江苏·专题练习）已知2
x=3
y = 4
z=6，则1
x + 3
y + 1
z =（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【解题思路】由指数转对数得到x =log26, y =log36, z =log46，再由对数的运算性质即可求解.
【解答过程】依题意，x =log26, y =log36, z =log46，
则1
x + 3
y + 1
z =
1
log26 +
3
log36 +
1
log46 =log62+3log63+log64 =log6(2×3
3×4)=log6216=3．
故选：B.
3．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0，
t min后的温度是T，则T −T a
T 0−T a
=2
−t
h，其中T a表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯88
∘C的咖啡放在
24
∘C的房间中，如果咖啡降温到40
∘C大约需要20min，那么降温到30
∘C大约需要（ ）（参考数据；
lg2≈0.301,lg3≈0.477）
A．33min
B．34 min
C．35min
D．36min
【答案】B
【解题思路】先求出半衰期h，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可.
【解答过程】由题意可得40−24
88−24 =2
−20
h =(
1
2)
20
h ，即16
64 = 1
4 =(
1
2)
2
=(
1
2)
20
h ，解得h=10.
设降温到30
∘C大约需要t min，则30−24
88−24 =(
1
2)
t
10，即6
64 = 3
32 =(
1
2)
t
10，
所以t
10 = log 1
2
3
32 =
lg 3
32
lg 1
2
= lg3−5lg2
−lg2
=5−lg3
lg2 ≈5−0.477
0.301 ≈5−1.585≈3.415，
解得t ≈34.15，所以大约需要34 min.
故选：B.
4．（2026·北京海淀·三模）历史上，在5 月27 日曾有多次地震记录．例如：2006 年5 月27 日，印尼爪哇
发生里氏6.3 级地震，2024 年5 月27 日，四川木里县发生里氏5.0 级地震，经过科学家的研究发现，地震
时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E = 4.8+1.5 M．印尼爪哇地震所
释放出来的能量约是四川木里地震的（ ）倍．（精确到1．参考数据：
lg87.5≈1.942,lg88.5≈1.947,lg89.5≈1.952,lg90.5≈1.957）
A．87
B．88
C．89
D．90
【答案】C
【解题思路】设印尼地震的能量E1 ，震级M 1=6.3，四川地震的能量E2 ，震级M 2=5.0，利用对数计算
lg(
E1
E2)的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案.
【解答过程】设印尼地震的能量E1 ，震级M 1=6.3，四川地震的能量E2 ，震级M 2=5.0.
因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E = 4.8+1.5 M，
所以lg(
E2
E1)=lg E2−lg E1=1.5(M 2−M 1)=1.5×1.3=1.95，
且lg88.5≈1.947<1.95<1.952≈lg89.5，
所以88.5< E2
E1
<89.5，
根据精确度要求精确到1，所以E2
E1
≈89，
故选：C.
【题型2 对数函数的图象及应用】
5．（25-26 高一上·广东中山·阶段检测）函数f (x)=ln|x)
x
2
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案.
【解答过程】f (x)的定义域是{x| x≠0)，
f (−x)= ln|−x)
(−x)
2 = ln|x)
x
2 = f (x)，
所以f (x)是偶函数，图象关于y轴对称，CD 选项错误.
f(
1
e)=
ln|
1
e)
(
1
e)
2 =−e
2<0，B 选项错误.
故选：A.
6．（25-26 高三·全国·一轮复习）函数y = x
2与函数y =|lg x|图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解题思路】利用数形结合即可求解.
【解答过程】在同一坐标系内画出函数y = x
2与y =|lg x|的图象，如图所示：
由图象知，函数y = x
2与y =|lg x|图象在(0,1)内有一个交点，在[1,+ ∞)上无交点.
故选：B.
7．（25-26 高一·全国·寒假作业）函数y = loga x , y = logb x , y = logc x , y = logd x的图象如图所示，则a，
b，c，d 的大小顺序是（ ）
A．c<d <1<b<aB．d <c<1<a<b
C．1<d <c<a<b D．0<c<d <1<a<b
【答案】D
【解题思路】由y =1与对数函数图像的交点位置即可判断.
【解答过程】
由图可知，直线y =1与x 轴上半部分图象交点的横坐标从小到大依次为c ,d ,a,b，
由此可知0<c<d <1<a<b．
故选：D.
8．（25-26 高一上·浙江舟山·阶段检测）函数f (x)=ln|
e−x
e+ x )（其中e是自然对数的底数）的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案.
【解答过程】对于函数f (x)=ln|
e−x
e+ x )，
由{
e−x≠0
e+ x≠0)，解得x≠±e，
所以f (x)的定义域为{x| x≠±e)，
f (−x)= ln|
e+ x
e−x)=−ln|
e−x
e+ x )=−f (x)，
所以f (x)是奇函数，图象关于原点对称，所以D 选项错误.
f (1)= lne−1
e+1 ，由于0<e−1
e+1 <1，
所以f (1)<0，所以C 选项错误.
f (2e)= ln|
e−2e
e+2e|= ln 1
3 <0，所以B 选项错误.
故选：A.
【题型3 比较指对幂数的大小】
9．（2026·湖南·一模）若a= log7 7
2，b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c<a<b
B．a<b<c
C．a<c<b
D．c<b<a
【答案】C
【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.
【解答过程】因为函数y = log7 x在(0,+ ∞)上为增函数，所以log71<log7 7
2 <log77，即0<a<1，
因为b=7
0.1，c =(
2
7)
−0.1
=(
7
2)
0.1
，
函数y = x
0.1在(0,+ ∞)上为增函数，所以7
0.1>(
7
2)
0.1
>(
7
2)
0
，即b>c>1，
故b>c>a．
故选：C.
10．（2026·山东泰安·模拟预测）a=0.3
0.7,b=0.7
0.3,c = log0.70.3，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得a,b,c的取值范围，即可求解.
【解答过程】由幂函数y = x
0.7为增函数，得a=0.3
0.7<0.7
0.7；
由指数函数y =0.7
x为减函数，得0.7
0.7<b=0.7
0.3<0.7
0=1；
由对数函数y = log0.7 x为减函数，得c = log0.70.3>log0.70.7=1.
所以c>b>a.
故选：A.
