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第二章 函数与基本初等函数（章节验收卷）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域
【分析】由对数函数的性质可得.
【详解】由对数函数的性质可得
，
所以函数
的定义域是
.
故选：B.
2．以下各组函数中，不是同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】判断两个函数是否相等
【分析】对于选项B，C，D 中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函
数，而对于A 选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数.
【详解】对于A 选项，两个函数的定义域相同，
，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数；
对于B，
，两个函数的定义域和对应法则相同，
故得到两个函数是同一函数；
对于C，两个函数的定义域相同为
，
且
对应法则相同，故得到两个函数是同一函数；
对于D，两个函数定义域相同，
，
对应法则相同，故两个函数是同一函数.
故选：A.
3．已知
，
，则
（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【答案】B
【知识点】指数幂的运算、对数的运算
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解.
【详解】由
，
可得
，
，
则
，
故选：B
4．“
”是“
为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据函数是幂函数求参数值
【分析】分别验证其充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】当
时，
，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当
为幂函数可得
，解得
或
，
故必要性不满足，
所以“
”是“
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D
5．已知函数
的图象关于原点对称，则
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【知识点】由奇偶性求参数
【分析】由奇函数的定义，转化为
恒成立问题求解即可.
【详解】易知
的定义域为
，且
是奇函数，
则
对任意
均成立，
，
即
解得
．
故选：D.
6．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
和燃料的质量
、火箭
（除燃料外）的质量
的函数关系是
．按照这个规律，当
时，火箭的最大速度为
；当
时，火箭的最大速度为
．则
（参考数据：
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】对数的运算、对数函数模型的应用（2）
【分析】结合已知，分别表达
和
时的
，代入表达式，应用同底对数的减法法则
运算即可求解.
【详解】由火箭的最大速度v 和燃料的质量M、火箭的质量m 的函数关系是
，
当
时，有
，所以
；
当
时，有
，所以
；
可得
．
故选：A．
7．已知函数
在
上单调，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调
性、已知二次函数单调区间求参数值或范围
【分析】根据对数函数的性质可得不等式
在
上恒成立，利用分离参
数法和基本不等式可得
.再结合复合函数的单调性及二次函数的性质即可求解实数
的取值范围.
【详解】由题意可知，
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
又由基本不等式可得
，当且仅当
时，取得等号，
所以
.
因为函数
在
上单调，
所以
在
上单调，
由复合函数单调性可知
在
上单调，
所以结合二次函数的性质可得：
或
，解得
或
.
综上所述，实数
的取值范围为
.
故选：A.
8．已知函数
恰有三个零点，则实数
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．（
，1）
D．
【答案】B
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围
【分析】将函数解析式化为分段函数，分
、
和
三种情况讨论，结合函
数的单调性，求出特殊点处的函数值，即可得到不等式组，从而确定
的取值范围.
【详解】因为
，
若
时，
，则
有且仅有一个零点
，不符合题意；
若
，当
时，
，
则
在
上单调递增，且
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
要使
恰有三个零点，则
，解得
；
若
，当
时，
，
则
在
上单调递增，在
上单调递减，且
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，且
，
要使
恰有三个零点，则
，解得
；
综上可得实数
的取值范围是
.
故选：B
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知
且
，则函数
的图象一定经过（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AB
【知识点】对数型函数图象过定点问题、对数函数图象的应用
【分析】根据对数函数图象性质判断即可.
【详解】由
，
且
，
则
，
即函数
过点
,
当
时，函数
单调递增，过第一、二、三象限；
当
时，函数
单调递减，过第一、二、四象限．
故选：AB．
10．已知函数
若存在
满足
，且
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的取值范围是
D．
的取值范围是
【答案】ACD
【知识点】分段函数的性质及应用、函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范
围
【分析】根据给定的分段函数，分析函数性质并作出图象，数形结合逐项判断.
【详解】函数
的图象对称轴为
，
由
，得直线
与函数
的图象有3 个交点，
其横坐标为
，且
，作出函数
的图象和直线
，如图，
观察图象，得
，
，即
，AC 正确；
当
时，
，则
，于是
，D 正确；
由
，即
，得
，B 错误.
故选：ACD.
11．已知
是
上的奇函数，
是
上的偶函数，且当
时，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
最小正周期为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】函数奇偶性的应用、函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数
值
【分析】利用函数奇偶性的定义推导出
，进一步可推导出
，结合函数周期性的定义可判断A 选项；利用函数解析式以及函数周期性
可判断BCD 选项.
【详解】因为
是偶函数， 所以
，
又因为
是奇函数，所以
，所以
，
所以
，
所以
，所以
的周期为，故A 错误；
又当
时，
，
所以
，选项B 正确；
，选项C 正确；
，选项D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．偶函数
在区间
上的最大值为
，则实数
．
【答案】
【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、由奇偶性求参数
【分析】根据条件得到
，再利用二次函数的性质，结合条件，即可求解.
【详解】因为
是偶函数，则
，则
，
又
在区间
上的最大值为
，且当
时，
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
13．已知
且
，若关于x 的不等式
恰有1 个整数解，则a 的取
值范围是 ．
【答案】
【知识点】研究对数函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式、函数不等式能成
立（有解）问题
【分析】根据给定条件，按
分类讨论，结合对数函数与幂函数的变化快
慢确定唯一整数解，进而列出不等式组求解.
