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第07 讲：第四章 三角函数 章节总结 章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：任意角
1．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）下列各角中，与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，结合选项逐个判断即可.
【详解】因为
，
，.
，
所以与
角终边相同的角是
.
故选：A.
2．（23-24 高三·全国·阶段练习）若角
与
角的终边相同，角
与
角的终边相
同，则
与
之间的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】表达出
，
，从而得到
，
，得到
答案.
【详解】由题意可知，
，
，
所以
，
，
记
，故
，
.
故选：D
3．（24-25 高三下·云南临沧·阶段练习）从午夜零时算起，钟的时针和分针一天内重合的次
数为（ ）
A．
次
B．
次
C．
次
D．
次
【答案】C
【分析】通过时针转
圈，分针转
圈，即可判断.
【详解】一天
小时中，时针转
圈，分针转
圈，
所以分针比时针多转的圈数是
，
又因为每多转一圈，分针就与时针相遇一次，
所以钟的时针和分针一天内会重合
次，
故选：C
4．（23-24 高三下·江西·阶段练习）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】根据给定条件把集合B 写成用
形式表示的集合，再与集合A 求交集
即可.
【详解】依题意，
，
而
，
所以
，
.
故选：A
5．（25-26 高三上·全国·阶段练习）如图所示，半径为1 的圆的圆心位于坐标原点，点P 从
出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P 在
内转过的角度为
，经过
到达第三象限，经过
后又回到了出发点A 处，则
．
【答案】
或
【详解】因为
，且
，所以一定有
，于是
．又
，所以
，从而
，所
以
，所以
或5．当
时，
；当
时，
．综上，
或
．
题型二：弧度制
1．（2025 高三·全国·专题练习）如图当
时，圆内接正六边形的周长为
，故
，即
.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．
时，
B．
时，
C．
时，
D．
时，
【答案】A
【分析】求出正十二边形的周长
，可得出
，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成
个如图所示的等腰三角形，其顶角为
，即
，
作
于点
，则
为
的中点，且
，
因为
，在
中，
，即
，
所以，
，则
，
所以，正十二边形的周长为
，
所以，
.
故选：A.
2．（24-25 高一下·河北保定·期末）在某中学2025 年“创意之光”文创设计大赛中，一名
学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形
截去同心扇形
所得图形，已知
，
，
，则该扇面的近似面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可.
【详解】因为
，
，
，
所以扇面的近似面积为
，
故选：C
3．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）已知一个扇形的圆心角为
，且所对应的弧长为
，则
该扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据公式
求扇形的半径，然后利用扇形的面积公式
即可求出答案.
【详解】设扇形的圆心角和弧长分别为
，
由
得
，
所以该扇形的面积为
.
故选：B.
4．（24-25 高一下·上海闵行·期中）已知扇形的半径为
，弧长为
，则扇形的圆心
角
的弧度数为 ．
【答案】
/
【分析】由圆心角定义得解.
【详解】根据圆心角定义可知，
，
故答案为：
5．（24-25 高一上·甘肃武威·期末）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中
《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积
（弦×矢+矢
2），弧田（如
图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到
弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆
心角为
，弧长等于
的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（参考数据
）
【答案】8.92 平方米
【分析】根据已知求出矢
，弦
，再利用已知公式求解.
【详解】因为圆心角为
，弧长等于
，所以圆的半径
，
如图，在
中
，所以
，
，
所以矢
，则弦
，
所以弧田面积
弦矢
矢
平方米．
故答案为：8.92 平方米
题型三：任意角的三角函数
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，设角
的顶点与原点
重合，
始边与
轴的非负半轴重合，终边经过点
，
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义求出
，再结合诱导公式可得.
【详解】由题意可得，
，
则
，解得
（
舍去）.
故选：B
2．（2025·四川泸州·模拟预测）已知角
的顶点在原点，始边为
轴的非负半轴，终边经
过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由条件根据三角函数的定义求
，再结合二倍角公式求
，
由此可确定正确选项.
【详解】因为
到原点的距离
，
根据三角函数定义可得
，
，
所以
，
，
故选：D.
3．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知角
按逆时针方向旋转
，其终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据角α 逆时针旋转
后的终边经过点(4,3)，通过该点坐标求出旋转后角度
的三角函数值，再结合倍角公式求解目标表达式的值.
【详解】角α 逆时针旋转
后，终边经过点(4,3)，设旋转后的角度为
,
点(4,3)到原点的距离
，
根据三角函数定义：
，
，
，
，
因为
，
所以
，
故选；D.
4．（2025·河北保定·三模）已知角
的顶点与原点重合，始边与
轴的正半轴重合，终边
在直线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义可求角的正切，再结合二倍角公式及齐次化可得
.
【详解】设
为直线上异于原点的点且在直线
上，则
，
则
.
故选：B.
5．（2025·云南玉溪·模拟预测）若角
的终边经过点
，则
．
【答案】
【分析】根据角的终边经过的点的坐标，结合公式计算出该角的正弦值和余弦值，再运用
二倍角的正弦公式即可.
【详解】若角
的终边经过点
，则
，
，
.
故答案为：
.
题型四：同角三角函数的基本关系
1．（2025·河北·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将题给等式两边同时平方得到
，结合
范围可判断
的
符号，再利用同角三角函数基本关系可即求得
.
【详解】
，
故
，
又
且
，故
，
，故
.
故选：A.
2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若
，则
．
【答案】
【分析】首先根据两角和的正弦公式化简分母，再上下同时除以
，用正切表示已知式
子，即可求解.
【详解】
.
故答案为：
3．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）若
，则
．
【答案】
/0.6
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式，结合正余弦齐次式法求值.
【详解】当
时，
.