11．（2026·上海宝山·二模）已知a>b>0，则（ ）
A．a
2>b
2
B．2
a<2
b
C．a
1
2 <b
1
2
D．log1
2
a>log1
2
b
【答案】A
【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断.
【解答过程】对于A：因为函数f ( x)= x
2在(0,+ ∞)上单调递增，
所以当a>b>0时，a
2>b
2，故A 正确；
对于B：因为函数f ( x)=2
x在(0,+ ∞)上单调递增，
所以当a>b>0时，2
a>2
b，故B 错误；
对于C：因为函数f (x)= x
1
2在(0,+∞)上单调递增，
所以当a>b>0时，a
1
2 >b
1
2，故C 错误；
对于D：因为函数f (x)= log 1
2
x在(0,+ ∞)上单调递减，
所以当a>b>0时，log 1
2
a<log 1
2
b，故D 错误；
故选：A.
12．（2026·天津南开·模拟预测）若2
a=3= logb9，c =e
ln 2
3，则实数a、b、c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．b>a>c
【答案】D
【解题思路】求出a、b、c，利用对数函数、幂函数的单调性可得出a、b、c的大小顺序.
【解答过程】由题意可得a= log23，b
3=9，可得b=9
1
3，c = 2
3，
因为对数函数y = log2 x为(0,+ ∞)上的增函数，则2= log24>a= log23>log22=1，
幂函数y = x
1
3在(0,+ ∞)上为增函数，则b=9
1
3 >8
1
3 =2，
故b>a>c.
故选：D.
【题型4 解对数不等式】
13．（2026·四川成都·一模）已知集合A ={x| x
2−x−2<0)，B ={x |log2( x +2)≥0)，则A ∩B =（ ）
A．{x|−1< x<2)
B．{x|−1≤x<2)
C．{x| x<2}
D．{x| x ≥−1)
【答案】A
【解题思路】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合A ,B，结合集合交集的定义与运算，即可求
解.
【解答过程】由不等式x
2−x −2=( x −2)( x +1)<0，可得−1< x<2，即A = {x|−1< x<2)，
又由log2( x +2)≥0，可得x +2≥1，解得x ≥−1，即B = {x| x ≥−1)，
所以A ∩B ={x|−1< x<2}.
故选：A.
14．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
|2
x−1), x ≤0,
log3(x +1), x>0,)则不等式f (x)≤1的解集为（ ）
A．[0,2)
B．[0,1)
C．(−∞,2)
D．(−∞,1)
【答案】C
【解题思路】分x ≤0和x>0两种情况，解不等式，得到不等式解集.
【解答过程】由题意可知当x ≤0时，0<2
x≤1,故f (x)=1−2
x<1，满足题意；
当x>0时，令log3(x +1)≤1，即0< x +1≤3，解得−1< x ≤2，所以0< x ≤2.
综上，x ≤2.
故选：C.
15．（2026·海南·模拟预测）若集合A = {−1,0,1,2,3),B ={x|log3(x
2−2 x)≤1)，则A ∩B =（ ）
A．{3)
B．{−1,3)
C．{−1,0,2,3)
D．{−1,0,1,2,3)
【答案】B
【解题思路】解对数不等式求出集合B，再由交集运算可得结果.
【解答过程】由题意log3(x
2−2 x)≤1可得0< x
2−2 x ≤3，
解得−1≤x<0或2< x ≤3，即B = {x|)−1≤x<0或2< x ≤3)；
又A = {−1,0,1,2,3)，可得A ∩B = {−1,3).
故选：B.
16．（25-26 高二上·浙江杭州·开学考试）设函数f (x)= x|x)，则不等式f (2log3 x)+ f (3−log3 x)<0的解
集是（ ）
A．(
1
27 ,27)
B．(0, 1
27)
C．(0,27)
D．(27,+∞)
【答案】B
【解题思路】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为R上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单
调性与奇偶性性质将不等式转化为2log3 x<log3 x−3，化简求解可得.
【解答过程】f (x)= x|x)，x∈R，则f ( x)={
x
2,
x ≥0
−x
2,
x<0)，
作出函数f ( x)的图象，可知f ( x)是R上的增函数.
又f (−x)=−x|−x)=−x|x)=−f ( x)，∴f ( x)是奇函数.
不等式f (2log3 x)+ f (3−log3 x)<0可化为f (2log3 x)<−f (3−log3 x)，
所以f (2log3 x)<f (log3 x−3)，则2log3 x<log3 x−3，即log3 x<−3，解得0< x< 1
27 ，
不等式f (2log3 x)+ f (3−log3 x)<0的解集是(0, 1
27).
故选：B.
【题型5 对数（型）函数的单调性问题】
17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5,+∞)上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A．(−∞,4)
B．(−∞,4)
C．(4 ,+∞)
D．[4 ,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可
得a的取值范围.
【解答过程】由函数f ( x)=lg(x
2−ax−5)在(5, +∞)上单调递增，
可得u( x)= x
2−ax−5在(5, + ∞)上单调递增，
且u( x)>0在(5,+ ∞)上恒成立，故需满足{
a
2 ≤5
u(5)=25−5a−5≥0)
，解得a≤4.
故选：B.
18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数f (x)= log2(x
2−2 x)的单调递增区间为（ ）
A．(2,+∞)
B．(1,+∞)
C．(−∞,1)
D．(−∞,0)
【答案】A
【解题思路】先求函数y = log2(x
2−2 x)的定义域，再求函数y = x
2−2 x在定义域上的增区间即可.
【解答过程】解：由已知得x
2−2 x>0，解得x<0或x>2，函数的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)，
因为y = log2t总为增函数，要求函数f ( x)= log2( x
2−2 x)的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数y = x
2−2 x在(−∞,0)∪(2,+ ∞)上的增区间
由二次函数的性质可得y = x
2−2 x在(−∞,0)∪(2,+ ∞)上的增区间为(2,+∞)，
故函数f ( x)= log2( x
2−2 x)的单调递增区间是(2,+∞).
故选：A.
19．（2026·江苏南通·二模）已知函数f ( x)=lg( x
2−ax +2)，则“a≥2”是“函数f ( x)在(−∞,1]上单
调递减”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，结合对数复合函数单调性求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义
判断得解.
