专题2.12 函数的图象（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 作出函数的图象】......................................................................................................................................1
【题型2 函数图象的识别】......................................................................................................................................5
【题型3 根据函数图象选择解析式】......................................................................................................................8
【题型4 函数图象的变换】....................................................................................................................................11
【题型5 根据实际问题作函数图象】....................................................................................................................13
【题型6 函数图象的应用】....................................................................................................................................17
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
C 组 真题·实战演练
【题型1 作出函数的图象】
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列各函数的图象．
(1)y =|log2( x +1))；
(2)y = 2 x−1
x−1 ；
(3)y = x
2−2| x|−1．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解题思路】（1）根据图象翻折变换求解即可.
（2）根据图象平移变换求解即可.
（3）首先根据题意得到为偶函数，再根据偶函数的性质画图即可.
【解答过程】（1）将函数y = log2 x的图象向左平移1 个单位长度，
再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y =|log2( x +1))的图象，
如图①所示．
（2）原函数解析式可化为y =2+
1
x−1，
故函数图象可由函数y = 1
x 的图象向右平移1 个单位长度，
再向上平移2 个单位长度得到，如图②所示．
（3）因为y ={
x
2−2 x−1, x ≥0,
x
2+2 x−1, x<0,)，且函数为偶函数，
先用描点法作出[0,+∞)上的图象，再根据对称性作出(−∞,0)上的图象，
最后得函数图象如图③所示．
2．（25-26 高三·全国·一轮复习）作出下列函数的图象
(1)f (x)=|lg x)；
(2)f (x)=lg|x)；
(3)f (x)=|lg) x−1||；
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【解题思路】（1）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（2）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换作图即可；
（3）根据对数函数的图象结合函数图象的对称变换及平移变换作图即可.
【解答过程】（1）先作出y =lg x的图象，再将横轴下方的图象沿横轴上翻，并去除横轴下方的图象，
如下：
（2）先作出y =lg x的图象，保留并作关于纵轴对称的图象，如下：
（3）同上先作出y =lg|x)，将图象向右平移一个单位得到y =lg|x−1)的图象，
再保留横轴上方的图象，并将横轴下方的图象向上翻折，去除横轴下方的图象可得，
如下：
3．（25-26 高一上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数f (x)=|x +3|−) x−1)．
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在平面直角坐标系中直接画出函数y = f (x)的图象.
【答案】(1)f (x)={
−4 , x<−3
2 x +2,−3≤x ≤1
4 , x>1
)
(2)作图见解析
【解题思路】（1）根据绝对值定义将函数分成三段，即可求得函数解析式；
（2）根据分段函数解析式直接画出图象即可.
【解答过程】（1）当x<−3时，f (x)=−(x +3)+(x−1)=−4；
当−3≤x ≤1时，f (x)=(x +3)+(x−1)=2 x +2；
当x>1时，f (x)=(x +3)−(x−1)= 4，
所以f (x)={
−4 , x<−3
2 x +2,−3≤x ≤1
4 , x>1
).
（2）由（1）知f (x)的图象如图所示：
4．（2026 高三·全国·专题练习）作出下列各函数的图象：
(1)y = 2 x−1
x−1 ；
(2)y =|x
2−4 x−5)；
(3)y =(
1
2)
| x−1|
−1．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解题思路】（1）化简y = 2 x−1
x−1 可得y =2+
1
x−1，根据函数图象的平移规律即可得其图象；
（2）根据图象的翻折变换得到图象；
（3）根据图象的翻折变换得到y =(
1
2)
| x|
的图象，再由平移变换得解.
【解答过程】（1）原函数解析式可化为y =2+
1
x−1，
所以函数图象可由函数y = 1
x 上的图象向右平移1 个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到，如图所示．
（2）y =|x
2−4 x−5)的图象可由函数y = x
2−4 x−5的图象保留x 轴上方的部分不变，将x 轴下方的部分
翻折到x 轴上方得到，
如图所示．
（3）y =(
1
2)
| x−1|
−1，其图象可看作由函数y =(
1
2)
| x|
的图象向右平移1 个单位长度，再向下平移1 个单
位长度得到，
而y =(
1
2)
| x|
=¿，其图象可由y =(
1
2)
x
的图象保留x ≥0时的图象，然后将该部分关于y 轴对称得到，
所以y =(
1
2)
| x−1|
−1的图象如图所示．
【题型2 函数图象的识别】
5．（2026·河北廊坊·一模）函数f (x)=ln|x−1)
e
x
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】结合选项中函数图象的特征，利用函数的性质，采用排除法求解即可．
【解答过程】解：f (x)=ln|x−1)
e
x
，定义域为{x|x≠1))，
f (x)=ln|x−1)
e
x
=0，解得x =0或x =2，
∴f (x)过(0,0)和(2,0)，故CD 不符合题意；
又x→+ ∞时，f (x)→0，
所以A 不符合题意，B 符合题意．
故选：B.
6．（2026·山西忻州·模拟预测）函数f (x)=(2
x+2
−x)|x)
x 的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义域判断D，根据奇偶性判断A，再由函数自变量x>0, x<0时，函数值的变
化趋势判断C.根据函数性质，判断B.
【解答过程】函数f (x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+ ∞)，排除选项D；
f (−x)=(2
−x+2
x)|−x)
−x =−(2
−x+2
x)|x)
x =−f (x)，
故函数f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A；
当x>0时，f (x)=(2
x+2
−x)|x)
x =2
x+2
−x>2
❑√2
x×2
−x =2；
当x<0时，f (x)=−(2
x+2
−x)<−2
❑√2
x×2
−x =−2，排除选项C；
综上所得，选项B 符合题意．
故选：B．
7．（2026·江西·三模）函数f (x)= x +(e
x−e
−x)cos x的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由x∈(0,π
2 )，f (x)>0，可排除B.
【解答过程】因为f (−x)=−x +(e
−x−e
x)cos x =−f (x)，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当x∈(0,π
2 )时，e
x−e
−x>0,cos x>0，所以f (x)>0，排除B.
故选：A.
8．（2026·广东广州·模拟预测）函数f ( x)= ln(
❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先判断出f ( x)为奇函数，排除BD；再根据当x趋向于+ ∞时，f ( x)趋向于0，C 错误，A 正
确.
【解答过程】❑√x
2+1+ x>0恒成立，故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
的定义域为R，
f (−x)= ln(❑√x
2+1−x)
e
−x+e
x
= ln(❑√x
2+1+ x)
−1
e
x+e
−x
=−ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
=−f (x)，
故f ( x)为奇函数，BD 错误；
当x趋向于+ ∞时，y =e
x+e
−x的增长速度远大于y = ln(❑√x
2+1+ x)的速度，
故f ( x)= ln(❑√x
2+1+ x)
e
x+e
−x
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A.