故答案为：
4．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期中）若
，则
，
．
【答案】
/
/0.3
【分析】分子分母同时除以
，即可求解；先将原式转化为分式，分子分母同时除以
，即可求解.
【详解】
；
.
故答案为：
；
.
5．（2025 高三·全国·专题练习）若
，
是关于
的方程
的两个根，
求
的值．
【答案】
【分析】根据韦达定理得出
，
，再根据同角三角函数的平方关
系得出
，根据辅助角公式得出
，再根据诱导公式即可求解．
【详解】在方程
中，
，
，
将
展开得
，
把
，
代入可得
，即
，解得
，
又∵
，∴
，
根据诱导公式
，
，
∴
，
，
则
．
题型五：诱导公式的计算
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，求
的值．
【答案】3
【分析】根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可求解．
【详解】∵
，由
可知
，即
，
∴
，
根据诱导公式，
，
，
，
，
将其代入原式可得：
．
2．（2025 高三·全国·专题练习）化简：
(1)
，
；
(2)
，
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分
为偶数以及
为奇数讨论，结合诱导公式代入计算，即可得到结果；
（2）分
，
，
以及
讨论，结合诱导公式计算，即可得到
结果.
【详解】（1）当
为偶数时，原式
；
当
为奇数时，原式
．
综上，当
时，原式
．
（2）当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
；
当
，
时，原式
．
综上，当
时，原式
．
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，且
为第二象限角.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系，求
和
的值；
（2）用诱导公式化简原式，再利用（1）中的三角函数值计算.
【详解】（1）因为
，且
为第二象限角，
所以
，
.
（2）
.
4．（23-24 高一上·江苏南京·阶段练习）已知
.
(1)化简
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数商的关系化简可得；
（2）由齐次式可得；
（3）由
同角三角函数得
，根据诱导公式可得
，进而可得.
【详解】（1）
.
（2）由
得
，
故
.
（3）由
得
，故
，
又
，故
，
当
为第一、四象限角时，
，
当
为第二、三象限角时，
，
因
，
故当
为第一、四象限角时，
，
当
为第二、三象限角时，
，
5．（24-25 高一上·吉林长春·期末）在单位圆中，锐角
的终边与单位圆相交于点
，连接圆心O 和P 得到射线
，将射线
绕点O 按逆时针方向旋转
后与单
位圆相交于点B，其中
．
(1)求出m 的值和锐角
的大小；
(2)求
的值；
(3)记点B 的横坐标为
，若
，求
的值．
【答案】(1)
，
(2)
(3)
【分析】（1）先根据点
在单位圆上求得
，再根据三角函数的定义求得角
；
（2）利用诱导公式整体化简求解即可；
（3）结合三角函数的定义及同角三角函数基本关系求得
，再根据诱导公
式化简代入求值即可.
【详解】（1）根据题意，可得
，
，解得
，
所以
，又
是锐角，则
.
（2）
.
（3）根据三角函数定义可得：
，
，
，
，则
，
所以
.
题型六：三角函数的奇偶性
1．（2025·全国·二模）函数
是
上的偶函数，则
（
）
A．0
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据偶函数性质，结合正弦函数对称性解题即可.
【详解】
是
上的偶函数，即关于
对称，则
，
则
，则
，解得
.
，则
.
故选：D.
2．（2025·安徽安庆·模拟预测）函数
.若存在
，使得
为
奇函数，则实数
的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】计算
，存在
使得函数
为奇函数，则
或
，根据
为奇函数，即可得解.
【详解】由题意可得，函数
，
且
，
存在
，函数
为奇函数，
则
或
，
当
时，所以
为奇函数，
可得
，
所以
,
当
时，D 满足条件，ABC 不满足；
当
时，
，
此时
或
，
当且仅当
时为奇函数，不符合
，不合题意.
故选：D.
3．（2025·山东·模拟预测）已知函数
，要得到一个偶函数的图象，可
以将
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向左平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】C
【分析】利用二倍角公式化简函数，再结合函数图象变换求解判断.
【详解】依题意，
，
对于A，
，所得函数不是偶函数，A 错误；
对于B，
，所得函数不是偶函数，B 错误；
对于C，
，所得函数是偶函数，C 正确；
对于D，
，所得函数不是偶函数，D 错误.
故选：C
4．（24-25 高一下·上海·期末）已知函数
，若
，则
．
【答案】
【分析】利用正弦函数，正切函数的周期性与奇偶性计算即可求值.
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
，所以
，
所以
.
故答案为：.
5．（2023·四川达州·一模）函数
，且
，则
的值为
.
【答案】0
【分析】构造
，得到
为奇函数，从而根据
得到
，由
求出
.
【详解】令
，
定义域为
或
且
，关于原点对称，
则
，
故
为奇函数，
又
，故
，
解得
.
故答案为：0
题型七：三角函数的周期性
1．（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是
的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可.
【详解】对于
，最小正周期为
，故A 不符合题意；
对于
，最小正周期为
，故B 不符合题意；
对于
，最小正周期为
，故C 符合题意；
对于
，最小正周期为
，故D 不符合题意．
故选：C．
2．（24-25 高一下·江苏苏州·阶段练习）下列四个函数中，以
为最小正周期，且在区间
上单调递减的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可.
【详解】对A：
的图象是由
的图象将
轴下方的图象关于
轴对称上去，
轴及
轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：
则
的最小正周期为
，且在
上单调递减，故A 正确；
对B：
的最小正周期为
，当
时，
，所以
单
调递增，故B 错误；
对C：
的最小正周期为
，故C 错误；
对D：
的最小正周期为
，故D 错误.
故选：A.
3．（2025 高三·全国·专题练习）下列函数中，最小正周期为
的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】A 选项，利用最小正周期的定义推出错误；B 选项，作出
的图象可得
B 正确；C 选项，利用公式直接进行求解；D 选项，画出
的图象，
不是周期函数，故选项D 错误.