【解答过程】令u= x
2−ax +2，函数y =lgu在(0,+∞)上单调递增，
由函数f ( x)在(−∞,1]上单调递减，得函数u= x
2−ax +2在(−∞,1]上单调递减，且当x =1时，u>0，
因此{
a
2 ≥1
1−a+2>0)
，解得2≤a<3，
所以“a≥2”是“函数f ( x)在(−∞,1]上单调递减”的必要不充分条件.
故选：C.
20．（2026·广东·模拟预测）已知函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(−∞, 1
3)
B．(−∞,1)
C．(−1, 1
3)
D．(−1,0)∪(0, 1
3)
【答案】C
【解题思路】由复合函数的单调性得到g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增，列出不等式组，解之
即得参数范围.
【解答过程】因为f (x)= ln x在(0,+ ∞)上单调递增，由函数y = ln(x
2−2ax−3a
2)在[1,+ ∞)上单调递增，
可得g(x)= x
2−2ax−3a
2在[1,+∞)上单调递增且g(x)>0恒成立，
{
a≤1
g(1)=1−2a−3a
2>0)，解得−1<a< 1
3，
即实数a的取值范围是(−1, 1
3).
故选：C.
【题型6 对数函数性质的综合应用】
21．（25-26 高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数f (x)= loga(x +1)+ loga(1−x)，则下列说法正确的是
（ ）
A．若a>1，则f (x)在(−∞, 0)上单调递增
B．若a>1，则f (x)的值域为(−1, 0)
C．若0<a<1，则f (x)在(0, 1)上单调递减
D．若0<a<1，则f (x)的值域为[0,+∞)
【答案】D
【解题思路】求出函数f (x)的定义域，可判断A 选项；利用复合函数的单调性可判断C 选项；利用对数函
数的基本性质求出函数f (x)的值域，可判断BD 选项.
【解答过程】对于函数f (x)= loga(x +1)+ loga(1−x)，有{
x +1>0
1−x>0)，解得−1< x<1，
故函数f (x)的定义域为(−1,1)，A 错；
当a>1时，f (x)= loga(x +1)+ loga(1−x)= loga(1−x
2)，
因为x∈(−1,1)，则x
2∈[0,1)，所以1−x
2∈(0,1)，则f (x)= loga(1−x
2)≤0，
故当a>1时，f (x)的值域为(−∞,0)，B 错；
当0<a<1时，内层函数u=1−x
2在(0,1)上为减函数，外层函数y = logau为减函数，
由复合函数法可知，若0<a<1，则f (x)在(0, 1)上单调递增，C 错；
若0<a<1，因为1−x
2∈(0,1)，则f (x)= loga(1−x
2)≥0，即函数f (x)的值域为[0,+∞)，D 对.
故选：D.
22．（2026·河北·模拟预测）已知函数f (x)={
4−2
x , x ≤1
1+loga(x +1), x>1)，若f (x)的值域为[2,+∞)，则实数a
的取值范围是（ ）
A．(1,❑√2)
B．(❑√2,2)
C．(1,
3√2)
D．(
3√2,2)
【答案】D
【解题思路】根据指数函数性质分析可知g(x)= 4−2
x(x ≤1)的值域为N =[2,4)，结合题意可得
(4 ,+∞)⊆M ⊆[2,+∞)，结合对数函数性质列式求解即可.
【解答过程】设h(x)=1+loga(x +1)(x >1), g(x)= 4−2
x(x ≤1)的值域分别为M , N，
当x ≤1时，则0<2
x≤2，可得N =[2,4)；
因为f (x)的值域为[2,+ ∞)，可知(4 ,+∞)⊆M ⊆[2,+∞)，
则a>1，且h(x)∈(1+loga2,+ ∞)，可得2≤1+loga2<4，解得
3√2<a≤2，
所以实数a的取值范围是(
3√2,2).
故选：D.
23．（25-26 高一上·全国·单元测试）已知f (x)=loga(1+ x)+loga(1−x)（a>0，且a≠1）．
(1)判断f (x)的奇偶性；
(2)若f (x)在区间[
1
4 , 1
2)内的最大值为2，求a．
【答案】(1)f (x)是偶函数
(2)a=
❑√3
2
【解题思路】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可；
（2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可.
【解答过程】（1）由题意得{
1+ x>0,
1−x>0,)解得−1< x<1，
则f (x)的定义域为(−1,1)，关于原点对称，
且f (−x)=loga(1−x)+loga(1+ x)= f (x)，
所以f (x)是偶函数．
（2）f (x)=loga(1+ x)+loga(1−x)=loga(1−x
2)，
①当a>1时，函数y =loga x在[
1
4 , 1
2)上单调递增，
则f (x)在区间[
1
4 , 1
2)内的最大值为2 可转化为g(x)=1−x
2在区间[
1
4 , 1
2)内的最大值为a
2，
因为g(x)在区间[
1
4 , 1
2)单调递减，
所以g( x)max= g(
1
4)= 15
16 =a
2，
解得a=
❑√15
4
（负值舍会），与a>1矛盾，舍去；
②0<a<1时，函数y =loga x在[
1
4 , 1
2)上单调递减，
则f (x)在区间[
1
4 , 1
2)内的最大值为2 可转化为g(x)=1−x
2在区间[
1
4 , 1
2)内的最小值为a
2，
因为g(x)在区间[
1
4 , 1
2)单调递减，
所以g( x)min= g(
1
2)= 3
4 =a
2，解得a=
❑√3
2 （负值舍会），满足0<a<1．
综上，a=
❑√3
2 ．
24．（25-26 高一下·海南海口·期中）已知函数f (x)=(log2 x)
2−mlog2 x
2+1.
(1)设m=−1.
（i）计算f (4)的值，并求f (x)的最小值；
（ii）求f (x)的单调递减区间.
(2)对任意x1, x2∈[1,16),|f (x1)−f (x2))≤8恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)（i）f (4)=9,f ( x)min=0；（ii）f ( x)的单调递减区间为(0, 1
2)
(2)m∈[4−2❑√2,2❑√2)
【解题思路】（1）（i）换元令t = log2 x将原函数化为二次函数，代入x = 4计算函数值，通过二次函数配
方求最小值.
（ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间.
（2）换元转化为区间[0,4 ]上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8 解出m
的范围.
【解答过程】（1）（i）将m=−1代入得f ( x)=(log2 x)
2+2log2 x +1.
令t = log2 x，则f (t )=t
2+2t +1=(t +1)
2.
f (4)=(log24)
2+2log24 +1=2
2+2×2+1=9.