【题型3 根据函数图象选择解析式】
9．（2026·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．f ( x)=| x|cos x
2
x−2
−x
B．f ( x)=| x|cos x
2
x+2
−x
C．f ( x)=| x|sin x
2
x+2
−x
D．f ( x)=| x|sin x
2
x−2
−x
【答案】D
【解题思路】函数图象关于y轴对称，排除A ，C，由f (π
2 )=0排除B，利用排除法即可.
【解答过程】函数图像关于y轴对称，则函数是偶函数，
对于A，∵f ( x)=| x|cos x
2
x−2
−x ,x∈(−∞,0)∪(0,+∞),
∴f (−x)=|−x|cos(−x)
2
−x−2
x
=| x|cos x
−(2
x−2
−x)
=−f ( x),
即函数f ( x)=| x|cos x
2
x−2
−x 是奇函数，故A 错，
对于B，∵f ( x)=| x|cos x
2
x+2
−x ，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
∴f (−x)=|−x|cos(−x)
2
−x+2
x
=| x|cos x
2
x+2
−x = f (x)，
∴f ( x)=| x|cos x
2
x+2
−x 是偶函数，
当x =π
2 时，f (π
2 )=
|π
2 |cos(
π
2 )
2
π
2 +2
−π
2
=0，故B 错，
对于C ， ∵f ( x)=| x|sin x
2
x+2
−x ，x∈(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
∴f (−x)=|−x|sin (−x)
2
−x+2
x
=−| x|sin x
2
x+2
−x =−f ( x)，
∴f ( x)=| x|sin x
2
x+2
−x 是奇函数，故C 错，
对于D，f ( x)=| x|sin x
2
x−2
−x ，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
∴f (−x)=|−x|sin (−x)
2
−x−2
x
= −| x|sin x
−(2
x−2
−x)
=| x|sin x
2
x−2
−x = f ( x)，
∴f ( x)=| x|sin x
2
x−2
−x 是偶函数，f(
π
2 )>0，符合题意，故D 正确.
故选：D.
10．（2026·辽宁·二模）函数f (x)的部分图象大致如图所示，则f (x)的解析式可能是（ ）
A．f (x)= ln (x +1)
x +1
B．f (x)=
x
❑√x +1
C．f (x)= ln (x +1)
x
2+1
D．
f (x)=e
x−e
−x
❑√x +1
【答案】B
【解题思路】由图象可知，函数f (x)在(−1,+ ∞)上单调递增，且f (2)<2，进而结合特例判断ACD；结合
导数判断B.
【解答过程】由图象可知，函数f (x)在(−1,+ ∞)上单调递增，且f (2)<2.
对于A，由f (x)= ln (x +1)
x +1
，则f (1)= ln 2
2 = ln 8
6 ，f (7)= ln 8
8 ，
显然f (1)= ln 8
6 >f (7)= ln 8
8 ，不符合题意；
对于B，f (x)=
x
❑√x +1，x>−1，则f
′ (x)=
❑√x +1−x⋅
1
2❑√x +1
x +1
=
x +2
2❑√x +1
x +1
>0，
所以函数f (x)在(−1,+ ∞)上单调递增，
且x<0时，f (x)<0；x>0时，f (x)>0；x =0时，f (x)=0，符合题意；
对于C，由f (x)= ln (x +1)
x
2+1
，则f (1)= ln2
2 = ln 8
6 ，f (7)= ln 8
50 ，
显然f (1)= ln 8
6 >f (7)= ln 8
50 ，不满足题意；
对于D，由f (x)=e
x−e
−x
❑√x +1
，则f (2)=e
2−e
−2
❑√3
，
下面证明：e
2−e
−2
❑√3
>2，即证明e
2−e
−2>2❑√3，
即证明e
4+e
−4−2>12，即证明e
4+e
−4>14，显然成立，
所以f (2)=e
2−e
−2
❑√3
>2，不符合题意.
故选：B.
11．（2026·陕西·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−xB．f (x)=1−
2
e
x+1
C．f (x)= x ❑√|x)
D．f (x)=
x
ln(x
2+2)
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D
正确.
【解答过程】根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (1)≈1， 而对A 选项f (1)=e−e
−1>2排除A；
对B 选项f (x)=1−
2
e
x+1 ，因为e
x+1>1，则
2
e
x+1
∈(0,2)，
则f (x)=1−
2
e
x+1
∈(−1,1)，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C 选项的解析式， f (2)=2❑√2≈2.8， 而根据函数 f ( x) 的图象， 知 f (2)≈1， 排除 C.
故选：D.
12．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
x
B．f (x)=sin 2 x⋅ln x
2+1
x
2
C．f (x)=e
x+e
−x
x
D．f (x)=cos2 x⋅ln x
2+1
x
2
【答案】B
【解题思路】根据图象得到该函数的定义域、奇偶性、零点等性质，据此逐项判断即可.
【解答过程】根据题意，由函数的图象，f ( x)的定义域为{x∣x≠0}，其图象关于原点对称，为奇函数；
在(0,+∞)上，函数图象与x轴存在交点.
由此分析选项：
对于A，f (x)= e
x−e
−x
x
，其定义域为{x∣x≠0)，有f (−x)= e
−x−e
x
−x
= e
x−e
−x
x
= f (x)，
f ( x)为偶函数，不符合题意；
对于B，f ( x)=sin2 x⋅ln x
2+1
x
2
，其定义域为{x∣x≠0}，
有f (−x)=sin (−2 x)⋅ln x
2+1
x
2
=−sin2 x⋅ln x
2+1
x
2
=−f (x)，f ( x)为奇函数，其图象关于原点对称；
当x =k π + π
2
(k ∈Z)时，sin 2 x =0,f ( x)=0，函数图象与x轴存在交点，符合题意；
对于C，f ( x)= e
x+e
−x
x
，当x>0时，e
x+e
−x>0, x>0，故f ( x)>0恒成立，所以该函数图象在(0,+ ∞)上
与x轴不存在交点，不符合题意；
对于D，f ( x)=cos2 x⋅ln x
2+1
x
2
，其定义域为{x∣x≠0}，
有f (−x)=cos(−2 x)⋅ln x
2+1
x
2
=cos2 x⋅ln x
2+1
x
2
= f ( x)，f ( x)为偶函数，不符合题意.