【详解】对于选项A，利用定义法，
，故A 不符合题意．
对于选项B，作出函数
的图象，由图可知，
函数
的最小正周期为
，故选项B 符合题意．
对于选项C，根据公式法，
的最小正周期为
，故选项C 不符合题意．
对于选项D，依题可得函数
，其图象如图所示．
由图可知，函数
不是周期函数，故选项D 不符合题意．
故选：B
4．（2025·广东揭阳·三模）函数
的最小正周期是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合正切函数的图象求解即可.
【详解】因为函数
的周期与
的最小正周期一致，均为
，
所以函数
的最小正周期为
.
故选：B.
5．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的最小正周期．
【答案】
【分析】计算出
，求出最小正周期.
【详解】
，
，
故
的最小正周期
．
题型八：三角函数的对称性
1．（2025·河北邢台·三模）已知函数
的图象过点
，将
的
图象向右平移
个单位长度后，得到函数
的图象，则
的图象的对称轴为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】根据题意先求
，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得
即可求解.
【详解】因为函数
的图象过点
，所以
，
所以
，
将其图象向右平移
个单位长度得到
的图象，
令
，
，解得
，
.
故选：B
2．（24-25 高一下·湖北·阶段练习）将函数
的图象向左
平移
个单位长度后，横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变得到函数
的图象，
若
满足
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得到
，由伸缩变换和平移变换得到
，根据对称性得到
，求出最小值.
【详解】
，
向左平移
个单位长度，得到
，
则
，
因为
，所以
是
图象的一条对称轴，
则
，故
，
解得
，
又
，所以当
时，
取得最小值，
的最小值为
.
故选：C
3．（24-25 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数
的图像关于直线
对称，则函数
图像的一条对称轴为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式（正弦）化简函数
，由函数对称轴求出
的值.由辅助角公式
（余弦）化简函数
，由
的值求出函数的对称轴.
【详解】
，
由题意可知
是
的解，即
，
∴
，当
时，
，
，
∴令
，即
，
，
∴函数
的对称轴为
，
当
时，
.
故选：C.
4．（2025 高三·广东江苏·专题练习）若点
是函数
的图象的一个
对称中心，则a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得函数
的对称中心的表达式，然后求得
的最小值.
【详解】根据正切函数的性质，
的对称中心横坐标满足
，
即
的对称中心是
，即
，
又
，则
时
最小，最小值是
，即
．
故选：C
5．（25-26 高一上·全国·课后作业）设函数
，若
在区间
上单调，且
，则
的最小正周期为 ．
【答案】
【详解】若
在区间
上单调，则
，所以
．因为
，所以直线
为
图象的一条对称
轴，且
即
为
图象的一个对称中心，当
时，周期最小，即
．
题型九：三角函数的单调性
1．（2025·陕西汉中·三模）函数
的一个单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.
【详解】由
，得
，
故
的单调减区间为
，
对比各选项，只有C 符合.
故选：C.
2．（24-25 高二下·上海浦东新·期末）函数
的单调递增区间是
．
【答案】
【分析】应用辅助角公式化简，再应用正弦函数的增区间计算求解.
【详解】函数
，
所以
，所以
，
所以函数
的单调递增区间是
，
故答案为：
.
3．（24-25 高一下·陕西渭南·阶段练习）函数
的单调增区间为
.
【答案】
【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间.
【详解】函数
，即
，
则
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
.
故答案为：
4．（24-25 高一下·上海浦东新·期末）函数
的单调区间为 ．
【答案】
【分析】利用
求解即可.
【详解】由
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
故答案为：
.
5．（24-25 高一下·安徽安庆·期末）已知函数
（
，
）的周
期为
，且过点
.
(1)求
，
的值；
(2)求函数
在
上的单调递减区间.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到
，即可求解
，将
代入
中，结合
，即可求出
；
（2）由（1）知
，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可
求解单调递减区间，又
，
在
上的单调递减区间..
【详解】（1）依题意，
，解得
；
将
代入
中，得
，故
，
解得
；因为
，故
；
（2）由（1）可知，
令
，
则
，即
，
故
的单调递减区间为
.
又
，令
，解得
，
综上所述，
在
上的单调递减区间为
.
题型十：三角函数中与
有关的计算
1．（24-25 高一下·江西吉安·期末）已知函数
，且在
上是单调函数，其图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称，则
可能的取值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】由
单调区间的长度小于等于半个周期可求出
的取值范围，根据正弦函数图
象向左平移
个单位之后与原图象关于
轴对称可求出
的表达式，根据
的范围
进行判断即可.
【详解】设函数
的最小正周期为
，
因为函数
在
上单调，
则
，可得
，又
，所以，
，
因为函数
的图象向左平移
个单位之后与
的图象关于
轴对称．
则
，即
，
因为
，所以
或6，
满足条件，A 正确．
故选：A
2．（23-24 高一下·湖北武汉·阶段练习）已知函数
的
图象关于原点对称，且在区间
上是减函数，若函数
在
上的图象与直线
有且仅有一个交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据余弦型函数的奇偶性可得出
，化简函数
的解析式，利用正弦型函
数的单调性与最值可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】因为函数
的图象关于原点对称，则
，
由于
，则
，所以，
，
当
时，
，
因为函数
在区间
上为减函数，
则函数
在区间
上为增函数，
所以，
，可得
，解得
，
由
可得
，
当
时，
，由题意可得
，解得
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】思路点睛：三角函数图象与性质问题的求解思路：
（1）将函数解析式变形为
或
的形
式；
（2）将
看成一个整体；
（3）借助正弦函数
或余弦函数
的图象和性质（如定义域、值域、最值、
周期性、对称性、单调性等）解决相关问题.