因为t ∈R，f (t )=(t +1)
2≥0，当且仅当t =−1即x = 1
2时取等号，所以f ( x)min=0.
（ii）t = log2 x在(0,+∞)上单调递增.
f (t )=(t +1)
2在(−∞,−1]上单调递减，在[−1,+ ∞)上单调递增.
由t ≤−1得log2 x ≤−1⇒0< x ≤1
2.
所以由复合函数“同增异减”可知f ( x)的单调递减区间为(0, 1
2).
（2）对任意x1, x2∈[1,16]，|f ( x1)−f ( x2)|≤8恒成立，求m的取值范围.
令t = log2 x，x∈[1,16]⇒t ∈[0,4 ]，f ( x)=(log2 x)
2−2m log2 x +1，即g(t )=t
2−2mt +1，
t ∈[0,4 ].
题意等价于g(t )max−g(t )min≤8在t ∈[0,4 ]上恒成立.
g(t )函数图像开口向上，对称轴为t =m.
①当m≤0时，g(t )在[0,4 ]上单调递增，g(t )max = g(4)=17−8m，g(t )min= g(0)=1，
17−8m−1≤8⇒m≥1，与m≤0矛盾，舍去.
②当0<m<4时，g(t )min= g(m)=1−m
2，g(t )max =max {g(0),g(4)}=max {1,17−8m}.
若0<m≤2，g(t )max =17−8m，17−8m−(1−m
2)≤8⇒m
2−8m+8≤0⇒4−2❑√2≤m≤2.
若2<m<4，g(t )max =1，1−(1−m
2)≤8⇒m
2≤8⇒2<m≤2❑√2.
③当m≥4时，g(t )在[0,4 ]上单调递减，g(t )max = g(0)=1，g(t )min= g(4)=17−8m，
1−(17−8m)≤8⇒m≤3，与m≥4矛盾，舍去.
综上，m的取值范围是[4−2❑√2,2❑√2).
一、单选题
1．（2026·江西·模拟预测）若log2a+loga2=2，则a=（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解题思路】利用换底公式得log2a+loga2=2，令t = log2a，即得t + 1
t =2解出即可.
【解答过程】由log2a+loga2=2有log2a+
1
log2a =2，令t = log2a，
则t + 1
t =2⇒t
2−2t +1=0⇒(t −1)
2=0⇒t =1，
所以t = log2a=1⇒a=2，
故选：C.
2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合A ={x | x
2−3 x <0},B ={x |log2 x >1)，则A ∩B =（ ）
A．(0,2)
B．(2,3)
C．(0,3)
D．(1,3)
【答案】B
【解题思路】解一元二次不等式、对数不等式求集合，再由集合运算求交集.
【解答过程】由题设A ={x | x
2−3 x <0}=(0,3),B ={x |log2 x >1)=(2,+ ∞)，所以A ∩B =(2,3).
故选：B.
3．（2026·陕西西安·模拟预测）函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为（ ）
A．{x|x>−1))
B．{x|x≠1))
C．{x|x>1))
D．{x| x>−1且x≠1).
【答案】D
【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解.
【解答过程】由题意得，x +1>0且x−1≠0，则x>−1且x≠1，
则函数y = lg(x +1)
x−1
的定义域为{x| x>−1)且x≠1).
故选：D.
4．（2026·云南·模拟预测）已知函数f (x)=loga|2 x−m)（a>0且a≠1）的图象关于y轴对称，且
f (−2)=2，则a=（ ）
A．1
2
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】根据题意，函数f (x)为偶函数，可求得m的值，再结合f (−2)=2，代入即可求解.
【解答过程】因为函数f (x)=loga|2 x−m)的图象关于y轴对称，
所以函数f (x)为偶函数，所以f (−x)= f (x)，即loga|−2 x−m)=loga|2 x−m)，
即loga|−2 x−m)−loga|2 x−m)=0，即loga|
−2 x−m
2 x−m )=0，即|
−2 x−m
2 x−m )=1，
所以m=0，又f (−2)=loga4 =2，解得a=2．
故选：B.
5．（2026·浙江·一模）已知函数f (x)=log2(2+
a
x +1)+b是奇函数，则a+b=（ ）
A．−3
B．−1
C．−5
D．1
【答案】C
【解题思路】根据奇函数定义域关于原点对称得出a=−4，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数b，
最后计算求解.
【解答过程】f (x)的定义域，由2+
a
x +1 >0，
若a≥0，由不等式可解得函数定义域为(−∞,−2+a
2 )∪(−1,+∞)，不关于原点对称，不可能为奇函数，
若a<0，解得函数定义域为(−∞,−1)∪(−2+a
2
,+∞)，
若为奇函数，必有−2+a
2
+(−1)=0，解得a=−4；
又0= f (x)+ f (−x)=log2(2−
4
x +1)+b+log2(2−
4
−x +1)+b=2+2b，
解得b=−1,a+b=−5，
故选：C.
6．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
B．f (x)=ln(❑√x
2+1−x)
C．f (x)=ln
❑√x
2+1+ x
D．f (x)=ln
❑√x
2+1−x
【答案】B
【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据x>0时，f (x)>0排除A.
【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
f (x)=ln
❑√x
2+1+ x中，f (2)=ln ❑√5+2,f (−2)=ln ❑√5−2，−f (2)，f (−2)不相等，所以C 选项错误；
f (x)=ln
❑√x
2+1−x中，f (2)=ln ❑√5−2,f (−2)=ln ❑√5+2，−f (2)，f (−2)不相等，所以D 选项错误；
对于f (x)=ln(❑√x
2+1)+ x)，当x>0时，f (x)>0，与图象不符，故排除A.
故选：B.
7．（2026·四川绵阳·一模）已知a= 3
2 ,b=log34 ,c =e
1
2，则（ ）
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
D．a<c<b
【答案】A
【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
【解答过程】因为3
2 = log33
3
2 = log3
❑√3
3= log3
❑√27，
又因为对数函数y = log3 x在(0,+ ∞)上单调递增，且4 = ❑√16<❑√27，
所以log34<log3
❑√27，即b<a.
c =e
1
2 = ❑√e，a= 3
2 = ❑√
9
4 ，由于e≈2.718，9
4 =2.25，且函数y = ❑√x在[0,+∞)上单调递增，
所以❑√e>❑√
9
4 ，即c>a.