综上所述，只有选项B 的函数满足，
故选：B．
【题型4 函数图象的变换】
13．（25-26 高一上·北京·阶段检测）为得到函数y = 2
x
2 +1的图象，只需把函数y =2
x的图象上的所有点
（ ）
A．向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位
B．向左平移1 个单位，再向上平移1 个单位
C．向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位
D．向右平移2 个单位，再向下平移2 个单位
【答案】A
【解题思路】化简函数y = 2
x
2 +1，由函数图象的平移得到答案.
【解答过程】y = 2
x
2 +1=2
x−1+1，
∴将函数y =2
x的图象上的所有点向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位即可得到函数y = 2
x
2 +1的图
象，
故选：A.
14．（2026 高一上·重庆·专题练习）已知函数f (x)= log3 x，将函数y = f (x)的图像向右平移1 个单位长
度，再将所得的函数图像关于y 轴对称，然后将所得的图像上的点的纵坐标伸长为原来的3 倍，横坐标不
变，得到函数y = g(x)的图像，则函数g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)=3 log3(1−x)
B．g(x)= 1
3 log3(−x−1)
C．g(x)=3log3(−x−1)
D．g(x)= 1
3 log3(1−x)
【答案】C
【解题思路】根据函数图象的平移、伸缩与对称变换求解即可.
【解答过程】由函数f (x)= log3 x的图象向右平移1 个单位长度得到函数y = log3(x−1)的图象，
再将所得的函数图象关于y 轴对称，得到函数y = log3(−x−1)的图象，
然后将函数y = log3(−x−1)图象上的点的纵坐标伸长为原来的3 倍，横坐标不变，
得到函数g(x)=3log3(−x−1)的图象.
故选：C.
15．（2026·北京密云·一模）为了得到y =
4
x
4
x+1
的图象，只需把函数y =
2
x
2
x+1
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的1
2倍（横坐标不变）
【答案】B
【解题思路】根据函数图象的平移、伸缩变换，逐项判断求解即可.
【解答过程】对于A，把函数y =
2
x
2
x+1
的图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得
y =
2
1
2 x
2
1
2 x
+1
，A 错误；
对于B，把函数y =
2
x
2
x+1
的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变），得y =
2
2 x
2
2 x+1
，B 正
确；
对于C，把函数y =
2
x
2
x+1
的图象上所有点的纵坐标变为原来的2 倍（横坐标不变），得y =2⋅
2
x
2
x+1
，C
错误；
对于D，把函数y =
2
x
2
x+1
的图象上所有点的纵坐标变为原来的1
2倍（横坐标不变），得y = 1
2 ⋅
2
x
2
x+1
，D
错误.
故选：B.
16．（2026·辽宁本溪·模拟预测）函数f (x)的图象可看作是由函数g(x)=
2|x−1)
2 x
2−4 x +3
的图象向左平移1 个
单位长度后得到的，则f (x)的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用平移变换可得f (x)= 2|x)
2 x
2+1
，判断函数f (x)的奇偶性，结合赋值法可得结论.
【解答过程】因为g(x)=
2|x−1)
2 x
2−4 x +3
=
2|x−1)
2( x−1)
2+1，所以f (x)= 2|x)
2 x
2+1
，其定义域为R，
且f (−x)=
2|−x)
2(−x)
2+1
= 2|x)
2 x
2+1
= f (x)，所以f (x)为偶函数，故排除BC；
又x>0时，f
′ (x)= 4 x
2+2−8 x
2
(2 x
2+1)
2
= 2−4 x
2
(2 x
2+1)
2，
当x→0
+时，f
′ (x)→2，故排除A，
故选：D.
【题型5 根据实际问题作函数图象】
17．（2026·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形OABC是上底为❑√2，下底为3 ❑√2，高为❑√2的等腰梯形，
记梯形OABC位于直线x =t(t >0)左侧的阴影部分的面积为f (t )，则y = f (t )的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】写出y = f (t )的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【解答过程】根据题意可知在梯形OABC中，∠AOC =∠OCB = 45
∘；
当0<t ≤❑√2时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为f (t )= 1
2 t
2；
当❑√2<t <2❑√2时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为f (t )= 1
2 ×(❑√2)
2+ ❑√2(t −❑√2)= ❑√2t −1；
当t ≥2❑√2时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即f (t )= 1
2 (❑√2+3 ❑√2)×❑√2−1
2 (3 ❑√2−t)
2=−1
2 t
2+3 ❑√2t −5；
所以可得f (t )={
1
2 t
2,0<t ≤❑√2
❑√2t −1,❑√2<t <2❑√2
−1
2 t
2+3 ❑√2t −5,2❑√2≤t ≤3 ❑√2)
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A.
18．（25-26 高一上·全国·课后作业）某天0 时，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午
时他的体温基本正常（正常体温为37 ℃），但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么
发烫了.下面能大致反映出小鹏这一天（0 时至24 时）体温变化情况的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据体温变化过程结合图像可得答案.
【解答过程】选项A 反映，体温逐渐降低，不符合题意 ；选项B 不能反映下午体温又开始上升的过程；
选项D 不能反映下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫这一过程.
故选：C.
19．（25-26 高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1 的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P
沿A −B−C −M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y = f (x)的图象的形状大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】求出点P在对应线段上时的解析式，结合图象判断即可得.
【解答过程】当点P在AB上时，y = 1
2 × AP×BC = x
2，
当点P在BC上时，y = AB×BC −1
2 × AB×BP−1
2 AD× DM −1
2 MC ×CP
=1−1
2
(x−1)−1
2 × 1
2 −1
2 × 1
2
(2−x)= 3
4 −x
4 ，
当点P在CM上时，y = 1
2 × AD× PM = 1
2(
5
2 −x)= 5
4 −1
2 x，
其中A 选项符合要求，B、C、D 都不符合要求，故A 正确.
故选：A.
20．（25-26 高一上·北京海淀·期中）如图，给定菱形ABCD，点P 从A 出发，沿A −B−C在菱形的边上
运动，运动到C 停止，点P 关于AC 的对称点为Q，PQ 与AC 相交于点M，R 为菱形ABCD 边上的动点
（不与P，Q 重合），当AM = x时，△PQR面积的最大值为y，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】分AM = x ≤AO和AO< AM = x ≤AC两种情况讨论△PQR面积的最大值，然后根据解析式
判断图象即可.
【解答过程】
连接BD交AC于点O，
当AM = x ≤AO时，点R在点C处时△PQR面积最大，此时y = 1
2 PQ⋅CM = x tan∠BAC ⋅( AC −x)，
当AO< AM = x ≤AC时，点R在点A处△PQR面积最大，此时y = 1
2 PQ⋅AM =( AC −x)tan∠BCA ⋅x
，
∠BAC =∠BCA且为定值，AC为定值，设tan ∠BAC = tan ∠BCA =a，AC =b，
所以y关于x的函数为y =a(b−x) x.