3．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知函数
在区间
上单
调递增，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.
【详解】
，
又函数
在
单调递增，
所以
，解得
.
故答案为：
.
4．（24-25 高一下·上海闵行·期中）已知函数
（其中
为
常数，且
）有且仅有5 个零点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
为偶函数，其图象关于
轴对称，得到
一个零点为
，求得
，得到函数
的零点，转化为
与
的图象交点个
数，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数
，
可得
，可得函数
为偶函数，其图象关于
轴对称，
因为
有5 个零点，所以必有一个零点为
，
则
，可得
，
所以函数
的零点，
等价于函数
与
的图象在
上的交点个数，
由
，可得
，
要使得函数
与
的图象在
上有5 个交点，
则满足
，解得
，即实数
的范围为
.
故答案为：
.
5．（23-24 高二下·安徽六安·期末）已知函数
，将
的图象
向右平移
个单位长度得到函数
的图象，若
是偶函数，
在
上恰有4 个
零点，则
.
【答案】4
【分析】由平移变换得到
，再根据
是偶函数，得到
，然后由
，得到
，根据
在
上
恰有4 个零点，由
求解.
【详解】解：将函数
的图象向右平移
个单位长度得到，
函数
，
因为
是偶函数，所以
，即
，
因为
，所以
，则
，
因为
，所以
，
因为
在
上恰有4 个零点，
所以
，即
，
所以当
时，
，
故答案为：4
题型十二：根据图象求三角函数解析式
1．（24-25 高一下·四川成都·期末）函数
的图象如图所示，
为了得到
的图象，可以将
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】B
【分析】首先求得
，再结合函数平移变换法则即
可求解.
【详解】由题意可得
，解得
，所以
，
由图可知
，所以
，
解得
，所以
，
，
注意到
，
所以为了得到
的图象，可以将
的图象向右平移
个单位长度.
故选：B.
2．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示，将函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，则
的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象可确定A；求出周期即可求得
，利用图象过特殊点即可确定
，由此
可得函数解析式，结合图象的平移变换即可求得答案.
【详解】根据图象可得
，周期
，
又
，则
，所以
，
，则
，
，因为
，则
，
所以函数
的解析式为
，
由函数
的图象向右平移
个单位长度得到
的图象，即
，
故选：D.
3．（多选）（福建省泉州市2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
的图象关于原点对称
D．直线
是
的图象的对称轴
【答案】AC
【分析】A 项，由图象即可得出
的值；B 项，由图象得出
周期的长度，求出周期，即可
得出
的值；C 项，写出
的表达式，得出
的表达式，令
得出
，即得出关于原点对称；D 项，将
代入表达式，求出
，写出
的对
称轴满足的方程，得出不存在整数
使得
时，
，进而得出结
论.
【详解】由题意及图得，
在
中，
，
，故A 正确，
∴
，
，故B 错误，
∴
，
∵图像过
，
∴
，解得：
，
∵
，
∴
，
∴
，
当
时，
，
∴
的图象关于原点对称，C 正确；
当
时，
，
当直线
满足
时，为
的对称轴，
∴不存在整数
使得
时，
，即
，
故D 错误；
故选：AC.
4．（多选）（24-25 高一下·湖北恩施·期末）函数
的部分图象如
图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．点
是函数
的图象的一个对称中心
C．函数
图象上的所有点的横坐标缩短为原来的
，得到函数
的
图象
D．函数
的图象向右平移
个单位长度，得到的图象关于
轴对称
【答案】ACD
【分析】对于A：由图观察出周期，即可得到
，用五点法代入点
，可求出
，再
用诱导公式转换即可判断；对于B：代入检验此点是不是零点，即可判断；对于C：利用伸
缩变换即可判断；对于D：判断平移后的函数是否为偶函数，即可判断.
【详解】解：对于A：由图可知：
，
，
用五点法代入点
，可得
，
不妨取
，
，
故A 正确；
对于B：
故B 错；
对于C：由于
伸缩变换后的函数就是
，故C 正确；
对于D：向右平移
后的函数
，
，
为偶函数，故D 正确．
故选：ACD
5．（多选）（24-25 高一下·江西上饶·期末）函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的图象关于点
对称
C．将函数
的图象向右平移
个单位得到函数
的图象
D．若方程
在
上有且只有一个实数根，则
的取值范围是
【答案】BC
【分析】对于A，由图象可得周期，再得到
即可；对于B，代入
，可得
的解
析式，代入验证即可判断B，对于C，由函数平移前后的解析式可判断；对于D，根据单调
性，可确定
的取值范围.
【详解】由图可知，
，
，
，故A 错误；
所以
，又
过点
，
，
所以
，
，即
，
，
，
，
故
，
，故B 正确；
对于C，将函数
的图象向右平移
个单位得到：
，故C 正确；
对于D，当
时，
，令
，则
，
.
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
又
，
，
.
因为
的图象与
有且只有一个实数根，
所以
的取值范围是
，故D 错误.
故选：BC.
6．（多选）（23-24 高一下·陕西渭南·阶段练习）如果若干个函数的图象经过平移后能够重
合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与
构成“互为生成函数”
的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结
论.
【详解】
，由
，
则将
的图象向左平移
个单位长度后，即可与
的图象重合；
由
，
则
图象无法经过平移与
的图象重合；
由
，
则将
的图象向左平移
个单位长度后，再向下平移1 个单位长度后，
即可与
的图象重合；
由
，则
的图象无法经过平移与
的图象重合.
故A，C 中的函数与
“互为生成函数”.
故选：AC
题型十三：函数图象的变换
1．（24-25 高一下·河南南阳·期末）为了得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向右平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
是个单位长度
D．向左平移
个单位长度
【答案】A
【分析】利用诱导公式化简
，再根据平移变换的规律即得.