综合以上两个比较结果，可得b<a<c.
故选：A.
8．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z 满足1+2
x =3
y =5
z，则x、y、z 的大小关系不可能是（ ）
A．x> y > z
B．y > z> x
C．x> z> y
D．y > x> z
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出x , y , z的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判
断.
【解答过程】令1+2
x=3
y =5
z=t ,t >1，得x = log2(t −1), y = log3t , z = log5t，
在同一直角坐标系内作出函数f (t )= log2(t −1),g(t )= log3t ,h(t )= log5t的图象，
则x , y , z分别是函数y
′ = f (t ), y
′ = g(t ), y
′ =h(t )，t >1的图象与直线t =a(a>1)交点的纵坐标，
设B点的横坐标为x1，C点的横坐标为x2，观察图象得当1<a< x1时，y > z> x，
当x1<a< x2时，y > x> z，当a> x2时，x> y > z，
所以ABD 是可能的，C 不可能.
故选：C.
二、填空题
9．（2026·河南开封·模拟预测）设a、b为正数，若ab=32，且log2a=logb64，则a+b=__________．
【答案】12
【解题思路】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于ln a的方程，解出a的值，可得出b的值，即可
得出a+b的值.
【解答过程】因为a、b为正数，若ab=32，且log2a=logb64，即ln a
ln 2 = ln 64
ln b ，即ln a
ln 2 = 6 ln 2
ln b ，
即ln a ln b=6(ln 2)
2，即ln aln 32
a = ln a(5ln 2−ln a)=5ln a ln 2−(ln a)
2=6(ln 2)
2，
整理可得(ln a)
2−5 ln a ln 2+6(ln 2)
2=0，即(ln a−3 ln 2)(ln a−2ln 2)=0，
解得a=8或a= 4，故有{
a=8
b= 4)或{
a= 4
b=8)，故a+b= 4 +8=12.
故答案为：12.
10．（2026·湖南永州·模拟预测）已知正数a满足log8(log9a)=5，则log2(log3a)=__________.
【答案】16
【解题思路】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得.
【解答过程】因为log8(log9a)= log2
3(log3
2a)= 1
3 log2(
1
2 log3a)
= 1
3[log2
1
2 +log2(log3a))= 1
3 [ log2(log3a)−1]=5，
所以log2(log3a)=16.
故答案为：16.
11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数f ( x)= log2( x
2−2ax)在区间[2,4 ]上单调递增，则实数a的取
值范围为___________．
【答案】a<1
【解题思路】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解.
【解答过程】函数y = log2t在(0,+∞)上单调递增，由函数f ( x)= log2( x
2−2ax)在[2,4 ]上单调递增，
得函数t = x
2−2ax在[2,4 ]上单调递增，且∀x∈[2,4 ]，x
2−2ax>0恒成立，
因此{
a≤2
2
2−2a⋅2>0)，解得a<1，所以实数a的取值范围为a<1.
故答案为：a<1.
12．（2026·上海嘉定·一模）已知f (x)=ln 1−x
3
1+ x
3 ，且f (1−a)+ f (1−a
2)>0，则实数a的取值范围是
___________.
【答案】(1,❑√2)
【解题思路】根据题意求函数f (x)的定义域，并判断f (x)的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可.
【解答过程】令1−x
3
1+ x
3 >0，等价于(1−x
3)(1+ x
3)>0，可得−1< x
3<1，解得−1< x<1，
可知函数f (x)=ln 1−x
3
1+ x
3 的定义域为(−1,1)，
因为f (−x)+ f (x)=ln 1+ x
3
1−x
3 +ln 1−x
3
1+ x
3 = ln1=0，即f (−x)=−f (x)，
可知函数f (x)为奇函数，
且f (x)=ln 1−x
3
1+ x
3 = ln(
2
1+ x
3 −1)，
因为y =1+ x
3在(−1,1)内单调递增，则u=
2
1+ x
3 −1在(−1,1)内单调递减，
且y = lnu在定义域内单调递增，可知函数f (x)在(−1,1)内单调递减，
若f (1−a)+ f (1−a
2)>0，则f (1−a)>−f (1−a
2)= f (a
2−1)，
可得{
−1<1−a<1
−1<a
2−1<1
1−a<a
2−1)
，解得1<a<❑√2，
所以实数a的取值范围是(1,❑√2).
故答案为：(1,❑√2).
一、单选题
1．（2026·山东聊城·模拟预测）若c⋅2
a=c⋅log2b=1，则下列式子可能成立的是（ ）
A．c<b<a
B．a<b=c
C．a=b<c
D．b<c<a
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的
图象，结合图象，即可求解.
【解答过程】因为c⋅2
a=c⋅log2b=1，可得b>1,c>0，所以2
a= log2b= 1
c ，
作出函数y =2
x，y = log2 x( x>1)，y = 1
x ( x>0)，以及y =t的大致图象，
如图所示，当t取不同值时，可能得到：a<b<c ,a<b=c ,a<c<b,a=c<b,c<a<b，
可得c<b<a,a=b<c ,b<c<a均不可能成立，
只有a<b=c可能成立.
故选：B.
2．（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规
定：100 mL血液中酒精含量达到20∼79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某天，
驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了0.5mg/mL，如果停止喝酒以后，他血液
中酒精含量会以每小时40 %的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数
据：（ ）lg2≈0.301，lg3≈0.477）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解题思路】设至少经过x小时后才能安全驾驶，由题意可得100×0.5×(1−40 %)
x<20，进而求解即可.
【解答过程】设至少经过x小时后才能安全驾驶，
则满足：100×0.5×(1−40 %)
x<20，化简得：0.6
x<0.4，
根据y =lg x是增函数可得：lg0.6
x<lg0.4，即xlg0.6<lg0.4，
因为lg0.6<0，所以x> lg0.4
lg0.6 = lg 4−1
lg6−1 =
2lg2−1
lg2+lg3−1 ≈
2×0.301−1
0.301+0.477−1 ≈1.79，
所以他至少要经过2 小时后才能驾驶.
故选：B.