故选：C.
【题型6 函数图象的应用】
21．（2026·四川成都·一模）已知定义在R上的奇函数f ( x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式
( x−❑√3)f ( x)>0的解集为（ ）
A．(−3,0)∪(❑√3,3)
B．(−3,0)∪(0,3)
C．(−∞,−3)∪(0,3)
D．(−∞,−3)∪(❑√3,3)
【答案】A
【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集.
【解答过程】因为f ( x)是定义在R上的奇函数，所以函数f ( x)图象关于原点对称，故得函数的图象如下：
且f (−3)=−f (3)=0.
由图象可知，要使( x−❑√3)f ( x)>0，当x>❑√3时，f ( x)>0，得❑√3< x<3；
当x<❑√3时，f ( x)<0，得−3< x<0；
当x = ❑√3，不等式不成立；
综上，不等式( x−❑√3)f ( x)>0的解集为(−3,0)∪(❑√3,3).
故选：A.
22．（2026·河南郑州·二模）函数f (x)=2sin(2 x + π
6)与函数g(x)=log2 x的图象交点个数为（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个
数.
【解答过程】
通过五点法(
π
6 ,2),(
5π
12 ,0),(
2π
3 ,−2),(
11π
12 ,0),(
7π
6 ,2)作出周期函数f (x)的图象，
再通过两点法(1,0),(4,2)作出单调函数g(x)= log2 x的图象，
因为4∈(
7π
6 ,17π
12 )，所以通过图象可判断它们有3个交点，
故选：A.
23．（2026·贵州毕节·一模）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x +3, x ≤0
|ln x), x>0
)，则函数y =[f ( x))
2−5 f ( x)+6的零点
个数为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】由[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6=0可得f ( x)=2或f ( x)=3，作出图形，结合图形即可求解.
【解答过程】由题意，令[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6=0，解得f ( x)=2或f ( x)=3，
作出y = f ( x)的图象，如图，
由图可知，直线y =2与y = f ( x)图象有3 个交点，
直线y =3与y = f ( x)图象有4 个交点，
所以原方程有7 个解，
即函数y =[ f ( x)]
2−5 f ( x)+6有7 个零点.
故选：C.
24．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数f ( x)={
−x
2−2 x , x ≤0
ln x , x>0 )，函数g(x)= f (x)−a有三个零点
x1, x2, x3，则x1⋅x2⋅x3的取值范围是（ ）
A．[0,1)
B．[
1
e ,1)
C．[
1
e ,e)
D．[0,e)
【答案】D
【解题思路】由g(x)= f (x)−a有三个零点，可转化为y = f ( x)与y =a图象有三个不同的交点x1, x2, x3，
作出图象，可得a 的范围，根据韦达定理可得，x1⋅x2=a，根据对数的性质，可得x3=e
a，即可得
x1⋅x2⋅x3的表达式，构造函数，利用导数求得单调性，可求出最值，即可得答案.
【解答过程】当x ≤0时，f ( x)=−x
2−2 x =−( x +1)
2+1，为开口向下，对称轴为x =−1的抛物线，
因为g(x)= f (x)−a有三个零点x1, x2, x3，不妨令x1< x2< x3，
所以g(x)= f (x)−a=0有三个不相等的根x1, x2, x3，
即y = f ( x)与y =a图象有三个不同的交点x1, x2, x3，
作出图象，如图所示
所以0≤a<1，
因为x1, x2为方程−x
2−2 x =a，即x
2+2 x +a=0的两个不相等实根，
所以x1⋅x2=a，
因为x3为方程ln x =a的根，所以x3=e
a，
所以x1⋅x2⋅x3=a⋅e
a，
令h( x)= xe
x , x∈[0,1)，
则h
′( x)=e
x+ xe
x =(1+ x)e
x>0，
所以h( x)在[0,1)上单调递增，
所以h(0)≤h( x)<h(1)，即0≤h( x)<e，
所以x1⋅x2⋅x3=a⋅e
a∈[0,e).
故选：D.
一、单选题
1．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．f (x)=ln(❑√x
2+1+ x)
B．f (x)=ln(❑√x
2+1−x)
C．f (x)=ln
❑√x
2+1+ x
D．f (x)=ln
❑√x
2+1−x
【答案】B
【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据x>0时，f (x)>0排除A.
【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，
f (x)=ln
❑√x
2+1+ x中，f (2)=ln ❑√5+2,f (−2)=ln ❑√5−2，−f (2)，f (−2)不相等，所以C 选项错误；
f (x)=ln
❑√x
2+1−x中，f (2)=ln ❑√5−2,f (−2)=ln ❑√5+2，−f (2)，f (−2)不相等，所以D 选项错误；
对于f (x)=ln(❑√x
2+1)+ x)，当x>0时，f (x)>0，与图象不符，故排除A.
故选：B.
2．（2026·广西柳州·一模）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)= 2
x+2
−x
4|x)−3
B．f (x)= 2
x−2
−x
3−4|x)
C．f (x)= 2
x−2
−x
4|x)−3
D．f (x)=
x
|x)−1
【答案】C
【解题思路】利用函数f (x)在(1,+ ∞)上的值排除B, 利用奇偶性排除A, 利用函数f (x)在(1,+∞)上的单
调性排除D
【解答过程】对于A，f (x)= 2
x+2
−x
4| x|−3，定义域为(−∞,−3
4)∪(−3
4 , 3
4)∪(
3
4 ,+∞)，
又f (−x)=
2
−x+2
x
4|−x|−3 = 2
x+2
−x
4| x|−3 = f ( x)，所以f ( x)为偶函数，故A 错误；
对于B，当x>1时f (x)= 2
x−2
−x
3−4 x ，
易知2
x−2
−x>0，3−4 x<0，所以f ( x)<0，不满足，故B 错误；
对于D，当x>1时，f (x)=
x
| x|−1 =
x
x−1 =1+
1
x−1，
由反比例函数的性质可知，f (x)在(1,+ ∞)上单调递减，故D 错误；
检验选项C，f (x)= 2
x−2
−x
4|x)−3满足图中性质。
故选：C.
3．（25-26 高一上·江西吉安·期中）已知函数f ( x)是定义在R上的增函数，则函数y = f (| x−1|)+1的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】根据函数的对称性及单调性，结合函数图象的平移得出函数性质，进而判断即可.
