文档文本内容
第01 讲 集合
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................3
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：集合的基本概念...............................................................................................3
高频考点二：元素与集合的关系...........................................................................................4
高频考点三：集合中元素的特性...........................................................................................4
高频考点四：集合的表示方法...............................................................................................4
高频考点五：集合的基本关系...............................................................................................5
高频考点六：集合的运算......................................................................................................6
高频考点七：
图的应用.................................................................................................8
高频考点八：集合新定义问题...............................................................................................9
第四部分：典型易错题型...........................................................................................................10
第一部分：基础知识
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：
和
.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（
图）.
（4）常见数集和数学符号
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合
，可知
,在该集合中，
,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合
应满足
.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合
和
是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“
”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合
、
，如果集合
中任意一个元素都是集合
中的元
素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合
为集合
的子集 ，记作
（或
），读作“
包含于
”（或“
包含
”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合
，但存在元素
，且
，我们称集合
是集合
的真子集，记作
（或
）.读作“
真包含于
”或“
真包含
”.
（3）相等：如果集合
是集合
的子集（
，且集合
是集合
的子集（
），此时，集合
与集合
中的元素是一样的，因此，集合
与集合
相等，记作
.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作
；
是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合
且属于集合
的所有元素组成的集合，称为
与
的交集，记作
，即
．
（2）并集：一般地，由所有属于集合
或属于集合
的元素组成的集合，称为
与
的并集，记作
，即
．
（3）补集：对于一个集合
，由全集
中不属于集合
的所有元素组成的集合称为集合
相对于全集
的补集，简称为集合
的补集，记作
，即
．
4、集合的运算性质
（1）
，
，
．
（2）
，
，
．
（3）
，
，
．
5、高频考点结论
（1）若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真
子集有
个．
（2）空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
（3）
．
（4）
,
．
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（2024·西藏拉萨·一模）集合
中的元素个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三上·重庆渝中·阶段练习）已知集合
，
，
，
，若
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列四个命题正确的个数是（ ）
①
是空集；②若
，则
；③集合
有两个元素；④集合
是
有限集
A．1
B．2
C．3
D．0
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2025·陕西汉中·二模）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为
．
精练高频考点
1．（2025·重庆·二模）已知全集
，集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·辽宁·二模）设集合
.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2025·全国·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三上·河北邢台·阶段练习）已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．6
精练高频考点
1．（24-25 高三下·广东清远·开学考试）集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．
或2
2．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，若集合
中的最大元素为3，则
．
高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（24-25 高三上·江西·阶段练习）已知集合
，则用列举法表示
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组
的解集是（ ）
A．
，或
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（23-24 高三上·四川乐山·期中）集合
用列举法表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）用列举法写出集合
＝ .
3．（23-24 高三·全国·课后作业）已知集合
，用列举法表示M＝ ．
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（24-25 高三下·北京海淀·期中）已知集合
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·云南·一模）已知集合
，
，若
，则实数
的值可以
为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，这样的集合
有 个．
精练高频考点
1．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．（2025·四川·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知集合
,
，则集合
的真
子集个数为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．15
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（24-25 高三上·上海·期中）集合
，集合
.
(1)求集合
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
例题4．（24-25 高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值组成的集合
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·湖南娄底·期中）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·江西·三模）已知集合
.若
，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高三下·北京朝阳·期中）设
为全集，集合
，
．
(1)若
，求
，
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
4．（23-24 高三上·辽宁盘锦·期中）设集合
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的取值范围.
高频考点七：
图的应用
典型例题
例题1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）学校举办运动会，高三
班共有28 名同学参加比赛，有15
人参加游泳比赛，有8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，
同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1
人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（23-24 高三·湖南长沙）已知某校高三（1）班有51 名学生，春季运动会上，有17 名学生参加了
田赛项目，有22 名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9 名同学，则该班学生中田赛和径赛都没
有参加的人数为（ ）
A．25
B．23
C．21
D．19
精练高频考点
1．（24-25 高三上·云南·阶段练习）用
表示有限集合
中元素的个数，例如，
，则
.对于任意两个有限集合
，若
，则
（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
2．（23-24 高三上·新疆喀什·阶段练习）2022 年春节期间，《长津湖之水门桥》《狙击手》《奇迹·笨小
孩》三大片集体上映.春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随
机抽取了100 人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49 人，观看了《狙击手》
的有46 人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34 人，统计图如图.计算图中a，b，c 的值.
高频考点八：集合新定义问题
典型例题
例题1．（2025·江西·模拟预测）中国剩余定理又称“孙子剩余定理”，它是中国古代史上最有创造性的成
就之一，其中“韩信点兵”“物不知数”等问题的解法在数论中有相应的推广，数论中的
形
式表示
和
除以
的余数相同．已知集合
满足
，
，
．对于集合
中的任意一个元素，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义：
为在集合
中去掉一个元素
后得到的集合；
为
集合
中的所有元素之和.已知由
个正整数组成的集合
，若对于
，都存在两个集合
，使得
，且
，就称集合
为“完美集”.
(1)若
，判断
是否为“完美集”，并说明理由；
(2)若集合
是“完美集”，证明：
是奇数；
(3)若集合
是“完美集”，且
中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数
列，则称
为“等差完美集”.已知集合
是“等差完美集”，求
的最小值.
精练高频考点
1．（2025 高三下·全国·专题练习）已知有限集合
，定义集合
中的元素的个数为集合
的“容量”，记为
.若集合
，则
；若集合
，且
，则正整数
的值
是 .
2．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
第四部分：典型易错题型
易错点一：忽视集合互异性，求解参数时没有回代检验集合是否满足互异性而
造成错误
1．（23-24 高二下·上海浦东新·期末）已知集合
，且
，则实数
的值为
.
易错点二：忽视空集，特别提醒当
时，优先考虑
1．（多选）（25-26 高三上·全国·课后作业）已知集合
，若
，则实数a 的值
可以为（ ）
A．
B．
C．0
D．
2．（24-25 高三上·山东枣庄·阶段练习）已知集合
，
，
，
.
(1)求p，a，b 的值；
(2)若
，且
，求m 的值.
3．（24-25 高三·福建厦门·阶段练习）已知全集
，集合
.
(1)求
和
；
(2)若
，求
的取值范围．