3．（2026·广东深圳·模拟预测）若正实数a，b 满足a>b，且ln a⋅ln b>0，则下列不等式一定成立的是
（ ）
A．logab<0
B．a−1
b >b−1
a
C．2
ab+1<3
a+b
D．a
b−1<b
a−1
【答案】D
【解题思路】因为a>b>0，y = ln x为单调递增函数，故ln a>ln b，由于ln a⋅ln b>0，故ln a>ln b>0，
或ln b<ln a<0.对于ABC，分ln a>ln b>0、ln b<ln a<0，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；
对于D，由a
b−1<b
a−1两边取自然对数得到(b−1)ln a<(a−1)ln b，即ln a
a−1 < ln b
b−1，构造函数
f (x)= ln x
x−1（x>0且x≠1），通过导数判断单调性即可判断.
【解答过程】因为a>b>0，y = ln x为单调递增函数，故ln a>ln b，
由于ln a⋅ln b>0，故ln a>ln b>0，或ln b<ln a<0，
当ln a>ln b>0时，a>b>1，此时logab>0；
a−1
b −(b−1
a)=(a−b)(1−1
ab)>0，故a−1
b >b−1
a；
ab+1−(a+b)=(a−1)(b−1)>0，即ab+1>a+b，得2
ab+1>2
a+b，但2
ab+1,3
a+b的大小不确定，
当ln b<ln a<0时，0<b<a<1，此时logab>0，
a−1
b −(b−1
a)=(a−b)(1−1
ab)<0，故a−1
b <b−1
a；
ab+1−(a+b)=(a−1)(b−1)>0，即ab+1>a+b，得2
ab+1>2
a+b，但2
ab+1,3
a+b的大小不确定，
所以ABC 均不正确；
对于D，a
b−1<b
a−1，两边取自然对数，(b−1)ln a<(a−1)ln b，
因为不管a>b>1，还是0<b<a<1，均有(a−1)(b−1)>0，
所以ln a
a−1 < ln b
b−1，故只需证ln a
a−1 < ln b
b−1即可，
设f (x)= ln x
x−1（x>0且x≠1），则f
′ (x)=
1−1
x −ln x
(x−1)
2
，
令g(x)=1−1
x −ln x（x>0且x≠1），则g
′ (x)= 1
x
2 −1
x = 1−x
x
2 ，
当x∈(0,1)时，g
′ (x)>0，当x∈(1,+∞)时，g
′ (x)<0，
所以g( x)在(0,1)上单调递增，在(1,+ ∞)上单调递减，
所以g(x)< g(1)=0，所以f
′ (x)<0在x>0且x≠1上恒成立，
故f (x)= ln x
x−1在定义域上单调递减，
因为a>b，所以ln a
a−1 < ln b
b−1，结论得证，D 正确．
故选：D．
4．（2026·四川资阳·一模）已知函数f ( x)=2
x⋅log2(2 x −2)−1，g( x)=3
x⋅log3(3 x −3)−1，
h( x)= log5(5 x −5)−5
−x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>a>c
D．c>b>a
【答案】A
【解题思路】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图
象，比较零点的大小.
【解答过程】令f (x)=0，则log2(2 x−2)=2
−x，化简得log22+ log2(x−1)=2
−x，
即log2(x−1)=2
−x−1，换底后得到log10(x−1)= log102×(2
−x−1)；
令g(x)=0，则log3(3 x−3)=3
−x，化简得log33+ log3(x−1)=3
−x，
即log3(x−1)=3
−x−1，换底后得到log10(x−1)= log103×(3
−x−1)；
令h(x)=0，则log5(5 x −5)=5
−x；化简得log55+ log5(x −1)=5
−x，
即log5(x −1)=5
−x−1，换底后得到log10(x−1)= log105×(5
−x−1)；
分别画出它们的图象为：
由图可以看出a>b>c.
故选：A.
二、解答题
5．（2026·上海闵行·一模）已知函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f (x)=log3 x.
(1)求f (−3)+ f (0)的值；
(2)若g(x)= f (x)⋅f(
x
9), x∈[1,9)，求函数y = g(x)的值域.
【答案】(1)−1；
(2)[−1,0).
【解题思路】（1）利用奇函数的定义求解；
（2）由f (x)的表达式求出g(x)的表达式，利用换元法将log3 x设为t，求出t的取值范围，利用二次函数的
图象求值域即可得解.
【解答过程】（1）∵函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f (−x)=−f (x),f (0)=0，
∵当x>0时，f (x)=log3 x，f (3)=log33=1，
∴f (−3)+ f (0)=−f (3)+ f (0)=−1+0=−1；
（2）∵当x>0时，f (x)=log3 x，g(x)= f (x)⋅f(
x
9), x∈[1,9)，
∴g(x)=(log3 x)⋅(log3
x
9)=(log3 x)⋅(log3 x−2)=(log3 x)
2−2log3 x , x∈[1,9)，
令log3 x =t，∵x∈[1,9) ，∴t ∈[0,2)，
∴g(x)=h(t )=t
2−2t ,t ∈[0,2)，
∵函数h(t )=t
2−2t图象开口向上，对称轴为t =1，
∴h(t )min=h(1)=−1,h(t )max=h(0)=h(2)=0，
∴函数g(x)的值域为[−1,0).
6．（2026·上海浦东新·三模）已知f (x)= loga x（a>0且a≠1）．
(1)若a=3，解方程f(
27
x )f (3 x)=−5，求x的值；
(2)若f (3a−1)>f (a)，求a的取值范围．
【答案】(1)x =81或x = 1
9
(2)a∈(
1
3 , 1
2)∪(1,+∞)
【解题思路】（1）将a=3代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于x的方程,解方程
即可求解.
（2）根据对数函数的性质，分0<a<1和a>1两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的a取值范围;
【解答过程】（1）当a=3时，则f (x)= log3 x，因为f(
27
x )f (3 x)=−5，
所以log3 27
x ⋅log33 x =−5，化简可得(log327−log3 x)⋅(log33+ log3 x)=−5，
即(3−log3 x)⋅(1+ log3 x)=−5，化简得log3
2 x −2log3 x −8=0，
所以(log3 x−4)(log3 x +2)=0，所以(log3 x−4)(log3 x +2)=0，
解得log3 x = 4或log3 x =−2，即x =81或x = 1
9；
（2）当0<a<1时，函数f (x)= loga x在(0,+ ∞)上单调递减，若f (3a−1)>f (a)，
则0<3a−1<a，解得1
3 <a< 1
2；
当a>1，函数f (x)= loga x在(0,+ ∞)上单调递增，若f (3a−1)>f (a)，
则3a−1>a>0，解得a>1，
综上所述：a的取值范围为(
1
3 , 1
2)∪(1,+∞)．
7．（25-26 高三上·江苏·阶段检测）已知函数f (x)= loga x (a>0 且a≠1).