【解答过程】由函数f ( x)是R上的增函数，得函数y = f (| x|)是R上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递
增，
函数y = f (| x−1|)+1的图象是函数y = f (| x|)的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位而得，
因此函数y = f (| x−1|)+1的图象关于直线x =1对称，且在(1,+∞)上单调递增，选项ABD 不符合题意，
C 符合.
故选：C.
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=
x
|x)−1
B．f (x)= |x)
1−x
2
C．f (x)=−
x
2
|x)+1
D．f (x)=
x
2
1−|x)
【答案】D
【解题思路】利用排除法，根据函数定义域、奇偶性以及单调性分析判定即可.
【解答过程】由图可知：函数f (x)的图象关于y 轴对称，定义域有两个间断点，
对于选项A：令|x)−1≠0，解得x≠±1，可知f (x)的定义域为{x| x≠±1)，
且f (−x)=
−x
|−x)−1 =−
x
|x)−1 =−f (x)，可知函数f (x)为奇函数，
其图象关于原点轴对称，故A 错误；
对于选项B：令1−x
2≠0，解得x≠±1，可知f (x)的定义域为{x| x≠±1)，
当x>1时，f (x)= |x)
1−x
2 =
x
1−x
2 =
1
1
x −x ，
因为y = 1
x −x在(1,+ ∞)内单调递减，函数f (x)在(1,+∞)内单调递增，故B 错误；
对于选项C：因为|x)+1>0，可知f (x)的定义域为R，故C 错误；
故选：D.
5．（2026·河北邢台·三模）函数f ( x)=e
x
x
2 −1
x 的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解题思路】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出f ( x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增也可.
【解答过程】解法一：因为函数f ( x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故排除A；
f (1)=e−1，f (−1)= 1
e +1，所以f (1)≠−f (−1)，f (1)≠f (−1)，
故f (x)非奇非偶函数，故排除B，D.
解法二： 由题可知f
'( x)= ( x−2)e
x
x
3
+ 1
x
2 = ( x−2)e
x+ x
x
3
，
当x<0或x>2时，f
' (x)>0，则f ( x)在(−∞,0)，(2,+∞)上单调递增，故ABD 错误；
故选：C.
6．（2026·天津武清·模拟预测）已知函数f (x)=3|x)，g(x)=sin x，某函数的部分图象如图所示，则该函数
可能是（ ）
A．y = f (x)+ g(x)
B．y = f (x)−g(x)
C．y = f (x)g(x)
D．y = g(x)
f (x)
【答案】C
【解题思路】结合函数的奇偶性及特值法可判断.
【解答过程】对于A，令h(x)= f (x)+ g(x)=3|x)+sin x，由h(−x)=3|x)−sin x，则h(−x)≠h(x)，
h(−x)≠−h(x)，
所以y = f (x)+ g(x)是非奇非偶函数，由图象不符，故A 错误；
对于B，令φ(x)= f (x)−g(x)=3|x)−sin x，由φ(−x)=3|x)+sin x，则φ(−x)≠φ(x)，φ(−x)≠−φ(x)，
所以y = f (x)−g(x)是非奇非偶函数，由图象不符，故B 错误；
对于D，y = g(x)
f (x) = sin x
3|x) ，当x =2时，y = sin2
9
∈(0,1)，与图象不符，排除D，故C 正确.
故选：C.
7．（2026·山东·模拟预测）函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．−ln2
B．ln2
C．0
D．1
【答案】C
【解题思路】根据指数函数、反比例函数的性质及图象的平移变换可知：函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1
的图象共有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程e
x= x +1
x−1的解.根据x1是方
程e
x= x +1
x−1的解得e
x1= x1+1
x1−1，再由对称性可知−x1是方程e
x= x +1
x−1的解，即可求解x1+ x2.
【解答过程】∵g(x)= x +1
x−1 = x−1+2
x−1
=1+
2
x−1，
∴函数g(x)的图象由y = 2
x 的图象向右平移1 个单位，再向上平移1 个单位得到的.
根据反比例函数的性质可知g(x)在(−∞,1)和(1,+∞)上单调递减，又f (x)=e
x在R上单调递增，
故在同一平面直角坐标系下画出函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1的图象如下图所示.
由图可知：函数f (x)=e
x与函数g(x)= x +1
x−1的图象共有两个交点，
不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1，x2是方程e
x = x +1
x−1的解.
若x1是方程e
x= x +1
x−1的解，即e
x1= x1+1
x1−1.
又
−x1+1
−x1−1 = x1−1
x1+1 = 1
e
x1 =e
−x1，∴−x1是方程e
x= x +1
x−1的解，
∴x2=−x1，则x1+ x2= x1+(−x1)=0.
故选：C.
8．（25-26 高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数f ( x)=2−|x)的图象与g( x)=|log3|x))的图象的交点个数为
（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】C
【解题思路】画出函数图像即可求解.
【解答过程】在同一直角坐标系中，作出两个函数f ( x)=2−|x)与g( x)=|log3|x))的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为4.
故选：C.
9．（2026·天津·一模）已知函数f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A．f ( x)=
ln| x|⋅sin(
π
2 −x
2)
x
B．f ( x)=
ln| x|⋅sin(
π
2 −x)
x
C．f ( x)=
ln| x|⋅sin(
π
2 −x)
x
2
D．f ( x)= ln| x|⋅sin x
x
【答案】B
【解题思路】根据函数的奇偶性，结合选项判断函数的奇偶性，结合f (2)<0即可求解.
【解答过程】由图象可知f ( x)的图象关于原点对称，所以f ( x)为奇函数，且f (2)<0，
对于A, f (2)=
ln 2⋅sin(
π
2 −1)
2
>0，故不符合，A 错误，
对于B, f ( x)=
ln| x|⋅sin(
π
2 −x)
x
= ln| x|⋅cos x
x
，f (−x)= ln|−x|⋅cos(−x)
−x
= f (x)则f ( x)为奇
函数，且满足f (2)<0，故B 正确，
对于C, f ( x)=
ln| x|⋅sin(
π
2 −x)
x
2
= ln| x|⋅cos x
x
2
,f (−x)= ln|−x|⋅cos(−x)
(−x)
2
= f (x)，则f ( x)为偶
函数，不符合，C 错误，
对于D, f ( x)= ln| x|⋅sin x
x
,f (−x)= ln|−x|⋅sin (−x)
−x
= f (x)，f ( x)为偶函数，不符合，D 错误，
故选：B.