【详解】因
，
故可以将函数
的图象向右平移
个单位长度，即可得到函数
的图象.
故选：A.
2．（23-24 高一下·山东济宁·期中）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动
个单位长度
B．向右平行移动
个单位长度
C．向左平行移动
个单位长度
D．向右平行移动
个单位长度
【答案】C
【分析】根据图象平移的规则判断．
【详解】由
，
因此
向左平行
个单位得到
图象，
故选：C．
3．（23-24 高一下·四川绵阳·阶段练习）为了得到函数
的图象，只需要
把函数
图象（ ）
A．先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
B．先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位
C．先向左平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
D．先向右平移
个单位，再将横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变）
【答案】B
【分析】利用平移变换和周期变换的规则来判断.
【详解】为了得到函数
的图象，只需要把函数
图象
先向右平移
个单位，再将横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），CD 错；
也可以先将横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再向右平移
个单位，A 错误，B 正
确.
故选：B.
4．（23-24 高二上·云南昆明·期末）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】D
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为
，
所以，为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象向右平移
个
单位长度，
故选：D.
题型十四：和差倍角计算
1．（江苏省南京市协同体十校2024-2025 学年高一下学期期中联合考试数学试卷）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解．
【详解】
故选：B．
2．（河南省平顶山市2024-2025 学年高一下学期7 月期末数学试题）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
和诱导公式结合两角差的正弦公式即可计算求解.
【详解】
.
故选：A
3．（24-25 高一下·四川成都·期末）计算：
=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦两角和差的逆应用即可求解.
【详解】由
，
故C 正确.
故选：C.
4．（江苏省南京市协同体十校2024-2025 学年高一下学期期中联合考试数学试卷）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用辅助公式及二倍角的余弦公式计算得解.
【详解】依题意，
，解得
，
所以
．
故选：C
5．（24-25 高一下·河南南阳·期末）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形后逆用二倍角的正切公式求解即可.
【详解】
故选：A.
6．（24-25 高一下·山东淄博·期末）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由诱导公式和二倍角的余弦公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：A.
题型十五：拼凑角问题
1．（23-24 高一下·辽宁辽阳·期中）已知
，
，且
，
，
则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小
与
的取值范围，结合三角函数的基
本关系式与倍角公式求得
的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解.
【详解】因为
所以
则
所以
则
，
因为
，所以
，
又
则
，
所以
故
因为
所以
则
.
故选：A.
2．（23-24 高一下·吉林·阶段练习）已知
，
，且
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正切的倍角公式求得
，再结合正切的和角公式求得
，结合
的范围，即可求得结果.
【详解】
；
，
又
，
，故
，
，
又
，
，故
，则
.
故选：B.
3．（23-24 高一下·四川成都·阶段练习）若
，
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求出
、
，再由
利用两角和的
余弦公式计算可得.
【详解】因为
，所以
，又
，所以
，则
，
所以
，
又
，所以
，又
，
所以
，
于是
，
又
，则
.
故选：B.
4．（23-24 高一下·江苏南通·期中）已知
，
，且
，
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出
，再利用二倍角的正弦公式结合商数关
系化弦为切即可得解；
（2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出
，再利用两角差的正
弦公式求出
的正弦值，并求出
的范围，即可得解.
【详解】（1）由
，
解得
，
所以
；
（2）
，
由
，
，得
，
所以
，
因为
，
，
所以
，所以
，
又
，
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
．
5．（23-24 高一下·江苏南京·期中）已知
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
值求
值，即可求出
；
（2）先由
求出
的值，再凑角
，求出
，就可求
的
值.
【详解】（1）由
，可得
，
.
（2）由
，可得
，
又
，
，
，
由
，可得
.
6．（23-24 高一下·江苏·阶段练习）已知
，
，
，
，
(1)求
的值；
(2)求角
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
、
得到
，利用同角的三角函数
基本关系式即得；
（2）注意到
，故只需分别求出
的值，利用差角的正
弦公式即可求得
的值，利用
即可求得角
的值.
【详解】（1）由
得
，因
，则
；
（2）又由
知
，因
，
则
，
由
，
又因
，故
题型十七：三角函数综合（值域，最值）
1．（24-25 高一下·四川遂宁·期末）已知函数
，
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)将函数
的图象横坐标伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移
个
单位长度后得到函数
的图象.当
时，求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）利用辅助角公式化简得函数
，然后利用正弦函数的单调性求
解即可.
（2）先利用函数图象变换法则求得
，然后利用换元法求解值域即可.
【详解】（1）
.
令
，则
.
所以函数
的单调递增区间为
.
（2）函数
的图象横坐标伸长为原来的
倍，纵坐标不变，得
.
再将图象向左平移
个单位长度得
，
，则
，
，
所以，当
时，函数
的值域为
.
2．（24-25 高一下·河北保定·期末）已知函数
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)求函数
在
上的最大值和最小值，并求出取得最值时对应x 的取值．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据正弦型函数单调性的性质进行求解即可；
（2）根据正弦型函数的最值性质、运用换元法进行求解即可.
【详解】（1）由
，
所以函数
的单调递增区间为
；
（2）令
，因为
，所以
，
因为函数
在
时，单调递增，在
时，单调递减，
在
，
，
所以
，
因此当
时，即当
时，函数
有最小值
，
当
时，即当
时，函数
有最大值
.
3．（24-25 高二下·广东梅州·期末）已知函数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)解方程：
；
(3)当
时，求
的值域．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
.
【分析】（1）利用二倍角公式以化简函数
，然后判断即可；
（2）根据（1）的结果，计算即可；
（3）利用整体法以及正弦函数的性质计算.