(1)若f (x)在区间[ 1
4 ,16]上的最大值是2，求实数a 的值；
(2)若函数g(x)=2
x
2−2 x +a的值域为[2,+ ∞)，求不等式loga(1−t )≤1的实数t 的取值范围．
【答案】(1)a= 1
2或a= 4
(2)[−1,1)
【解题思路】(1) 分a>1,0<a<1两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解；
(2) 设m= x
2−2 x +a，则y =2
m因为函数g(x)的值域为[2,+ ∞)，求a的值，利用单调性和定义域解对数不
等式.
【解答过程】（1））① 当0<a<1时，f (x)= loga x在[ 1
4 ,16]上单调递减，
所以f (x)max= loga 1
4 =2,解之可得a= 1
2，
② 当a>1时，f (x)= loga x在[ 1
4 ,16]上单调递减，
所以loga16=2⇒a
2=16，可得a= 4，
综上所述：a= 1
2或a= 4.
（2）设m= x
2−2 x +a，则y =2
m，
因为函数g(x)的值域为[2,+ ∞)，即m≥1，
所以m= x
2−2 x +a=(x−1)
2+a−1，
即a−1=1，得a=2，
根据log2 x是单调递增函数，设x =1−t
则log2(1−t )≤1= log22⇒0<1−t ≤2⇒−1≤t <1，
所以实数t 的取值范围是[−1,1).
8．（25-26 高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数f (x)= ln(−x
2+ax +b).
(1)若f (x)的定义域为(1,2)，求a，b的值.
(2)当b=0时，是否存在a，使得f (x)在(0,2)内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出a的值；若不存
在，说明理由.
(3)若f (x)在(0,1)上单调，求(a+2)
2+b
2的最小值.
【答案】(1)a=3，b=−2
(2)不存在，理由见解析
(3)9
2
【解题思路】（1）根据真数大于0，结合一元二次不等式的解法及韦达定理，即可得答案.
（2）分析可得函数y =−x
2+ax，x∈(0,2)的最大值大于e
2，根据二次函数的性质，分析求解，即可得答
案.
（3）由复合函数单调性可知，g(x)=−x
2+ax +b在(0,1)上单调，且g(x)>0在(0,1)上恒成立，根据二次
函数的性质，分类讨论，分析求解，即可得答案.
【解答过程】（1）由题可知，−x
2+ax +b>0的解集为(1,2)，
所以1 和2 是方程−x
2+ax +b=0的两根，
由韦达定理得{
a=1+2
−b=1×2)，解得a=3，b=−2.
（2）当b=0时，f (x)= ln(−x
2+ax)，要使f (x)= ln(−x
2+ax)在(0,2)内存在最大值且大于2，
只需函数y =−x
2+ax，x∈(0,2)的最大值大于e
2，
则{
0< a
2 <2
−(
a
2)
2
+a× a
2 >e
2
−2
2+a×2≥0 )
，即{
2≤a<4
a
2>4e
2)，无实数解，
故不存在实数a，使得f (x)在(0,2)内存在最大值，且最大值大于2.
（3）若f (x)在(0,1)上单调，记g(x)=−x
2+ax +b，
则由复合函数单调性可知，函数g(x)在(0,1)上单调，且g(x)>0在(0,1)上恒成立
则{
a
2 ≤0
g(1)=−1+a+b≥0)
或{
a
2 ≥1
g(0)=b≥0)
，
①当{
a
2 ≤0
g(1)=−1+a+b≥0)
时，b≥1−a>0，a≤0，
此时(a+2)
2+b
2≥(a+2)
2+(1−a)
2=2a
2+2a+5=2(a+ 1
2)
2
+ 9
2 ≥9
2，
当且仅当a=−1
2，b= 3
2时，等号成立；
②当{
a
2 ≥1
g(0)=b≥0)
时，a≥2，b≥0，
此时(a+2)
2+b
2≥(2+2)
2+0
2=16，当且仅当a=2，b=0时，等号成立.
综上，(a+2)
2+b
2的最小值为9
2.
一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）已知函数f ( x)=|ln x)，若a= f (2
0.3)，b= f (3
0.3)，c = f (3
−0.5)，则a，b，c
的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】A
【解题思路】根据对数函数与绝对值的性质化简f ( x)，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大
小即可.
【解答过程】由题意可得f ( x)={
ln x , x>1
−ln x ,0< x<1)，
因为函数y = x
0.3在(0,+ ∞)上单调递增，所以1<2
0.3<3
0.3，
又因函数y =3
x在R上单调递增，则0<3
−0.5<1<3
0.5，
所以c = f (3
−0.5)=−ln3
−0.5= ln3
0.5= f (3
0.5)，
因1<2
0.3<3
0.3<3
0.5，且f ( x)在(1,+ ∞)上单调递增，
所以f (2
0.3)<f (3
0.3)<f (3
0.5)，即f (2
0.3)<f (3
0.3)<f (3
−0.5).
故a<b<c.
故选：A.