10．（25-26 高一上·福建厦门·期末）设函数f (x)=|x
2−a)，g(x)=a|x)+1，若曲线y = f (x)与y = g(x)恰
有3 个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．2
【答案】B
【解题思路】结合偶函数的对称性可知除对称轴x =0处以外两偶函数图象的交点成对出现，由f (0)= g(0)
即可得a的值，并代入检验即可；
【解答过程】易知函数f (x)，g(x)均为偶函数，除对称轴x =0处以外两偶函数图象的交点成对出现，
由曲线y = f (x)与y = g(x)恰有3 个交点可知，f (0)= g(0)，
即|a)=1，解得a=−1或1．
当a=−1时，f (x)=|x
2+1)，g(x)=−|x)+1，由图象分析可知恰有1 个交点，不符合题意；
当a=1，f (x)=|x
2−1)，g(x)=|x)+1，由图象分析可知符合题意．
故选：B．
11．（2026·天津·二模）函数f (x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f (x)=e
x−e
−x
cos x
B．f (x)=e
x+e
−x
cos x
C．f (x)=e
x−e
−x
sin x
D．f (x)=e
x+e
−x
sin x
【答案】A
【解题思路】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答.
【解答过程】根据图象可以看出，函数的定义域不包括± π
2 ，
这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D 的定义域包括± π
2 ，所以排除C,D.
由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B 中，
因为f (−x)= e
−x+e
x
cos x = f (x)，说明选项B 中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.
故选：A.
12．（2026·云南玉溪·二模）已知函数y = f (x)与y = g(x)的图象如图所示，则函数y = f (x)g(x)的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据函数y = f (x)与y = g(x)的图象可知函数y = f (x)g(x)的定义域与奇偶性，即可选出求解.
【解答过程】由图可知函数y = f (x)g(x)的定义域为函数y = f (x)和函数y = g(x)的定义域的交集为
(−∞,0)∪(0,+ ∞)，
故函数y = f (x)g(x)的图象不经过坐标原点，排除选项BC；
又因为函数y = f (x)是偶函数，函数y = g(x)是奇函数，所以函数y = f (x)g(x)是奇函数，排除选项D.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·广西柳州·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
2+2 x−3, x ≤0
−2+ ln x , x>0 )，若方程f ( x)=k的实数解恰有两个，
则实数k的取值范围是（ ）
A．k ≤−4
B．−4<k <−3
C．k =−4或k >−3
D．k =−4或k ≥−3
【答案】C
【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数k的取值范围.
【解答过程】当x ≤0时，函数f ( x)= x
2+2 x−3在(−∞,−1]上单调递减，函数值集合为[−4 ,+∞)，
在[−1,0]上单调递增，函数值集合为[−4 ,−3]；
当x>0时，f ( x)=−2+ ln x在(0,+ ∞)上递增，函数值集合为R，
在直角坐标系内作出函数y = f (x)的图象与直线y =k，
由图象知，当k =−4或k >−3时，直线y =k与函数y = f (x)的图象有两个交点，
即方程f (x)=k有两个实数解.
故选：C.
2．（2026·安徽池州·二模）已知函数f (x)={
e
x+2, x ≤0
x + 1
x , x>0)
，若f
2(x)−(a+2)f (x)+2a=0有4 个互不相同
的根，则a的取值范围为（ ）
A．(2,3)
B．(2,3)
C．(3,+∞)
D．[3,+∞)
【答案】B
【解题思路】先求解方程f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0，得到f ( x)的表达式，再结合函数f ( x)的图象，分
析f ( x)取不同值时方程根的个数，进而确定a的取值范围.
【解答过程】令t = f ( x)，则方程f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0可转化为t
2−(a+2)t +2a=0.
对t
2−(a+2)t +2a=0进行因式分解可得(t −2)(t −a)=0，则t1=2，t2=a.
所以f ( x)=2或f ( x)=a.
当x ≤0时，f ( x)=e
x+2，因为指数函数y =e
x在(−∞,0]上单调递增，所以f ( x)=e
x+2在(−∞,0]上单调
递增，且f ( x)∈(2,3].
当x>0时，f ( x)= x + 1
x ，对其求导，f
′( x)=1−1
x
2 = x
2−1
x
2
= ( x +1)( x−1)
x
2
.
令f
′( x)=0，即( x +1)( x−1)
x
2
=0，解得x =1（x>0）.
当0< x<1时，f
'( x)<0，f ( x)单调递减；
当x>1时，f
'( x)>0，f ( x)单调递增.
所以f ( x)在x =1处取得极小值，也是最小值，f (1)=1+ 1
1 =2.
对于f ( x)=2：
当x>0时，x + 1
x =2，即x
2−2 x +1=0，( x−1)
2=0，解得x =1，有1个根.
因为f
2( x)−(a+2)f ( x)+2a=0有4个互不相同的根，f ( x)=2已经有1个根，所以f ( x)=a需要有3个不
同的根.
结合f ( x)的图象可知，当2<a≤3时，y = f ( x)与y =a有3个不同的交点，即f ( x)=a有3个不同的根.
a的取值范围为(2,3].
故选：B.
3．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数f (x)={
x
3, x ≥0
−x , x<0)，若函数g(x)= f (x)−|k x
2−3 x)(k ∈R)恰有4 个
零点，则k的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1
3)∪(2❑√3,+∞)
B．(−∞,−1
3)∪(0,2❑√3)
C．(−∞,0)∪(0,2❑√3)
D．(−∞,0)∪(2❑√3,+ ∞)
【答案】D
【解题思路】由g(0)=0，结合已知，将问题转化为y =|kx −3)与h( x)= f ( x)
| x| 有3个不同交点，分
k =0,k <0,k >0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【解答过程】注意到g(0)=0，所以要使g( x)恰有4 个零点，
只需方程|kx −3|= f ( x)
| x| 恰有3 个实根即可，
令h( x)= f ( x)
| x| ，即y =|kx−3|与h( x)= f ( x)
| x| 的图象有3个不同交点.
而h( x)= f ( x)
|x) ={
x
2,
x>0
1,
x<0)，y =|kx −3|恒过(0,3)，
当k =0时，此时y =3，如图1，y =3与h( x)= f ( x)
| x| 有1个不同交点，不满足题意；
当k <0时，如图2，此时y =|kx−3|与h( x)= f ( x)
| x| 恒有3个不同交点，满足题意；
当k >0时，如图3，当y =kx −3与y = x
2相切时，联立方程得x
2−kx +3=0，
令Δ=0得k
2−12=0，解得k =2❑√3（负值舍去），所以k >2❑√3.
综上，k的取值范围为(−∞,0)∪(2❑√3,+∞).
故选：D.
二、填空题
4．（25-26 高一上·天津滨海新区·期中）已知函数f (x)={
|2
x−2), x<2
3
x−1 , x ≥2)
，若函数y = f (x)的图像与y =k的
图像有3 个不同的交点，则实数k的取值范围为__________.