【详解】（1）因为
，
所以函数
的最小正周期
．
（2）由方程
，
即有
，
，
于是
，或
，
，
所以
（3）因为
，所以
，
所以
，
则
，
所以
的值域为
．
4．（四川省攀枝花市2024-2025 学年高一下学期普通高中教学质量监测数学试题）已知函
数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)求函数
的单调递减区间；
(3)当
时，求
的最大值以及取到最大值时
的值．
【答案】(1)
(2)
(开区间亦可)
(3)当
时，
取得最大值
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数
的解析式，结合正弦型函数的周期公式可
求得函数
的最小正周期；
（2）由余弦型函数的单调性可得出函数
的单调递减区间；
（3）由
可求得
的取值范围，结合余弦型函数的最值可得出函数
的
最大值及其对应的
值.
【详解】（1）由题意知：
．
所以，函数
的最小正周期是
．
（2）令
，函数
的单调递减区间为
．
由
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
（开区间亦可）．
（3）当
时，
．
当
时，即
时，
取得最大值
.
5．（24-25 高一下·广西柳州·开学考试）已知函数
．
(1)若
，
，求
；
(2)求
，
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，再结合诱导公式可求出
；
（2）由题意得
，由
求出
的范围，再结合余弦函数的性
质可求出函数的值域.
【详解】（1）由
，得
，
所以
，
因为
，所以
；
（2）因为
，
所以
，
由
，得
，则
，
所以
，所以
，
所以所求函数的值域为
.
题型十八：三角函数综合（恒成立，有解问题）
1．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）已知向量
，
，
其中
，函数
，且
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求
在
上的值域；
(3)若对
，关于x 的不等式
恒成立，求
实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，得到
，由
，求得
，结合
，求得
，即可得函数解析式.
（2）由
，得到
，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（3）根据题意，将所给不等式等价转化，将其化成
在
恒成立，
设
，将函数化成
，结合函数
的单调性，求得函数
的最小
值，进而得到参数范围.
【详解】（1）解：由向量
和
，
可得
，
因为
，可得
，
可得
，解得
，
又因为
，所以
，所以
.
（2）解：由（1）知，函数
，
因为
，可得
，
当
时，即
时，
；
当
时，即
时，
，
所以函数
的值域为
.
（3）解：因为
在
上恒成立，
则
，
又由
，
所以
，
即
在
恒成立，
令
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，
设
，则
在
上单调递增，所以
，
所以
，即
，所以故
的取值范围为
.
2．（24-25 高一下·陕西汉中·期末）已知函数
.
(1)求函数
的单调递减区间；
(2)若方程
在区间
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）应用整体法求正弦型函数的单调递减区间；
（2）根据正弦函数性质判断区间单调性，进而求值域范围，结合方程有解确定参数范围.
【详解】（1）令
，则
，
的单调递减区间为
；
（2）
，
，
在
上单调递增，
，
方程
在区间
上有解，
的取值范围为
.
3．（22-23 高一下·海南海口·期末）已知函数
．
(1)求
的最小正周期；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象．证明：
，
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用正弦的差角公式、倍角公式及辅助角式，得
，即可求解；
（2）根据条件得
，利用
的性质，求出
的值域，即可证
得.
【详解】（1）因为
，
所以
的最小正周期为
.
（2）由（1）知
，所以
，
当
时，
，所以
，
则
，又
，
故
，
.
4．（24-25 高一下·河南驻马店·阶段练习）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式及对称中心；
(2)设
，若对任意的
，
，都有
，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据图像求
，由图像求周期
，进而得
，由图象经过点
代入即
可求
，利用解析式即可求对称中心；
（2）由题意得
，先求
，由
，令
，
则
，
，求
最大值即可求解.
【详解】（1）依题意知
，
，
，
所以
，又
，可得
，故函数
，
由图象经过点
，所以
，
可得
，所以
，
，
所以
，
，又因为
，所以
，
所以
，
令
，解得
，故对称中心为
，
.
（2）因为对任意的
，
，都有
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
，
令
，则
，
.
对称轴为
，所以①
，可得
，
②
，可得
，
③
，可得
，
综上
.
5．（24-25 高一下·江西宜春·期末）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式及单调递减区间；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原
来的2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.若对任意的
，
，都有
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】（1）先根据图象确定
的值，进而确定函数
的解析式，然后根据正弦
函数的性质求得单调递减区间.
（2）先根据图象的变换求出函数
的解析式，然后根据
的范围确定
的最大值和
最小值，要使得不等式恒成立，则最大值小于等于
，从而求出
的取值范围.
【详解】（1）设
的最小正周期为
，所以
，解得
，
所以
，解得
.
由题意知
，所以
，
又
，所以
，
，
即
，
，又
，
所以
，所以
.
令
，
，解得
，
，
即
的单调递减区间为
，
.
（2）将函数
的图象向左平移
个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为
，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解
析式为
.
当
，
，
所以
，
，
若对任意的
，
，都有
，则
，
解得
，即
的取值范围是
.
题型十九：三角函数综合（零点问题）
1．（24-25 高二下·天津河东·期末）已知函数
(1)将函数
化简为
的形式(其中
(2)若
求函数
在
的取值范围；
(3)
的最小正周期为π， 若在
上恰有3 个零点，求a 的取值范
围．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角恒等变换公式化简
；
（2）根据
求得角
，再由正弦函数的值域计算求解；
（3）求出函数零点，建立不等式求a 的取值范围．
【详解】（1）
；
（2）因为
函数
，
∵
，∴
，∴
.
，
所以函数
在
的取值范围
.