【详解】不等式
恰有1 个解时，
，
当
时，
，不等式
无整数解；
当
时，
，随着
的增大，函数
比
增长更快，
因此2 是不等式
的唯一整数解，则
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
故答案为：
14．1.设函数
满足下列条件：①若
且
则存在实数
，使得
；②方程
至少有一个解，并在该方程的解中存在一个
解不大于所有其他的解；③
；④
；⑤
.则
.
【答案】2026
【知识点】求函数值、函数与方程的综合应用、根据函数的单调性解不等式、函数新
定义
【分析】设
，由③得
，设
是
的最小根，由②得
，根据①⑤证得
，且
是方程
的根，得
，
进而
，得
，再结合④即可得
的值.
【详解】令
，则
．
设
是
的最小根，则
．
若
，则对于
，由①及
得出：存在
，使得
．
由⑤可知
，矛盾，所以
．
对于任意实数
，由⑤有
．
∴
是方程
的根．
∵
是
的最小根，
∴
．
从而，
，即
．
∴
．
又∵
，∴
．
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，其中第15 题13 分，第16,17 题15 分，第18,19 题17 分，共
77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．化简下列各式：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)4
(2)
【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用
【分析】（1）根据对数的运算分析求解；
（2）根据指数幂运算分析求解.
【详解】（1）原式
.
（2）根据分数指数幂的定义，得
，
，
，
原式
.
16．已知函数
与
的图象交点横坐标为
，且
的值域为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
若方程
有且只有一个实数解，求
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)
【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义
域）、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】（1）依题意可得
，即可得到
，再分
、
、
三种情况讨论，结合指数型函数的性质判断可得；
（2）首先得到
的解析式，再分析函数在各段的单调性与值域，依题意
与
有且仅有一个交点，即可得解.
【详解】（1）依题意
，即
，所以
，
当
时，
，显然不符合题意；
当
时，
的图象无限接近于直线
，
当
时
的值域为
，不符合题意；
当
时
的值域为
，又
的值域为
，
所以
，
，经检验符合题意；
（2）由（1）可知
，
因为
，即
，
所以当
时
单调递增，且
；
当
时，
单调递减，且
，
要使方程
有且只有一个实数解，即
与
有且仅有一个交点，所以
或
，
即
的取值范围为
.
17．已知函数
是定义在
上的偶函数，当
时，
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)是否存在正实数
，使得当
时，函数
的值域为
．若
存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
满足题意
【知识点】根据值域求参数的值或者范围、由奇偶性求函数解析式
【分析】（1）根据函数
是偶函数及
即可求解；
（2）根据函数
的单调性，将问题转化为方程
有两个不相等的正根，
再利用根与系数的关系即可求解.
【详解】（1）因为
是偶函数，所以
，
解得
，
所以当
时，
，
当
时，可得
，则
，
所以函数
的解析式为
；
（2）存在．
假设存在正实数
，使得当
时，函数
的值域为
，
因为当
时，
，所以
在
上单调递增，
所以
，
所以
为方程
的两个根，即
的两个根，
即
的两根，整理得
或
，
解得
或
，
又
，所以
，
所以存在
，使得当
时，函数
的值域为
．
18．已知函数
分别是定义在
上的偶函数和奇函数，且
.
(1)证明：
，并求函数
的解析式；
(2)判断函数
的单调性（不需要用定义法证明），并解关于
不等式：
；
(3)设
，对于
，使得
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
，
(2)单调递增，
；
(3)
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、根据函数的单
调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由奇偶函数的定义化简
得
，
结合已知条件解方程得到结果；
（2）通过解析式得出函数的单调性，再结合一元二次不等式计算求解；
（3）由
单调性求出在
，通过
与
的关系，分别
写出函数
在
的值域，由题意可知值域之间的关系，建立不等式组后解得实
数
的取值范围.
【详解】（1）因为
①，则
，
又
为
上的偶函数，
为
上的奇函数，则有
②，
由①-②得到
，所以
由①+②得到
，所以
.
（2）
在
上单调递增.
因为
，所以
，
所以
，
，所以
或
，
所以解集为
；
（3）
，
因为
，所以
，所以
，
因为对任意的
，总存在
，使得
，
所以
，
，
令
，
，
因为令
在
单调递增，故
，
则
，
,
所以当
时，
，
故
.
19．已知函数
．
(1)证明：曲线
是中心对称图形．
(2)已知
，若
，当且仅当
时成立．
（ⅰ）求实数
的值；
（ⅱ）若
是
的零点，
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
（ⅱ）
【知识点】判断或证明函数的对称性、对数的运算性质的应用、零点存在性定理的应
用、根据解析式直接判断函数的单调性
【分析】（1）由已知，得
，即可证明；
（2）（ⅰ）由（1）知
关于（9，9b）对称，计算即可求解；
（ⅱ）由（i），根据零点的概念可得
，根据对数的运算性质和换元
法可得
，（令
），进而
与都是
的零点，结合零点的存在
性定理和
的单调性可得
，即可求解.
【详解】（1）
，
，
．
即
关于
对称．
综上，曲线
是中心对称图形．
（2）（ⅰ）因为
，则
的定义域为
，
对于
，函数
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，则函数
在
上单调递增，
又
，函数
是增函数，所以函数
在
上单调递增，
由（1）知
关于
对称．
当且仅当
时成立，
当
时，
．
，即
，
所以
．
（ⅱ）因为
是
的零点，
所以
，
，
又
，
，
则
，
令
，则
，
，即
，都是方程
的解，
与都是
的零点，又由（ⅰ）知
在
上单调递增，
，即
．