【答案】(0,2)
【解题思路】画出函数f ( x)的图象，结合图象求解即可.
【解答过程】
在坐标系中画出f (x)={
|2
x−2), x<2
3
x−1 , x ≥2)
，
由图可知，要使y = f (x)与y =k有三个交点，应使0<k <2.
故答案为：(0,2).
5．（2026·江苏·模拟预测）已知函数f ( x)={
x
3, x ≤a
|2
x−4), x>a)，若存在实数b，使函数y = f ( x)−b恰有3个
零点，则实数a的取值范围是___________．
【答案】(0,2)
【解题思路】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数b使得函数y = f (x)−b恰有3 个零
点”问题转化为函数f (x)与直线y =b有三个交点的问题，结合图象即可求得a的取值范围.
【解答过程】当x ≤a时，f (x)= x
3，求导得f
' (x)=3 x
2≥0，
所以f (x)在(−∞,a)上单调递增，最大值为f (a)=a
3.
当x>a时，f (x)=|2
x−4).
当x>2时，f (x)=2
x−4；当x<2时，f (x)=−2
x+ 4，
画出f (x)的图象如下：
因为存在实数b使得函数y = f (x)−b恰有3 个零点，这个问题可以转化为函数f (x)与直线y =b有三个交点
的问题.
由图可知a≤0时，存在实数b使得函数f (x)与直线y =b最多有2 个交点，不合题意.
当a≥2时，存在实数b使得函数f (x)与直线y =b最多有2 个交点，不合题意.
当0<a<2时，由图可以知道，存在实数b使得函数f (x)与直线y =b恰有3 个交点，符合题意.
故答案为：(0,2).
三、解答题
6．（25-26 高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x ≥0时，
f (x)= x (1−x).
(1)求f (2)，f (−2)的值
(2)求函数f (x)在R上的解析式.
(3)在给出的直角坐标系中，画出函数f (x)的图象.
【答案】(1)f (2)=−2,f (−2)=2
(2)f (x)={
x (1−x),(x ≥0),
x (x +1),(x<0).)
(3)图象见解析
【解题思路】（1）由解析式和函数奇偶性即可求解；
(2)先用代入法求f (x)在x<0的解析式，再合并在一起写成分段函数即可．
(3)利用奇函数图像关于原点对称，先作出当x ≥0时，f (x)= x (1−x)的图像，再作出它关于原点的对称图
像即可；
【解答过程】（1）（1）由题意可得：f (2)=2×(−1)=−2，
又函数为奇函数，所以f (−2)=−f (2)=2
（2）设x<0，则−x>0，
所以f (−x)=−x(1−(−x))=−x(1+ x)，
又因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，
所以f (−x)=−f (x).
所以当x<0，f (x)= x (1+ x)，
综上f (x)的解析式为：f ( x)={
x(1−x), x ≥0
x(1+ x), x<0)．
（3）图像如图示．
7．（25-26 高一上·江西上饶·阶段检测）已知函数f (x)的解析式为f (x)=¿.
(1)画出函数的图象，并直接写出函数的值域和单调区间；
(2)解不等式f (x)≥−1；
(3)若直线y =k（k 为常数）与函数f (x)的图象分别有两个和四个公共点，直接写出相对应的k 的范围.
【答案】(1)函数图象见解析；值域为(−∞,4)，单调递增区间为(−∞,0)，(1,3)，单调递减区间为(0,1)，
[3,+ ∞)；
(2)(−∞, 11
2 )
(3)当k =0或1<k <4时，有两个公共点；当0<k <1时，有四个公共点.
【解题思路】（1）画出函数图象，并根据图象得到值域和单调区间；
（2）先从图象得到f (x)=−1的解，数形结合得到f (x)≥−1的解集；
（3）从图象得到公共点的个数和相对应的k 的范围.
【解答过程】（1）函数图象如下：
函数的值域为(−∞,4)，单调递增区间为(−∞,0)，(1,3)，
单调递减区间为(0,1)，[3,+ ∞)；
（2）f (x)=−1，从图象可知，令−2 x +10=−1，解得x = 11
2 ，
故f (x)≥−1的解集为(−∞, 11
2 )；
（3）从图象可以看出，当k =0或1<k <4时，直线y =k（k 为常数）与函数f (x)有两个公共点，
当0<k <1时，直线y =k（k 为常数）与函数f (x)的图象有四个公共点.
8．（25-26 高一上·青海西宁·阶段检测）已知函数f (x)的图象关于y轴对称，且当x ≥0时，
f (x)= x
2+2 x−3．
(1)求f (x)的解析式，并画出f (x)的图象，根据图象写出它的单调区间；
(2)若f (m+1)<f (2m−1)，求实数m的取值范围．
(3)设函数g(x)= f (x)−k，若g(x)有2 个零点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)f (x)={
x
2+2 x−3, x ≥0
x
2−2 x−3, x<0)，作图见解析，单调递增区间是[0,+∞)，单调递减区间是(−∞,0)
；
(2)(−∞,0)∪(2,+∞)
(3)(−3,+∞)
【解题思路】（1）当x<0时，−x>0，求出f (−x)，再利用f (x)= f (−x)可求解析式，再利用解析式画出
一元二次函数图象，结合图象写出单调区间；
（2）利用函数的单调性和奇偶性可得；
（3）将问题转化为y = f (x)与y =k的图象有2 个交点，数形结合即可.
【解答过程】（1）由x ≥0时，f (x)= x
2+2 x−3，
当x<0时，−x>0，可得f (−x)=(−x)
2+2(−x)−3= x
2−2 x −3，
因为函数f (x)的图象关于y轴对称，即f (x)为偶函数，
所以f (x)= f (−x)= x
2−2 x−3，
所以f (x)={
x
2+2 x−3, x ≥0
x
2−2 x−3, x<0)，
当x ≥0时，对称轴为x =−1，故f (x)在[0,+∞)上单调递增，且f (0)=−3，
当x<0时，对称轴为x =1，故f (x)在(−∞,0)上单调递减，
故f (x)的图象如图：
由图象可知：单调递增区间是[0,+∞)，单调递减区间是(−∞,0)；
（2）由f (m+1)<f (2m−1)，结合函数的单调性和奇偶性可得，|m+1)<|2m−1)，
平方可得m
2−2m>0，解得m>2或m<0，
所以实数m的取值范围是(−∞,0)∪(2,+ ∞).