（3）因为
的最小正周期为π，所以
，所以
，
令
，则
，
，所以
，
．
由于函数
在区间
上有且仅有3 个零点，
所以
，所以a 的取值范围是
．
2．（24-25 高一下·广西钦州·期末）已知函数
的部
分图象如图所示．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的图象的对称中心的坐标和对称轴方程；
(3)当
时，方程
有两个不相等的实数根
，
且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)对称中心为
，对称轴方程为
(3)
【分析】（1）根据最大值可求解振幅，根据周期可求解
，代入最高点坐标可求
，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解，
（3）根据正弦函数的对称性可得
，
，即可根据诱导公式，结合
同角关系即可求解.
【详解】（1）根据图可知
，周期
满足
，故
，故
，
此时
，
代入
可得
，故
，
即
，由于
，故
，
故
（2）令
，解得
，
故对称中心为
，
令
,解得
，
故对称轴方程为
（3）由于
，所以
，
令
，
则令
，则
在
上有两个不相等的实数根
，
满足
，且
，
，
因此
，
，
故
，
3．（24-25 高一下·重庆北碚·期中）已知函数
的图象经
过点
，且相邻两条对称轴间的距离为
，将函数
的图象向右平移
个单位长
度，再关于
轴对称，得到函数
的图象.
(1)求函数
和
的解析式；
(2)设
，若
对任意
恒成立，求实数
的最
大值；
(3)若关于
的方程
在区间
上恰有三个实数根
，
，
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
，
.
(2)3
(3)
【分析】（1）由图象经过点
，得到
，再结合周期求得
，再结合平移及对
称即可求解；
（2）化简
，再令
，
，转换成
对任意的
恒成立，进而可求解；
（3）由题意得到
，
令
，得到
在
上恰有三个实数根
，
，
，通过对称性得到
，
，
，进而可求解.
【详解】（1）
，
由题有
，即
，
，则
.
又因为
相邻两条对称轴间的距离为
，
所以
，即
，
所以
，
向右平移
个单位得：
，
所以
.
（2）
，
即
，对任意的
恒成立.
令
，
，
则
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，有
，则
，
所以
的最大值为3.
（3）
，即
在
上恰有三
个实数根
，
，
，且
，
令
，即
在
上恰有三个实数根
，
，
，且
.
由
函数图象，有
，
再由对称性有
，
，
，
又因为
，所以
，
即
，所以
.
4．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数
.
(1)求
的单调递减区间；
(2)将函数
的图象向右平移
个单位后得到
的图象，当函数
在
上有一个零点时，求k 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数的关系式的恒等变换，把函数关系变形成正弦型函数，结合正
弦函数的单调性即可求解；
（2）利用正弦函数的性质求出结果.
【详解】（1）
,
令
，
解得：
，
所以
的单调递减区间为
（2）将函数
的图象向右平移
个单位后得到
，
则
，
因为
，所以
，
所以要使函数
在
上有一个零点，则
与
只有一个交点，
结合正弦函数的图象：
可得当
或
，即
或
，
即
或
，
或
时，
与
只有
一个交点，
所以实数
的取值范围为
5．（24-25 高一下·北京·期中）已知下列三个条件：条件①：
的图象关于直线
对
称；条件②：
的图象过点
；条件③：
在区间
上单调递增．从这
三个条件中选一个作为已知条件，填在下面的横线处，并解答下列问题.
已知函数
的最小正周期为
，_______.
(1)求
的值；
(2)求函数
在区间
上的最小值；
(3)若关于
的方程
在
上恰好有20 个根，请直接写出实数的取
值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合周期公式即可求解
；
（2）若选择条件①，根据
的对称性及
求得
，从而
，利用两角和差的正余弦公式得
，然后根据角的范围结合正弦函数的性
质求解即可；
若选择条件②，根据已知得
，则
，即
，
结合
求得
，从而
，利用两角和差的正余弦公式得
，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
若选择条件③，根据正弦函数周期性及单调性得当
时，
取得最大值，进而求得
，结合
求得
，从而
，利用两角和差的
正余弦公式得
，然后根据角的范围结合正弦函数的性质求解即可；
（3）根据已知及两角和差的正弦公式化简方程得
，求出
的解集，结合在
上恰好有20 个根及正弦函数的性质分析参数范围．
【详解】（1）因为函数
的最小正周期为
，
所以
；
（2）若选择条件①，因为
的图象关于直线
对称，
所以
，所以
，
又因为
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最小值
；
若选择条件②，
因为
的图象过点
，所以
，
所以
，即
，
又因为
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最小值
；
若选择条件③，
因为函数
的最小正周期为
，所以
，
因为
在区间
上单调递增且
，
所以当
时，
取得最大值，所以
，
所以
，
又因为
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最小值
；
（3）由（2）可知
，
所以方程
等价于
等价于
，
即
，
则
或
，
，
得
或
，
．
由
，
时
，
；
时
，
；
；
时，
．
所以
，即的取值范围是
.
题型二十：三角函数模型
1．（24-25 高三上·贵州·阶段练习）如图，某市拟在长为16km 的道路
的一侧修建一条
运动赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段为函数
的图象，且图象的最高点为
；赛道的后一部分
为折线段
，为保证参赛运动员的安全，限定
．
(1)求
的值和
两点间的距离；
(2)若
，求折线段赛道
的长度．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据图形可得
及周期，根据周期即可求出
，再求出
点的坐标，进而
可得出答案；
（2）在
中，利用余弦定理求出
，即可得解.
【详解】（1）由题可得
，
，
当
时，
，即
，
又
，
（千米）；
（2）在
中，设
，则
，
，
，
，
，
（千米），
折线段赛道
的长度为
千米.