2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
T =k log2 N（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从10
6个单位增加到1.024×10
9
个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时
间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【解答过程】设当N 取10
6个单位、1.024×10
9个单位、4.096×10
9个单位时所需时间分别为T 1,T 2,T 3,
由题意，T 1=k log210
6=6 k log210，
T 2=k log2(1.024×10
9)=k log2(2
10×10
6)=k (10+6 log210)，
T 3=k log2(4.096×10
9)=k log2(2
12×10
6)=k (12+6 log210)，
因为T 2−T 1=k (10+6 log210)−6 k log210=10k =20，所以k =2，
所以T 3−T 2=k (12+6 log210)−k (10+6 log210)=2k = 4，
所以当训练数据量N 从1.024×10
9个单位增加到4.096×10
9个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x，y，z 的大小关系不可能是
（ ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．y > x> z
D．y > z> x
【答案】B
【解题思路】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，对m讨论赋值求出x , y , z，即可得出大小关
系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【解答过程】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以
令m=2，则x =1, y =3
−1= 1
3 , z =5
−3= 1
125，此时x> y > z，A 有可能；
令m=5，则x =8, y =9, z =1，此时y > x> z，C 有可能；
令m=8，则x =2
6=64 , y =3
5=243, z =5
3=125，此时y > z> x，D 有可能；
故选：B．
法二：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以，x =2
m−2, y =3
m−3, z =5
m−5
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x−2, y =3
x−3, y =5
x−5的图象与
直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x，
故选：B．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f ( x)={
−x
2−2ax−a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0)在R 上单调递增，则a 的取值范
围是（ ）
A．(−∞,0]
B．[−1,0]
C．[−1,1]
D．[0,+ ∞)
【答案】B
【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【解答过程】因为f (x)在R上单调递增，且x ≥0时，f ( x)=e
x+ ln( x +1)单调递增，
则需满足{
−
−2a
2×(−1) ≥0
−a≤e
0+ ln1)
，解得−1≤a≤0，
即a 的范围是[−1,0].
故选：B.
5．（2024·北京·高考真题）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
【答案】B
【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【解答过程】由题意不妨设x1< x2，因为函数y =2
x是增函数，所以0<2
x1<2
x2，即0< y1< y2，
对于选项AB：可得2
x1+2
x2
2
>
❑√2
x1·2
x2=2
x1+ x2
2 ，即y1+ y2
2
>2
x1+ x2
2 >0，
根据函数y = log2 x是增函数，所以log2
y1+ y2
2
>log22
x1+ x2
2 = x1+ x2
2
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如x1=0, x2=1，则y1=1, y2=2，
可得log2
y1+ y2
2
= log2 3
2 ∈(0,1)，即log2
y1+ y2
2
<1= x1+ x2，故D 错误；
对于选项C：例如x1=−1, x2=−2，则y1= 1
2 , y2= 1
4 ，
可得log2
y1+ y2
2
= log2 3
8 = log23−3∈(−2,−1)，即log2
y1+ y2
2
>−3= x1+ x2，故C 错误，
故选：B.
6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 d = S−1
ln N 是河流水质的一个评价指标，其中S , N分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）
A．3 N 2=2 N 1
B．2 N 2=3 N 1
C．N 2
2= N 1
3
D．N 2
3= N 1
2
【答案】D
【解题思路】根据题意分析可得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，消去S即可求解.
【解答过程】由题意得S−1
ln N 1
=2.1, S−1
ln N 2
=3.15，则2.1ln N 1=3.15ln N 2，即2ln N 1=3 ln N 2，所以
N 2
3= N 1
2.
故选：D.
7．（2024·天津·高考真题）设a= 4.2
−0.2，b= 4.2
0.2，c =log4.20.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a<b<c
B．a<c<b
C．c<b<a
D．c<a<b
【答案】D
【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【解答过程】因为y = 4.2
x在R上递增，且−0.2<0<0.2，
所以0<4.2
−0.2<4.2
0<4.2
0.2，
所以0<4.2
−0.2<1<4.2
0.2，即0<a<1<b，
因为y = log4.2 x在(0,+∞)上递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2<log4.21=0，即c<0，
所以c<a<b，
故选：D.
二、填空题
8．（2024·上海·高考真题）函数y =log2 x的定义域为___________.
【答案】(0,+∞)
【解题思路】由对数函数性质即可得.
【解答过程】由题意可得x>0，即y =log2 x的定义域为(0,+∞).
故答案为：(0,+∞).
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知a>1且
1
log8a −
1
loga4 =−5
2，则a=___________．
【答案】64
【解题思路】将log8a,loga4利用换底公式转化成log2a来表示即可求解.
【解答过程】由题
1
log8a −
1
loga4 =
3
log2a −1
2 log2a=−5
2，整理得(log2a)
2−5log2a−6=0，
⇒log2a=−1或log2a=6，又a>1，
所以log2a=6= log22
6，故a=2
6=64
故答案为：64.
三、解答题
10．（2024·上海·高考真题）已知函数f (x)=loga x (a>0,a≠1)．
(1)若函数y = f (x)的图象经过点(4,2)，求解不等式f (2 x−2)<f (x)；
(2)若存在x，使得f (x +1)、f (ax)、f (x +2)依次成等差数列，求a的取值范围．
【答案】(1)(1,2)
(2)(1,+∞)
【解题思路】（1）代入点坐标计算求出f (x)=log2 x，根据定义域和单调性即可求出f (2 x−2)<f (x)的解
集；
（2）根据f (x)=loga x的定义域将问题转化为x>0时，得出f (x +1)+ f (x +2)=2f (ax)有解，再结合分离
常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可.
【解答过程】（1）∵f (4)=2，则loga4 =2，
∴a
2= 4，∵a>0，∴a=2，
∴f (x)=log2 x，定义域为(0,+ ∞)，
要解不等式f (2 x−2)<f (x)，则x ,2 x−2∈(0,+∞)，∴x∈(1,+∞)．
又f (x)=log2 x在定义域内是严格增函数，
由f (2 x−2)<f (x)，则2 x−2< x，解得x<2．
综上所述，不等式f (2 x−2)<f (x)的解集为(1,2)．
（2）∵f (x)的定义域为(0,+ ∞)，存在x，使得f (x +1)、f (ax)、f (x +2)依次成等差数列，
则在方程2f (ax)= f (x +1)+ f (x +2)中，应满足{
x +1>0
x +2>0
ax>0 )，
由a>0，解得x>0，问题转化为x>0时，方程f (x +1)+ f (x +2)=2f (ax)有实数解．
又f (x)=loga x，则loga(x +1)+loga(x +2)=2logaax，
即loga(a
2 x
2)=loga(x
2+3 x +2)．
∵f (x)为严格单调函数，
∴a
2 x
2= x
2+3 x +2，
∵x>0，两边同除以x
2得，a
2= 2
x
2 + 3
x +1．
令t = 1
x ，由x>0，则t ∈(0,+ ∞)，
∴a
2=2t
2+3t +1在t >0有解．
又y =2t
2+3t +1=2(t + 3
4)
2
−1
8在(0,+ ∞)上是严格增函数，
∴y =2t
2+3t +1∈(1,+ ∞)，即a
2∈(1,+ ∞)，
又a>0，则a∈(1,+∞).