（3）函数g(x)有2 个零点等价于y = f (x)与y =k的图象有2 个交点，所以k >−3，
实数k的取值范围为(−3,+∞)．
一、单选题
1．（2026·天津·高考真题）函数f ( x)的部分图象如图所示，则f ( x)的解析式可能为（ ）
A．x +sinπ x
B．x−sinπ x
C．−x +sinπ x
D．x⋅sinπ x
【答案】C
【解题思路】A、B、D 项，结合特殊点即可排除；C 项，求出奇偶性和单调性，即可判断.
【解答过程】由题意，
由题意及图得，函数y = f (x)为奇函数，且当x =1时，f (x)<0，
对A 选项，当x =1时，1+sinπ=1+0=1>0，与图象不符，故A 错误；
对B 选项，当x =1时，1−sinπ=1−0=1>0，与图象不符，故B 错误；
对D 选项，当x =1时，1×sinπ=1×0=0，与图象不符，故D 错误；
对C 选项，在g( x)=−x +sinπ x中，
g(−x)=−(−x)+sin (−π x)= x−sinπ x =−g(x)，即该函数为奇函数，
g(1)=−1+sinπ=−1+0=−1<0，与图象相符，故C 正确.
故选：C.
2．（2026·上海·高考真题）平移对称法在几何学中具有重要的应用.设平面直角坐标系xOy中有一图形Ω，
过Ω内任意一点P作垂直于x轴的直线lP，满足lP∩Ω为一线段.现沿lP方向平移这些线段，使得它们的中点
均在x轴上，这样叫做平移对称法.对于−x
2+ x +1，−x
2−x，直线x =0和直线x =1围成的封闭图形Ω，对
它进行一次平移对称，得到的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】先作出两函数在区间[0,1]上的图象，根据平移对称法，分别算出x =0和x = 1
2时，两函数的
函数值，求得对应线段的中点的纵坐标，从而得出需要将两函数图象上下平移的长度，根据平移后对应点
的坐标结合各选项逐一判断即得；也可以通过计算两函数的函数值差值等分量，根据该函数的类型结合选
项确定答案.
【解答过程】方法一：依题意，作出函数y1=−x
2+ x +1与y2=−x
2−x在[0,1]上的图象.
按照平移对称法，当x =0时，y1=1, y2=0，线段中点纵坐标为1
2，
则应将此时的线段沿lP方向向下平移1
2，y1, y2的图象上的对应点纵坐标应分别为1
2和−1
2，故排除B 项；
当x = 1
2时，y1= 5
4 , y2=−3
4 ，线段中点纵坐标为1
4 ，则应将此时的线段沿lP方向向下平移1
4 ，
y1, y2的图象上的对应点纵坐标应分别为1和−1，故可排除C，D 两项，A 项符合题意.
方法二：根据平移对称法的基本概念，将函数y =−x
2+ x +1和函数y =−x
2−x在[0,1]上的函数值差值等
分在x轴上下两侧，
等分量为y = −x
2+ x +1−(−x
2−x)
2
= x + 1
2
，故在[0,1]上线性变化，结合选项知，只有选项A 符合题意.
故选：A.
3．（2025·北京·高考真题）为了得到函数y =9
x的图象，只需把函数y =3
x的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的1
3倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
【答案】A
【解题思路】由y =9
x =3
2 x，根据平移法则即可解出．
【解答过程】因为y =9
x=3
2 x，所以将函数y =3
x的图象上所有点的横坐标变成原来的1
2倍，纵坐标不变，
即可得到函数y =9
x的图象，
故选：A.
4．（2025·天津·高考真题）已知函数y = f (x)的图象如下，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．f ( x)=
x
1−| x|
B．f ( x)=
x
| x|−1
C．f ( x)=| x|
1−x
2
D．f ( x)=| x|
x
2−1
【答案】D
【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由x∈(0,1)时函数值正负情况可得解.
【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数f (x)=
x
1−|x)和函数f (x)=
x
|x)−1为奇函数，故排除选项
AB；
又当x∈(0,1)时1−x
2>0, x
2−1<0，此时f (x)= |x)
1−x
2 >0,f (x)= |x)
x
2−1
<0，
由图可知当x∈(0,1)时，f (x)<0，故C 不符合，D 符合.
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x在区间[−2.8,2.8]的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x =1可得f (1)>0，可排除D.
【解答过程】f (−x)=−x
2+(e
−x−e
x)sin (−x)=−x
2+(e
x−e
−x)sin x = f (x)，
又函数定义域为[−2.8,2.8)，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又f (1)=−1+(e−1
e)sin1>−1+(e−1
e)sinπ
6 =e
2 −1−1
2e > 1
4 −1
2e >0，
故可排除D.
故选：B.
6．（2024·上海·高考真题）现定义如下:当x∈(n,n+1)时(n∈N )，若f (x +1)= f
′ (x)，则称f (x)为延展
函数.已知当x∈(0,1)时，g(x)=e
x且h(x)= x
10，且g( x),h( x)均为延展函数，则以下结论（ ）
（1）存在y =kx +b(k ,b∈R ,k ,b≠0)与y = g(x)有无穷个交点
（2）存在y =kx +b(k ,b∈R,k ,b≠0)与y =h(x)有无穷个交点
A．（1）（2）都成立
B．（1）（2）都不成立
C．（1）成立（2）不成立
D．（1）不成立（2）成立.
【答案】D
【解题思路】由延展函数的定义分段求出g( x),h( x)解析式，作出函数图象，数形结合可得.
【解答过程】当x∈(1,2)时，x−1∈(0,1)，则g( x −1)=e
x−1，
又g
′( x −1)=e
x−1，则由延展函数定义可得g( x)= g
′( x −1)=e
x−1；
同理可得，当x∈(2,3)，g( x)=e
x−2；⋯；
任意n∈N，当x∈(n,n+1)时，g( x)=e
x−n.
当x∈(1,2)时，x−1∈(0,1)，则h( x−1)=(x−1)
10，则h( x)=10( x−1)
9；
同理可得，当x∈(2,3)时，h( x)=10×9( x−2)
8；⋯；
当x∈(9,10)时，h( x)=10!( x−9)；
当x∈(10,11)，h( x)=10!；当x∈(11,12)，h( x)=0；⋯；
则任意n∈N ,n≥11时，当x∈(n,n+1),h( x)=0.
如图，作出g(x)与h(x)大致图像，
因为k ,b≠0，如图可知，不存在直线y =kx +b与g( x)图象有无穷个交点，故（1）不成立；
又因为当x∈(9,10)，h( x)=10!( x−9)，
故当k =10!,b=−9×10!时，
直线y =10! x−9×10!与h(x)的图象在区间(9,10)的函数部分重合，
即有无穷个交点，故（2）成立；
故选：D.