2．（2024 高三·全国·专题练习）某市物价局调查了某种治疗H1N1 流感的常规药品在2014
年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12
元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3 月份的批发价格最高，为14 元/盒，7 月
份的批发价格最低，为10 元/盒．该药品在药店按月份以14 元/盒为中心价随另一正弦型
曲线上下波动，且5 月份的销售价格最高，为16 元/盒，9 月份的销售价格最低，为12
元/盒．
(1)求该药品每盒的批发价格
和销售价格
关于月份
的函数解析式；
(2)假设某药店每月初都购进这种药品
盒，且当月售完，求该药店在2014 年哪些月份是盈
利的？说明你的理由．
【答案】(1)
，
；
(2)在2014 年4 月、5 月、6 月、7 月、8 月、12 月是盈利的，理由见解析．
【分析】（1）设
，根据价格最高和最低可求得振幅
，根据月
份求得周期，进而可求得
，把
代入函数式求得
，则函数
的解析式可得，同
理可求得该药品每件的销售价格函数
解析式；
（2）设该药店第
月购进这种药品
盒所获利润为
元，则根据
把
（1）中求得
和
代入整理，根据
，求得
的范围，进而得解.
【详解】（1）由题意，
设
，由已知，
，
．
又周期
，则
．
从而
．
因为
，则
，即
，可取
．
故该药品每盒的批发价格函数解析式为
．
同理，该药品每盒的销售价格函数解析式为
．
（2）设该药店第
月购进这种药品
盒所获利润为
元，则
，
由
，得
，即
，
所以
，
，
即
，
，
因为
且
，则
，
故该药店在2014 年4 月、5 月、6 月、7 月、8 月、12 月是盈利的．
3．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐
在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离
地面高度为120m，转盘直径为110m，设置有48 个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，
游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min．
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面的高度为
，求在转动一周的过
程中，
关于的函数解析式；
(2)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高
度差（单位：m）关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1m）．
参考公式：
．参考数据：
，
．
【答案】(1)
，
．
(2)
，
，7.2m
【分析】（1）首先旋转的角速度和初相，结合三角函数，列出
与的函数关系；
（2）根据（1）的结果，结合两人的角度差，分别计算
和
，并利用参考公式化简高
度差函数
，根据t 的取值范围，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点
，以轴心
为原点，与地面平行的
直线为
轴建立直角坐标系．
设
时，游客甲位于点
，以
为终边的角为
；
根据摩天轮转一周大约需要30min，可知座舱转动的角速度约
，
由题意可得
，
．
（2）如图，甲、乙两人的位置分别用点
，
表示，则
．
经过
后甲距离地面的高度为
，
点
相对于点
始终落后
，此时乙距离地面的高度为
．
则甲、乙距离地面的高度差
，
利用
，可得
，
．
当
（或
），即
（或22.8）时，的最大值为
．
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2m．
4．（23-24 高一下·广东佛山·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象
叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货
后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报.
时刻
水深m
时刻
水深/m
时刻
水深m
0:00
5.0
9：18
2.6
18：:36
5.0
3:06
7.4
12：24
5.0
21：:42
2.6
6:12
5.0
15：:30
7.4
24：00
4.0
(1)根据以上数据，可以用函数
来近似描述这一天该港口的水深与时间
的关系，请写出这段曲线的函数解析式.
(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为
，安全条例规定至少要有
的安全
间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时
能进入港口？在港口能呆多久？
【答案】(1)
，
(2)图象见解析，答案见解析
【分析】（1）根据条件中的数据，由最值求
和，以及根据周期和初相求
和
，即可
求函数的解析式；
（2）由条件转化为进港条件为
，根据（1）的结果求
的
的值，再结合函数
的图象，即可求解.
【详解】（1）从数据和图形可以得出：
由题意可知，
，得
，
，
，
；由
，得
，
所以这段曲线的函数解析式为
，
．
（2）货船需要的安全水深为
米，所以，进港条件为
.
如上图所示，在
点后或
点后可以进港.
，
与
在区间
有四个交点
.
令
，即
，
因此，由
，及
得
（时）
时2 分，
（时）
时10 分.
由函数的周期性得：
时2 分+12 时24 分=13 时26 分，
时10 分+12 时24 分=17
时34 分.
因此，货船可以在1 时10 分左右进港，早晨5 时20 分左右出港；或在下午13 时30 分左右
进港，下午17 时40 分左右出港．每次可以在港口停留约5 小时．
5．（23-24 高一上·江苏淮安·期末）如图1“Omniverse 雕塑”将数学和物理动力学完美融
合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图2，点P 以
为起始点，在以O 为圆
心，半径为2（单位：10 米），按顺时针旋转且转速为
rad/s（相对于O 点转轴的速度）
的圆周上，点O 到地面的距离为a，且
（单位：10 米），点Q 在以P 为圆心，半径为
1（单位：10 米）的圆周上，且在旋转过程中，点Q 恒在点P 的正上方，设转动时间为t
秒，建立如图3 平面直角坐标系
．
(1)求经过t 秒后，点P 到地面的距离PH；
(2)若
时，圆周上存在4 个不同点P，使得
成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
（单位：10 米）；
(2)
.
【分析】（1）利用三角函数的定义与性质计算即可；（2）利用两点的距离公式计算
，由
可得
，化简等式根据三角函数的有界性换
元转化为二次函数根的分布计算即可.
【详解】（1）由题意及三角函数的定义可知
，
所以
（单位：10 米）；
（2）根据题意可知
，
即
，
则
，
因为
，所以
，
即
，
令
，因为
，所以
，则
，
上式可化为
，
设
，
因为
时，圆周上存在4 个不同点P，使得
成立，
则
在
上有两个相异实数根，
即
，
解之得
.
【点睛】思路点睛：第二问根据三角函数的定义及两点距离公式计算得
，展开后得
，利
用换元法令
得
，由于一个周期内
有四个点
满足题意得出函数
在
上有两个相异实数根，根据一元二次方程
根的分布计算即可.
